toukou13

　　　　　　　　　　　　　平成11年１２月９日

＜美しい数学の話＞

第１3話　「100…001の因数分解」

ＮＯ１　＜水の流れ＞　　　１１月２１日発信　　　　　１２月２日更新

数列の一般項が、数列Ｖ（ｎ）＝10＾n＋１＝1000・・・001<左右が１で、中が(ｎ-１)個の０が並んでいる：(ｎ-１)個の０と修正しました11/23日に＞であるとき、この各項の数で、素数か合成数を見分けてください。また、合成数なら因数分解をしてください。太郎さんは、まだ知っていません。誰か、教えてください。

ＮＯ２　＜ｋｉｙｏ（清川）＞さんから　２２日受信　　　１２月２日更新

昨夜、数列Ｖ（ｎ）＝10＾n＋１＝1000・・・001<左右が１で、中が(ｎ-１)個の０が並んでいる＞であるとき、この各項の数で、素数か合成数を見分ける問題について、「kiy」さんからの報告です。、いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。V(n)=10^n+1　の素因数分解を報告します。ｎ＝２～２７101 = 101

1001 = 7 * 11 * 13

10001 = 73 * 137

100001 = 11 * 9091

1000001 = 101 * 9901

10000001 = 11 * 909091

100000001 = 17 * 5882353

1000000001 = 7 * 11 * 13 * 19 * 52579

10000000001 = 101 * 3541 * 27961

100000000001 = 11 * 11 * 23 * 4093 * 8779

1000000000001 = 73 * 137 * 99990001

10000000000001 = 11 * 859 * 1058313049

100000000000001 = 29 * 101 * 281 * 121499449

1000000000000001 = 7 * 11 * 13 * 211 * 241 * 2161 * 9091

10000000000000001 = 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857

100000000000000001 = 11 * 103 * 4013 * 21993833369

1000000000000000001 = 101 * 9901 * 999999000001

10000000000000000001 = 11 * 909090909090909091

100000000000000000001 = 73 * 137 * 1676321 * 5964848081

1000000000000000000001 = 7 * 7 * 11 * 13 * 127 * 2689 * 459691 * 909091

10000000000000000000001 = 89 * 101 * 1112470797641561909(?)

100000000000000000000001 = 11 * 47 * 139 * 2531 * 549797184491917

1000000000000000000000001 = 17 * 58823529411764705882353(?)

10000000000000000000000001 = 11 * 251 * 5051 * 9091 * 78875943472201

100000000000000000000000001 = 101 * 521 * 1900381976777332243781(?)

1000000000000000000000000001 = 7 * 11 * 13 * 19 * 52579 *999999999000000001(?)

33))=3*37*67*21649*513239*1344628210313298373 確定しました。　今後とも宜しくお願いします。

ＮＯ３　＜sambaGREEN」＞　　　１１月２３日受信　　　１２月２日更新

１０＾n＋１の問題ですが，いき詰まってしまいましたので，途中ですが報告させていただきます。

１０≡－１（mod 11）であるから，１０＾2k-1≡－１（mod 11）：ｋは自然数

よって，１０＾2k-1 ＋１≡０（mod 11）となりｎが奇数のとき，V(n)は１１（＝Ｖ(１)）を因数に持つ。

１００≡－１（mod　101）であるから，(１０^2)＾2k-1≡－１（mod　101）：ｋは自然数

よって，Ｖ(4k-2)＋１≡０（mod 101）となりｎが４の倍数でない偶数のとき，V(n)は101（＝Ｖ(２)）を因数に持つ。

一般に，Ｖ(p)－１≡－１（mod Ｖ(p)）であるから，(Ｖ(p)－１)＾2k-1≡－１（mod Ｖ(p)) となり，Ｖ(p(2k-1))＋１≡０（mod　Ｖ(p))

したがって，ｎがｐの奇数倍のとき，Ｖ(n)はＶ(p)を因数に持つ。

ゆえに，２＾m の形以外のすべてのｎについてＶ(n)は合成数である。つまり，Ｖ(２＾m)が合成数かどうかを検証すればよいことになるのだが・・・。

また，ｎが３の倍数のとき，１０^3k＋１＝（１０^k＋１)(１０^2k－１０^k＋１)であるから，

Ｖ(３k)は，Ｖ(k)×9999・・9000・・01（９がk個，０がk-1個）と表せる。

9999・・90・・0001は，kが偶数のときに素数，kが奇数のときに合成数になりそうですが・・・・。

追伸：＜kiyo＞さんから報告のＶ(24)の？の部分についてですが，上記のことから　Ｖ(24)はＶ(８)の因数を因数として持ちます。

したがって＜？の部分＞＝5882353*9999999900000001となるはずですが，残念ながら確かめる手段を私は持っていません。よろしくお願いします。 。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

追伸^2：11/21の出題の文中　「中が(ｎ-2)個の０が並んでいる」の(n-2)個は(n-1)個の間違いですね。

ＮＯ４　＜水の流れ：コメント＞２３日記入　　　１２月２日更新

確かに、０が１個足りないですね。私の間違いでした。お許しください。また、「sambaGREEN」さんからの＜？の部分＞＝5882353*9999999900000001となるはずですが，この検証もよろしくお願いします。

ＮＯ５　＜清川（kiyo）＞さんから　２４日受信　　　１２月２日更新

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。V(n)=10^n+1　ｎ＝２～２５の素因数分解が確しましたので報告します。

2) 101 = 101

3) 1001 = 7 * 11 * 13

4) 10001 = 73 * 137

5) 100001 = 11 * 9091

6) 1000001 = 101 * 9901

7) 10000001 = 11 * 909091

8) 100000001 = 17 * 5882353

9) 1000000001 = 7 * 11 * 13 * 19 * 52579

10) 10000000001 = 101 * 3541 * 27961

11) 100000000001 = 11 * 11 * 23 * 4093 * 8779

12) 1000000000001 = 73 * 137 * 99990001

13) 10000000000001 = 11 * 859 * 1058313049

14) 100000000000001 = 29 * 101 * 281 * 121499449

15) 1000000000000001 = 7 * 11 * 13 * 211 * 241 * 2161 * 9091

16) 10000000000000001 = 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857

17) 100000000000000001 = 11 * 103 * 4013 * 21993833369

18) 1000000000000000001 = 101 * 9901 * 999999000001

19) 10000000000000000001 = 11 * 909090909090909091

20) 100000000000000000001 = 73 * 137 * 1676321 * 5964848081

21) 1000000000000000000001 = 7 * 7 * 11 * 13 * 127 * 2689 * 459691 * 909091

22) 10000000000000000000001 = 89 * 101 * 1052788969 * 1056689261

23) 100000000000000000000001 = 11 * 47 * 139 * 2531 * 549797184491917

24) 1000000000000000000000001 = 17 * 5882353 * 9999999900000001

25) 10000000000000000000000001 = 11 * 251 * 5051 * 9091 * 78875943472201

24) は「sambaGREEN」さんのご指摘の通りでした。予想については何桁まで成り立つのでしょうか。>

ＮＯ６　＜水の流れ：コメント＞　　　２４日記入　　１２月２日　更新

清川（kiyo）さんに「sambaGREEN」さん、本当に感謝しています。この種の問題がまだあります。そのときも、よろしくお願いします。<

　　　　　　　　第１４話　「1000100010001,・・・・の因数分解」

ＮＯ７　＜水の流れ＞　１１月２９日　　１２月２日更新

さて、次の数列に現れるすべての数は合成数でしょうか、それとも素数でしょうか。考えてください。10001,100010001,1000100010001,・・・・・・

ＮＯ８　＜清川（kiyo）＞さんから　１２月１日受信　　　２日更新

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

数列の一般項をF(n)とする。まず第１８項が不明です。２５１項まで検索しました。

（第１６６項、２１０項）も不明ですが検索時間が１５秒間の条件のもとでのことです。

まずは第１８項の完全読切りでしょうが、十進ベーシックの１０００桁モードは速度が遅いです。

F(n)の性質

１）　F(3n-1)は３で割り切れる。

２）　F(11n-1)は１１で割り切れる。

３）　F(2n-1)はF(n)で割り切れる。奇数番項は合成数である。

４）　F(2n-1)はF(1)で割り割り切れる。

　　 F(3n-1)はF(2)で割り割り切れる。

F(4n-1)はF(3)で割り割り切れる。

F(5n-1)はF(4)で割り割り切れる。

一般にF(kn)はF(k-1)で割り切れる。

F(3n)かつF(3n+1)が合成数であるか、F(2n)が合成数であることが証明されると、この数列の各項は合成数となるのですが。

検索の結果

1) = 73 * 137

2) = 3 * 7 * 13 * 37 * 9901

3) = 17 * 73 * 137 * 5882353

4) = 41 * 271 * 3541 * 9091 * 27961

5) = 3 * 7 * 13 * 37 * 73 * 137 * 9901 * 99990001

6) = 29 * 239 * 281 * 4649 * 909091 * 121499449

7) = 17 * 73 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857 * 5882353

8) = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 9901 * 52579 * 333667 * 999999000001

9) = 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 * 1676321 * 5964848081

10) = 11 * 23 * 89 * 4093 * 8779 * 21649 * 513239 * 1112470797641561909(?)

11) = 3 * 7 * 13 * 17 * 37 * 73 * 137 * 9901 * 5882353 * 99990001 *9999999900000001

12) = 53 * 79 * 521 * 859 * 533715214846924226069439962768595868657(?)

13) = 29 * 73 * 137 * 239 * 281 * 4649 * 7841 * 909091 *15493852859325724104033927689(?)

14) = 3 * 7 * 13 * 31 * 37 * 41 * 61 * 211 * 241 * 271 * 2161 * 3541 * 9091* 9901 * 27961 * 481183553194557910201(?)

15) = 17 * 73 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 19841 * 69857 * 5882353 *5040068544932211078070661761(?)

16) = 103 * 4013 * 2071723 *11678991964431032745841584158415842752057612284687433(?)

17) = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 73 * 137 * 3169 * 9901 * 52579 *999999000001 * 31552540549037554433259734929(?)

18) = ?

19) = 17 * 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 * 1676321 * 5964848081* 588235294117647058823529411764705882353(?)

以下は検索に１５秒間の条件を課したものです。偶数項の性質を見つけるために、参

考として報告します。第２５１項で１０００桁をこえてしまいます。　

19 = 17 * 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 *5881764764700000588235294117647058823529999941182352353 (?)

20 = 3 * 7 * 7 * 13 * 29 * 37 * 43 * 127 * 239 * 281 * 1933 * 2689 * 4649 *9901 * 555834324445886010489004850300585949260658240814141 (?)

21 = 11 * 23 * 73 * 89 * 137 * 617 * 4093 * 8779 * 21649 *

9252938558830625731806900347242423245519856534761985667034203 (?)

22 = 47 * 139 * 1289 * 2531 *

469229935360571510991280627078200906912258332164075748377095948539772049526983 (?)

23 = 3 * 7 * 13 * 17 * 37 * 73 * 97 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 9901 *

423590145534081219011513462662314718436282599748333189816243178593 (?)

24 = 41 * 251 * 271 * 3541 * 5051 * 9091 * 21401 * 25601 * 27961 *

143965328777047809555147229044485277095551472290446292424243285201 (?)

25 = 53 * 73 * 79 * 137 * 521 * 859 *

533661848662058020267413221446451223534646535346465406830838400852337373206675609298657 (?)

26 = 3 * 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 109 * 757 * 9901 *

70873113526112454510978068102400025925384927826081348301451488452324684262051069322976787 (?)

27 = 17 * 29 * 73 * 113 * 137 * 239 * 281 * 4649 * 7841 *

733228640798400929279557905086970275897969807391983342016702406137291661557241180300219 (?)

28 = 59 * 349 * 3191 * 16763 * 38861 *

2336541353427122172616067885121989621985528686752654821152403239432899323494

64090444304498661447 (?)

29 = 3 * 7 * 13 * 31 * 37 * 41 * 61 * 73 * 137 * 211 * 241 * 271 * 2161 *3541 * 9091 * 9901 * 27961 *

48113543965059285091590840915908409159084091590840915908409207197635555900201 (?)

30＝2791*358330351128986062346829451845220351486958083124686528129702973880333214260157653171264815481906485166610534217162311 (?)

31 = 17 * 73 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 19841 *

20710827756715891336122171261529363904810000000000000000000000002071082775671589133612217126152936390481 (?)

32 = 3 * 7 * 11 * 13 * 23 * 37 * 67 * 89 * 4093 * 8779 * 9901 * 21649 *

852098960255757347996061242273369195570631586671784114732739199845921916811786220424274557997484479153 (?)

33 = 73 * 103 * 137 * 4013 *

2419321694783216923638952530489525546827422527274222853420557944205603635272

74225272718059510474695104988883216947832167059 (?)

34 = 29 * 41 * 71 * 239 * 271 * 281 * 421 * 3541 * 4649 * 9091 * 27961 *

3694858324756612829985762607905299259293467455459133953454211650963978751832

558241768428152249692880738249 (?)

35 = 3 * 3 * 7 * 13 * 17 * 19 * 37 * 73 * 137 * 3169 * 8929 * 9901 *

3646764626604156211096899394266708410089344117148333585870231170080306737158

850164145413054297837513942846308411401129 (?)

36 = 149 * 3109 * 7253 *

2976588254419831342374150155973148567578615419099695113493929428381429070769

22081331275812536090630004657005168875962066775184943104037 (?)

37 = 73 * 137 * 457 *

2188183829321663238512037199124748358862363238514223194770240700437636763676

148818380744201312912472647724288840481400439824945317286652297593 (?)

38 = 3 * 7 * 13 * 13 * 37 * 53 * 79 * 157 * 521 * 859 * 3121 * 6397 * 9901

*1309643307249315061830775511287492722961465048790064780642292549588835935883

3068230799423808894649483020560511362141036773421 (?)

39 = 17 * 41 * 73 * 137 * 271 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 3541 * 9091 *27961 *

4108824411676479000041088244116805878244527647231168058782445276883194121755

472352768831941217558832352099995891175588323521 (?)

40 = 83 * 1231 *

9788300333757451577324743328472394869487046577872824523210642734381979593435

6435653352656769401015933760386892828830513051403013516388879646286298738415237 (?)

ＮＯ９　＜水の流れ＞　１２月１日記入　　１２月２日更新　

　参った。こんなに、気が遠くなる桁数まで因数分解をしてあるのを見たのは、初めてです。

したがって、全く申し訳ないですが、Ｗｅｂサイト上では、ここまでの桁数にさせてもらいます。

ごめんなさい。この数列は、コンピューターを使わずにして、直接に合成数と証明できます。

こちらの考え方でお願いします。

ＮＯ１０　＜sambaGREEN＞さんからの解答　１２月２日午前３時受信　１２月３日更新　

意外にあっさりいってしまったのですが，勘違いしていないか心配です。

それにしても，＜kiyo＞さんの因数分解にはビックリしました。

****************************

便宜上，１を加えて，１，10001,100010001,1000100010001,・・・・・・で考えます。

n番目の数は１＋10^4＋10^8＋・・・10^4(n-1)＝(10^4n－１)/(10^4－１)＝(10^2n＋１)(10^2n－１)/(10^2＋１)(10^2－１)＝(10^2n＋１)(10^2(n-1)＋・・・10^2＋１)/(10^2＋１)　となる。

ｎ＝２のとき，10001＝73×137

ｎ≧３のとき，分子の因数10^2n＋１，10^2(n-1)＋・・・10^2＋１はともに分母10^2＋１より大きいから合成数である。

したがって，ｎ≧２において，すなわち数列：10001,100010001,1000100010001,・・・・・・はいつも合成数である。

ＮＯ１１　＜ch3cooh＞さんからの解答　１２月２日午後２時受信　１２月３日更新　

主に使っているのが C言語で、有効精度が少ないために多倍長計算を計算機で解くことは得意ではないのですが･･･

(多倍長ライブラリを作れば良いと言う話もある汗;)

数列 10001,100010001,1000100010001,・・・・・・について

この数列をf(n)とすると

f(n+1)-f(n)= 10^(4*n) となります。

これは、差がべき乗の数列ですから

f(n)= ( 10^(4*n)- 1 )/( 10^4-1 )

上辺･下辺を因数分解して

f(n)= ( (10^n-1)*(10^n+1)*(100^n+1) )/( (10 -1)*(10 +1)*(100 +1) )

となります。この数列に対して、n!= 1の場合に約数が残れば素数でないことが証明できます。

(n==1の場合は、f(n)=1)

とりあえず、nが奇数の場合と偶数の場合に分類します。

* nが奇数の場合

10^n-1= (10-1)*(10^(n-1)+10^(n-2)+･･･+1)

= (10-1)*111111111･･･1

長さが偶数

= (10-1)*11*101010･･･101

= (10-1)*101*110011001100･･･110011

と変形できます。

上の式の分母の分に含まれる値を 10^n-1 のみで約分できるため、

少なくとも(10^n+1)*(100^n+1)の約数が残る。　　ゆえに素数ではない。

* nが偶数の場合

1) 10-1 については、同様に左記の説明と同様に分解して 1111･･･11が約数として残る

2) 10+1 については、10^n+1= (10+1)*(10^(n-1)-10^(n-2)+10^(n-3)-･･･ -1) と

２番目の項が分解できるため約分できる。(その上約数も残る)

3) 100+1 についても 2)と同様に約分できる。

全体として、約分した後に約数が残るため素数ではない。

両方の場合を総合すると、素数の解答は得られない。

これが、上記数列に対する解答です。

(以下は、愚痴に近いものがあるので読み飛ばして下さい)

なかなか、回答が得られない場合には、コンピュータで力任せにとりあえずの解答を作ることもありますが、

それに頼っていると思考能力が衰えるので、基本的には最後の手段として残しています。

またコンピュータで解く場合も、ある程度高速化することを前提としています。

今までに、計算して回答した結果は、(C言語で実行が早いせいでももありますが)

大抵10秒以内に解答がでるものです。

(理系の仕事をしているので、思考能力はそのまま飯の種です)

算数への取り組みとしては以下のようなページもあります。

http://www.nikonet.or.jp/spring/index.html

ここで、説明されているコンクールの 1,2 回に出ていました。(年齢がばれるな～)

最近の新聞を見ていると、理数嫌いの高校生が増えているようですが、今の文明が

科学技術によって成立していることを考えると憂慮すべき事態だと思います。

(芸術･文化は生活水準の向上による余暇としてしか成り立たない。)

算数･理科の教育については、高度な解析には抽象化が必要ですが、それ以前の段階として、

実用的で面白い面に興味を持ってもらい、計算手順を楽にする道具として、

より高度な数式を教えるようにしないと益々数学嫌いが増えるのではないかと思います。

(興味よりも嫌悪感が先に立っては覚えてもらえない)

･･･最近はコンピュータによる力任せの解答をしていた私が言ってもあまり説得力が無いような(反省)

ＮＯ１２　＜水の流れ＞　１２月２日記入　　１２月３日更新　

「sambaGREEN」さんと「ch3cooh」さんありがとうございます。これで、落ち着いて、次の仕事にかかります。

でも、コンピューターのおかげで　と言う場合もありますので。

ＮＯ１３　＜清川（kiyo）＞さんから　１２月３日午前２時受信　　　４日更新

いつもお世話になっています。清川（kiyo)です。

９が偶数個の場合は素数では？の予想について、１０個の場合は合成数でした。

9901 = 9901

99990001 = 99990001

999999000001 = 999999000001

9999999900000001 = 9999999900000001

99999999990000000001 = 61 * 9901 * 4188901 * 39526741

999999999999000000000001 = 3169 * 98641 * 3199044596370769

ID Number: A000682 (Formerly M1205 and N0464)

Sequence: 1,1,2,4,10,24,66,174,504,1406,4210,12198,37378,111278,

346846,1053874,3328188,10274466,32786630,102511418,

329903058,1042277722,3377919260,10765024432,35095839848,

112670468128,369192702554,1192724674590,3925446804750

Name: Folding a strip of n labeled stamps (or semimeanders).

References A. Sade, Sur les Chevauchements des Permutations, published by

the

author, Marseille, 1949.

J. Touchard, Contributions a` l'e'tude du proble`me des timbres

postes, Canad. J. Math., 2 (1950), 385-398.

J. E. Koehler, Folding a strip of stamps, J. Combin. Theory, 5　(1968),135-152.

W. F. Lunnon, A map-folding problem, Math. Comp. 22 (1968),193-199.

Links: Index entries for sequences obtained by enumerating foldings

P. Di Francesco, O. Golinelli and E. Guitter, Meander, folding

and arch statistics.

P. Di Francesco, O. Golinelli, E. Guitter, Meanders: a direct

enumeration approach, Nucl. Phys. B 482 [ FS ] (1996) 497-535.