＜美しい数学の話＞
第１話 「０の０乗」
ＮＯ１． プー太 より （平成１１年４月２６日）
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変数関数aのb乗（a^b)というのは、一番最初はbが自然数の場合に定義されました。つまり、
a^b
＝a (b=1のとき）a^b
＝a*a^(b-1) （bが2以上の自然数のとき）として。
その後、その関数の定義域は「指数法則」を保存するように拡張されていきました。
しかし、どう頑張っても
0^0は「指数法則」を保存するようには定義できません。これが１つの結論です。
しかし、ここからが新意見ですが、僕は
0^0は1であると「便宜的に」定義してもかまわないと思うのです。
その１つの理由は、自然対数の底を
eとし、xの定義域を複素数全体として、e^x=1+x+(x^2)/2+(x^3)/6+
………=1+
Σ(x^k)/k! (k=1から∞まで）と書き表わせるのですが、
0^0は1であると定義することによって、より簡単に、e^x=
Σ(x^k)/k! (k=0から∞まで）と書き表すことができるからです。
もし、
0^0が定義されないとすると、e^x=
Σ(x^k)/k! (k=0から∞まで）において、
x=0のとき、右辺のk=0が意味を持たなくなるからです。
ＮＯ２． 水の流れ より （平成１１年４月２７日）
昔、ｌｉｍ（ｘ→０）ｘ＾ｘ＝１示したような気がします。
生徒には０＾０＝１とすると平気にいっていますが・・・
ＮＯ３． プー太 より （平成１１年４月２８日）
たしかに、上の極限はｘを正の実数から０に近づければ１に収束します。
しかし、ｌｉｍ（ｘ，ｙ→０）ｘ＾ｙ＝存在しない、だとおもいます。
そもそも、０＾０を定義するのに、連続性を考えるのは、そんな重要な事ではな
い、、、、と以前、数学セミナーの「投稿欄」に書かれていました。
僕も、絶対的な結論を持っているわけではないです。
ただ、数学の中では珍しく「議論」できるいい話題だとは思っています。
ＮＯ４． 月の光 より （平成１１年５月３日）
こんにちは。weekend mathematicsの月の光です。
進路が決まった頃オイラーの公式 e^ix＝cosx+isinxを見て数学が好きになりました。
特にゼータ関数やガンマ関数が好きです。
高校生のときもそれ以来大学の数学をやっていました。大学の数学の方が面白いです。
コロキウム室に書かれていたディリクレのＬ関数がとても気になります。
いつか教えて下さい。
ところで、０＾０の事なんですけど、高校生のとき a^b は １×a×a×a・・・×a
つまり、１に a が b 個かかっていると教えられました。
だから０＾２は １×０×０ということです。こうすれば０＾０は１でいいと思います。
ＮＯ５． 水の流れ より （平成１１年５月３日）
月の光さんの中で、
高校生のとき a^b は １×a×a×a・・・×aの条件があったはずです。ａ≠０です。だから、考察する必要がいります。
私は、ＮＯ２．に書いたように、ｙ＝ｘ＾ｘのグラフを書いて、その極限を考えますが。
そこで、単純には無理ですから、対数をとって考えますが。
これは、依然 weekend mathematics に載っていたようにおもいます…。
ＮＯ６． プー太 より （平成１１年５月１４日）
0^0の話に月の光さんも投稿されてるとは、知りませんでした｡
もう少し､議論を白熱させたいと思います｡
a^b は １×a
×a×a・・・×aつまり、１に a を b 個かけること
なるほど。２＾０＝１であることを説明するには､わかりやすいですね｡
単に、２＾０＝“２を０個かけたもの”と説明されても意味不明ですからね｡
これですと、２＾（−１）＝１／２は、１に２を−１個かけたもの、
つまり、１に２を１個割ったもの、と説明されるのでしょうか？
でも、２＾（１／２）＝√２であることは、この説明ではすこし無理がありますよね。
やはり、最終的には「指数法則」という言葉を用いなければ、うまく説明できないと思います｡
０＾０がなぜ、「指数法則」をみたすように定義できないか？
それは、指数法則(a^n)/(b^n)=(a/b)^nにおいて、a=2,b=0,n=0とすると、
(2^0)/(0^0)=(2/0)^0
となり、0^0が「指数法則」をみたすように定義できるとすると、2/0も定義できな
くてはならないことになり、矛盾するからです。
ＮＯ７． プー太 より （平成１１年５月１４日）
僕が､０＾０＝１に便宜的に定義したほうがいいという理由を挙げましょう｡
理由は､５個くらいありますが、そのうちの１つです。
微積分で､
(x^r)
’＝r*x^(r-1)rは実数の定数、xは実数の変数
という公式があります。
これは、rがどんな実数でも､xがどんな実数でもなりたつわけですよね。
だとすると、r=1としましょう。
x
’=1*x^0となります。今度は､x=0としましよう。
左辺はいつでも１ですから、
1=1*0^0
つまり、0^0=1となります。
ＮＯ８． 水の流れ より （平成１１年５月１４日）
ＮＯ７の微分からの話しは納得のいく話ですね。高校生にも理解できます。
ＮＯ９． プー太 より （平成１１年５月１５日）
先ほど、
(x^r)
’=r*x^(r-1)rは実数の定数、xは実数の変数
と書きましたが、まちがいです。
(x^r)
’=r*x^(r-1)rは実数の定数、xの定義域はrによって適当に定める
が正しいと思われます。
r=1のとき、
（x^1）’=1*x^0
の定義域は、実数全体に定めるのが適当だと思われるが、
このとき、もともと左辺＝１なので、右辺においてx=0のときに、
０＾０＝１
と「便宜的に」定義したほうが便利。
ＮＯ１０． プー太 より （平成１１年６月２２日） ０の０乗に関する駄文を先生のホームページにのせていただいて（それも一番最初に）、 ありがたいです。 新たな文を投稿しますので、なにか議論にでもなればおもしろいと思っています。 ０の０乗は、一般的には定義されていないが、ときには１と定義されることもあるみたいです。 例えば、等比数列の一般項は、初項をa、公比をrとして、a*r^(n-1)と表わされます。 ここで、次のように初項がa、公比が０である数列を考えてみましょう。 a , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…… しかし、この数列は、０＾０＝１と定義する事によって、公式通り、a*0^(n-1) と表わす事ができます。
集合Ａから集合Ｂへの写像を要素にもつ集合をＢ＾Ａで表わします。
例えば、Ａ＝｛１，２，３｝，Ｂ＝｛ａ，ｂ｝とすると、
ｆ（１）＝ａ，ｆ（２）＝ｂ，ｆ（３）＝ａ
となるようなｆはｆ∈Ｂ＾Ａです。
この集合Ｂ＾Ａの要素の個数は、２＾３＝８個あります。
これが指数を用いて集合を表わす理由です。
一般に有限集合において、♯（Ｂ＾Ａ）＝（♯Ｂ）＾（♯Ａ）です。
ただし、シャープは個数を表わします。
ここで、φ＾φはどんな集合でしょうか。実は、φ＾φ＝｛φ｝となるのです。
これも、０＾０＝１と定義することで、公式♯（Ｂ＾Ａ）＝（♯Ｂ）＾（♯Ａ）
はすべての有限集合で成り立ちます。
ＮＯ１２． 水の流れ より （平成１１年６月２２日）
プー太からの０＾０＝１の話は、いずれも高校生に理解でき、納得のいくものばかりです
ので、これからの授業展開に利用していきたいです。このような事例を持っておられるプー太
さんはすごいなー。