第１2話　「111…111の因数分解」

ＮＯ１　＜水の流れ ＞　　　１１日更新

今日は平成１１年１１月１１日で、１が並んでいます。そこで、問題です。数列の一般項が、Ｕ(n)＝111111・・・11（１がｎ個並んだ数）であるとき、この各項の数で、素数と合成数を見分けてください。また、合成数なら因数分解をしてください。太郎さんは、まだ知っていません。誰か、教えてください。

ＮＯ２　＜ch3cooh ＞さんから　１１日受信　　　１２日更新

ＮＯ３　＜水の流れ：コメント ＞　　　１２日更新

ところが、太郎さんの手元にあるのでは、11111 ,1111111 は共に合成数で素因数分解できそうです。誰か確かめてください。

ＮＯ４　＜ch3cooh ＞さんから　１２日受信　　　１３日更新

昨日のことについてのコメントです。「すみません、プログラムで単純なミスをしていました。(C言語で、型のキャストを忘れていた･･･)ただ、これを(効率よく)計算するとなると、相当にパフォーマンスの良いプログラムを作成した上で、計算時間もたっぷりと使う必要があると思います。(世界的に探索されているメルセンヌ素数でも、探索された個数は50個以下です。」以上でした。この問題は確かまだ、未解決問題です。なにせ、素数が完全に分かっていませんから。

ＮＯ５　＜浜田 ＞さんから　１３日受信　　　１４日更新

「１１１・・・１の素因数分解の結果を表示します．簡単なプログラムの為，１６桁以下の計算しか出来ませんでした．今回はエクセルのマクロで作りました。

1（単数）,11（素数）111＝3×37

1111＝11×101

11111＝41×271

111111＝3×7×11×13×37

1111111＝239×4649

11111111＝11×73×101×137

111111111＝3×3×37×333667

1111111111＝11×41×271×9091

11111111111＝21649×513239<br>

111111111111＝3×7×11×13×37×101×9901

1111111111111＝53×79×265371653

11111111111111＝11×239×4649×909091

111111111111111＝3×31×37×41×271×2906161

1111111111111111＝11×17×73×101×137×5882353

ＮＯ６　＜水の流れ：コメント ＞　　　１４日更新

さて、この問題は、コンピュータの性能がアップしていく中で、解決していきますが、私の手元にある本では、ｎ＝１９，ｎ＝２３が素数でして、後の桁数については？マークがついているだけです。皆さんのお力添えで何とか桁数を増やしたいです。よろしくお願いします。

ＮＯ７　＜ｙｉｋｏ＞さんから　１４日受信　　　１５日更新

（kiyo）です。報告されている続きを送ります。

17)= 2071723 * 5363222357

18)= 3 * 3 * 7 * 11 * 13 * 19 * 37 * 52579 * 333667

19)=1111111111111111111 素数

20)= 11 * 41 * 101 * 271 * 3541 * 9091 * 27961

21)= 3 * 37 * 43 * 239 * 1933 * 4649 * 10838689

22)= 11 * 11 * 23 * 4093 * 8779 * 21649 * 513239

23)= 11111111111111111111111 素数

24)= 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 73 * 101 * 137 * 9901 * 99990001

25)= 41 * 271 * 21401 * 25601 * 182521213001

26=11*53*79*859*265371653*1058313049

27)=3*3*3*37*757*333667*440334654777631

28)=11*29*101*239*281*4649*909091*121499449

29)=3191*16763*43037*62003*77843839397

30)=3*7*11*13*31*37*41*211*241*271*2161*9091*2906161

ＮＯ８　＜水の流れ：コメント ＞　　　１５日更新

太郎さんは，ここまでのことは知りませんでしたので，大変ありがたく思っています。問題作成のときの有効に利用したいです。感謝します。

ＮＯ９　＜ｙｉｋｏ＞さんから　１８日受信　　　１９日更新

数列の一般項が、Ｕ(n)＝111111・・・11（１がｎ個並んだ数）の各項の因数分解の３１桁以降の結果報告です。いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

最後の数で（？）は素数が確定していません。nが合成数のときU(n)も合成数なので、ｎ＝４１〜はｎが素数のときに検索する方がおもしろいかなと思っています。

31)=2791*6943319*57336415063790604359(?)

32)=11*17*73*101*137*353*449*641*1409*69857*5882353

33)=3*37*67*21649*513239*1344628210313298373(?)

34)=11*103*4013*2071723*5363222357*241932167059

35)=41*71*239*271*4649*123551*102598800232111471

36)=3*3*7*11*13*19*37*101*9901*52579*333667*999999000001

37)=2028119*547853016076034547830334961169(?)

38)=11*909090909090909091*1111111111111111111

39)=3*37*53*79*265371653*900900900900990990990991(?)

40)=11*41*73*101*137*271*3541*9091*27961*1676321*5964848081

今後とも宜しくお願いします。

ＮＯ１０＜水の流れ：コメント ＞　　　１９日更新

清川（kiyo）さんのお持ちのパソコンの性能については兼ねてから感心しています。こちらこそ今後ともとろしくお願いします。

ＮＯ１１　＜ｙｉｋｏ＞さんから　１９日受信　　　２０日更新

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

U(n)=1111・・・１１１, (10^n-1)/9 の問題を数列サイトで検索しました。

結果は以下の通りです。

ID Number: A004023 (Formerly M2114)

Sequence: 2,19,23,317,1031,49081

Name: (10^n - 1)/9 is prime.

Comments: 49081 is at present only a probable prime.

References J. Brillhart et al., Factorizations of b^n +- 1. Contemporary

Mathematics, Vol. 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2ndedition,

1985; and later supplements.

H. C. Williams and Harvey Dubner, The Primality of R1031, Math

Comp.,

47(176), Oct 1986, 703-711.

Harvey Dubner, New Probable prime Repunit R(49081), posting to

Number

Theory List (NMBRTHRY@LISTSERV.NODAK.EDU) Sep 9, 1999.

Links: Cunningham project

See also: Cf. A004022.

Keywords: hard,nonn,nice

Offset: 1

Author(s): njas

以上です。

今後とも宜しくお願いします。

ＮＯ１２　＜水の流れ ＞　　　１２月５日発信

　１１月２３日に書きました「第２回のＩＭＴＳ数学コンテスト」の中に出ていた問題の５番（全問題の許諾を得ています）紹介します。「数列　Ｕ(n)＝111111・・・11（１がｎ個並んだ数）＝ (10^n−1)/9　の中に１９９９で割り切れる数があることを示してください。」読者の皆さん。こちらも考えてください。

ＮＯ１１　＜ｙｉｋｏ＞さんから　１２月５日午前４時受信　　　６日更新

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

U(n)=(10^n-1)/9==0 (mod 1999) n=?

n=999

U(999)=1999*5558334722917014062586848980045578344727919515313212161636373742

4267689400255683397254182646878995053082096603857484297704407759435273192151

6313712411761436273692401756433772441776443777444277694402756934022566838975

0430770941026068589850480795953532321716413762436773942526818965038074592851

9815463287199155133122116613862486798955033072091601356233672391751431271191

1511311211161136123617364237674392751931521316213662386748930020565838474792

9520315713412261686398754933022066588849980545828469790450780946028569840475

7934522816964037574342726919015063087099105108109610360735923517314212661886

4988049580345728419765438274692902006558834973042076593852481796453782446778

9450280695903507309210160635873492301706408759935523317214162636873992551831

4712912011561336223667389250180645878494802957034072591851481296203657384247

6793952531821466288699905508309710410760936023567339225168139625368239675393

2521816463787449280195653382246678895003057084097604357734422766939025068089

6003557334222666889

鳩の巣箱論法（ディレクレの引出し論法）で解くのでしょうか。今後とも宜しくお願いします。

ＮＯ１４　＜水の流れ ＞　　　１２月５日午前中に記入　６日更新

鳩の巣箱論法（ディレクレの引出し論法）でも解く事ができます。コンテスト会場には

コンピュータは持ち込めませんので。でも、このようにして、実際に割るきれていることは

コンピュータのおかででもあります。

ＮＯ１５　＜ｙｉｋｏ＞さんから　１２月５日午前１１時半受信　　　６日更新

いつもお世話になっています。鳩の巣箱論法による。

ｍ、ｎは自然数で、ｍ＞ｎとする。

１）１

２）１１

３）１１１

．．．．．．．．．．．．．

１９９９）１１１１１１１１１１１１１１・・・・１１１（１が１９９９個）

上記の１９９９個を考える。

１９９９で割って割り切れるののが直接見つかれば証明終わり。

１９９９の余りは高々１〜１９９８の１９９８通りある。

したがって余りの同じのものが少なくとも一組は存在する。

その余りをＲとする。

（１０＾ｍ−１）／９＝＝Ｒ　（mod 1999）

（１０＾ｎ−１）／９＝＝Ｒ　(mod 1999)

（１０＾ｍ−１）／９-（１０＾ｎ−１）／９＝＝０　(mod 1999）

１０＾ｎ＊（（１０＾（ｍ−ｎ）−）／９）＝＝０　(mod 1999)

　ｋ＝ｍ−ｎ　とおく。ｋ＞＝１。

　　　　　（１０＾ｋ−１）／９＝＝０　（mod 1999）　　以上です。

今後とも宜しくお願いします。　　　

ＮＯ１６　＜水の流れ ＞　　　１２月５日午後に記入　６日更新

そうです。鳩の巣箱論法を使うと、証明できます。ただ、幾つのときに、１９９９で割り切れて

いるかはわかりませんが。お見事。

ＮＯ１７　＜やぎ＞さん　　平成１２年９月２６日受信　１１月８日更新

N=31：　　　約数５７３３６４１５０６３７９０６---は素数です。

N＝33：　　約数１３４４６２８２１0---　は素数です。

N＝３７：　　2028119*247629013*2212394296770203368013

N=39:　　　約数9009009009---は素数です

N=41：　　　83*1231*538987*201763709900322803748657942361

N=42:　　　3*7*7*11*13*37*43*127*239*1933*2689*4649*459691*909091*10838689

N=43:　173*1527791*1963506722254397*2140992015395526641

N=44:　11*11*23*89*101*4093*8779*21649*513239*1052788969*1056689261

N=45:　3*3*31*37*41*271*238681*3336667*2906161*4185502830133110721

N=46:　11*47*139*2531*549797184491917*11111111111111111111111

N=47:　35121409*（316---これは素数）

N=48:　3*7*11*13*17*37*73*101*137*9901*5882353*99990001*9999999900000001

N＝49：　239*4649*505885997*（197---これは素数）

N＝50：　11*41*251*271*5051*9091*21401*25601*182521213001*78875943472201

N=59：　2559647034361*4340876285657460212144534289928559826755746751

N=11：21649*513239＝（2*11＊984+1）（2*11*23329+1）

　上の式のようNが奇素数の場合には１がN個並んだ数は２*Nの倍数に1を加えた数のみが約数となるようです。

　約数を見つける効率が上がりそうですね。すでにご存知かもしれませんが？

これはメルセンヌの数の場合も同じです。

　素因数分解をしたり素数の判定をするにはｋｉｄａ・ｙｕｊｉ先生のＵｂａｓｉｃに付属したソフトを使うと威力は計り知れません。　

ＮＯ１８　＜やぎ＞さん　　平成１２年１１月５日受信　１１月８日更新

　　9月２６日に１がＮ個並んだ数の素因数分解についてメールを入れましたがＮ＝４８のところで転記ミスがありました。右辺右より2番目9990001は99990001の誤りでした。

お詫して訂正します。

私の考えた問題

　半径a,b,cの三円が互いに接して配置されています、さてこの三円のぶつかる隙間にはいる小円の半径ｆ（ａ、ｂ、ｃ）はどのような関数になるでしょうか。

　また、この三円に外接する円の半径Ｆ(a,b,c)も求めてください。

ＮＯ１９　＜水の流れ＞　　平成１２年１１月８日記入

訂正しておきました。本当にありがとうございました。ここで、戴いた問題を載せておきます。

＜水の流れ：コメント＞これを読んで、なぜか「和算」にありそうな問題と思いました。文献（日本の幾何ー何題解けますか？深川英俊著：森北出版）を調べてみました。内接する場合の円については、西洋では、「デカルトの円定理」として、知られています。デカルト（1596〜1650）がエリザベス王女に宛てた手紙の中で、論文にしたものです。

また、日本では、東京都新宿区神楽坂毘沙門堂に寛政８年（1751年）に掲額されたが、現在は存在しない。さて、読者の皆さん、一度挑戦ください。勿論！「やぎ」さんとの間には、シンクロナイズ（同時性：他の別々な所で同じことが起きていること）が行われただけです。人間の思考の中にはよくあります。　

ＮＯ２０　＜やぎ＞さん　　平成１２年１１月６日受信　１１月８日更新

平成１２年１１月４日

　水野　様

　　　水の流れ第12話の因数分解の結果を送ります。

U(n)=(10^n-1)/9　とします。

Ｕ(51)=3*37*613*210631*52986961*13168164561429877*U(17)

U(52)=11*53*79*101*521*859*265371653*1058313049*1900381976777332243781

U(53)=107*1659431*1325815267337711173*47198858799491425660200071

U(54)=(3^3)*7*11*13*19*37*757*52579*333667*70541929*14175966169

*440334654777631

U(55)=41*271*1321*21649*62921*513239*83251631*1300635692678058358830121

U(56)=11*29*73*101*137*239*281*4649*7841*909091*121499449

*127522001020150503761　　　　

U(57)=3*37*21319*10749631*3931123022305129377976519*U(19)

U(58)=11*59*154083204930662557781201849*U(29)

U(59)=2559647034361*4340876285657460212144534289928559826755746751

U(60)=61*101*3541*9901*27961*4188901*39526741*U(30)

U(61)=733*4637*329401*974293*1360682471*106007173861643

*7061709990156159479

U(62)=11*909090909090909090909090909091*U(31)

U(63)=3*10837*23311*45613*333667*45121231*1921436048294281*U(21)

U(64)=19841*976193*6187457*834427406578561*U(32)

U(65)=41*271*162503518711*5538396997364024056286510640780600481*U(13)

Ｕ(66)=7*11*11*13*23*4093*8779*599144041*183411838171*Ｕ(33)

U(67)=493121*79863595778924342083

*28213380943176667001263153660999177245677

U(68)=101*28559389*1491383821*2324557465671829*U(34)

U(69)=3*37*277*203864078068831*1595352086329224644348978893*U(23)

U(70)=11*9091*909091*4147571*265212793249617641*U(35)

U(71)=241573142393627673576957439049

*45994811347886846310221728895223034301839

U(72)=73*137*3169*98641*99990001*3199044596370769*U(36)

U(73)=12171337159*1855193842151350117

*49207341634646326934001739482502131487446637

U(74)=11*7253*422650073734453*296557347313446299*U(37)

U(75)=3*31*37*151*4201*2906161

*15763985553739191709164170940063151*U(25)

U(76)=101*722817036322379041*1369778187490592461*U(38)

U(77)=239*4649*5237*42043*29920507

136614668576002329371496447555915740910181043*U(11)

U(78)=7*11*13*13*157*859*6397*216451

*1058313049*388847808493*U(39)

U(79)=317*6163*307627*10271*49172195536083790769

*3660574762725521461527140564875080461079917

U(80)=17*5070721*5882353*19721061166646717498359681*U(40)

U(82)=11*2670502781396266997* 3404193829806058997303*U(41)

U(83)=3367147378267*9512538508624154373682136329

*346895716385857804544741137394505425384477

*U(84)=29*101*281*9901*226549*121499449

*4458192223320340849*U(42)

U(85)=41*271*262533041*8119594779271

*4222100119405530170179331190291488789678081*U(17)

U(86)=11*57009401*2182600451* 7306116556571817748755241*U(43)

U(88)=73*137*617*16205834846012967584927082656402106953*U(44)

U(89)=497867*103733951*104984505733*5078554966026315671444089

*403513310222809053284932818475878953159

U(90)=7*11*13*19*211*241*2161*9091*29611*52579*3762091

*8985695684401*U(45)

U(91)=547*14197*17837*4262077*43442141653*316877365766624209

*110742186470530054291318013*Ｕ(13)*Ｕ(7)

U(92)=101*1289*18371524594609

*4181003300071669867932658901*U(46)

U(93)=3*37*900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991

*U(31)

U(94)=11*6299*4855067598095567*297262705009139006771611927*U(47)

U(95)=191*63841*59281*1289981231950849543985493631

*965194617121640791456070347951751*U(5)*U(19)

U(96)=97*353*449*641*1409*69857*206209*66554101249

Ｕ(97)=12004721*(合成数ですが素因数不明)

Ｕ(98)=11*197*909091*5076141624365532994918781726395939035533*Ｕ(49)

Ｕ(99)=3*199*397*34849*333667

*362853724342990469324766235474268869786311886053883*Ｕ(33)

Ｕ(100)=101*3541*27961*60101*7019801*14103673319201*1680588011350901*Ｕ(50)

ＮＯ２１　＜水の流れ ＞　　　１１月８日記入

＜やぎ＞さん本当にありがとうございました。これからの参考にさせてもらいます。

*109399846855370537540339266842070119107662296580348039

ＮＯ２３　＜水の流れ ＞　　　５月５日記入