平成11年１２月９日

＜美しい数学の話＞

第１3話　「100…001の因数分解」

ＮＯ１　＜水の流れ ＞　　　１１月２１日発信　　　　　１２月２日更新

　数列の一般項が、数列Ｖ（ｎ）＝10＾n＋１＝1000・・・001<左右が１で、中が(ｎ-１)個の０が並んでいる：(ｎ-１)個の０と修正しました11/23日に＞であるとき、この各項の数で、素数か合成数を見分けてください。また、合成数なら因数分解をしてください。太郎さんは、まだ知っていません。誰か、教えてください。

ＮＯ２　＜ｋｉｙｏ（清川）＞さんから　２２日受信　　　１２月２日更新

昨夜、数列Ｖ（ｎ）＝10＾n＋１＝1000・・・001<左右が１で、中が(ｎ-１)個の０が並んでいる＞であるとき、この各項の数で、素数か合成数を見分ける問題について、「kiy」さんからの報告です。、いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。V(n)=10^n+1　の素因数分解を報告します。ｎ＝２～２７101 = 101<br>

1001 = 7 * 11 * 13

10001 = 73 * 137<br>

100001 = 11 * 9091<br>

1000001 = 101 * 9901<br>

10000001 = 11 * 909091<br>

100000001 = 17 * 5882353<br>

1000000001 = 7 * 11 * 13 * 19 * 52579<br>

10000000001 = 101 * 3541 * 27961<br>

100000000001 = 11 * 11 * 23 * 4093 * 8779<br>

1000000000001 = 73 * 137 * 99990001<br>

10000000000001 = 11 * 859 * 1058313049<br>

100000000000001 = 29 * 101 * 281 * 121499449<br>

1000000000000001 = 7 * 11 * 13 * 211 * 241 * 2161 * 9091<br>

10000000000000001 = 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857<br>

100000000000000001 = 11 * 103 * 4013 * 21993833369<br>

1000000000000000001 = 101 * 9901 * 999999000001<br>

10000000000000000001 = 11 * 909090909090909091<br>

100000000000000000001 = 73 * 137 * 1676321 * 5964848081<br>

1000000000000000000001 = 7 * 7 * 11 * 13 * 127 * 2689 * 459691 * 909091<br>

10000000000000000000001 = 89 * 101 * 1112470797641561909(?)<br>

100000000000000000000001 = 11 * 47 * 139 * 2531 * 549797184491917<br>

1000000000000000000000001 = 17 * 58823529411764705882353(?)<br>

10000000000000000000000001 = 11 * 251 * 5051 * 9091 * 78875943472201<br>

100000000000000000000000001 = 101 * 521 * 1900381976777332243781(?)<br>

1000000000000000000000000001 = 7 * 11 * 13 * 19 * 52579 *999999999000000001(?)<br>

33))=3*37*67*21649*513239*1344628210313298373 確定しました。　今後とも宜しくお願いします。

ＮＯ３　＜sambaGREEN」＞　　　１１月２３日受信　　　１２月２日更新

１０＾n＋１の問題ですが，いき詰まってしまいましたので，途中ですが報告させていただきます。<br>

１０≡－１（mod 11）であるから，１０＾2k-1≡－１（mod 11）：ｋは自然数<br>

よって，１０＾2k-1 ＋１≡０（mod 11）となりｎが奇数のとき，V(n)は１１（＝Ｖ(１)）を因数に持つ。<br>

１００≡－１（mod　101）であるから，(１０^2)＾2k-1≡－１（mod　101）：ｋは自然数<br>

よって，Ｖ(4k-2)＋１≡０（mod 101）となりｎが４の倍数でない偶数のとき，V(n)は101（＝Ｖ(２)）を因数に持つ。<br>

一般に，Ｖ(p)－１≡－１（mod Ｖ(p)）であるから，(Ｖ(p)－１)＾2k-1≡－１（mod Ｖ(p)) となり，Ｖ(p(2k-1))＋１≡０（mod　Ｖ(p))　<br>

したがって，ｎがｐの奇数倍のとき，Ｖ(n)はＶ(p)を因数に持つ。<br>

ゆえに，２＾m の形以外のすべてのｎについてＶ(n)は合成数である。つまり，Ｖ(２＾m)が合成数かどうかを検証すればよいことになるのだが・・・。<br>

また，ｎが３の倍数のとき，１０^3k＋１＝（１０^k＋１)(１０^2k－１０^k＋１)であるから，

Ｖ(３k)は，Ｖ(k)×9999・・9000・・01（９がk個，０がk-1個）と表せる。<br>

9999・・90・・0001は，kが偶数のときに素数，kが奇数のときに合成数になりそうですが・・・・。<br>

追伸：＜kiyo＞さんから報告のＶ(24)の？の部分についてですが，上記のことから　Ｖ(24)はＶ(８)の因数を因数として持ちます。<br>

したがって＜？の部分＞＝5882353*9999999900000001となるはずですが，残念ながら確かめる手段を私は持っていません。よろしくお願いします。<br>。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・<br>

追伸^2：11/21の出題の文中　「中が(ｎ-2)個の０が並んでいる」の(n-2)個は(n-1)個の間違いですね。<br>

ＮＯ４　＜水の流れ：コメント＞２３日記入　　　１２月２日更新

確かに、０が１個足りないですね。私の間違いでした。お許しください。また、「sambaGREEN」さんからの＜？の部分＞＝5882353*9999999900000001となるはずですが，この検証もよろしくお願いします。<br>

ＮＯ５　＜清川（kiyo）＞さんから　２４日受信　　　１２月２日更新

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。V(n)=10^n+1　ｎ＝２～２５の素因数分解が確定しましたので報告します。

2) 101 = 101<br>

3) 1001 = 7 * 11 * 13<br>

4) 10001 = 73 * 137<br>

5) 100001 = 11 * 9091<br>

6) 1000001 = 101 * 9901<br>

7) 10000001 = 11 * 909091<br>

8) 100000001 = 17 * 5882353<br>

9) 1000000001 = 7 * 11 * 13 * 19 * 52579<br>

10) 10000000001 = 101 * 3541 * 27961<br>

11) 100000000001 = 11 * 11 * 23 * 4093 * 8779<br>

12) 1000000000001 = 73 * 137 * 99990001<br>

13) 10000000000001 = 11 * 859 * 1058313049<br>

14) 100000000000001 = 29 * 101 * 281 * 121499449<br>

15) 1000000000000001 = 7 * 11 * 13 * 211 * 241 * 2161 * 9091<br>

16) 10000000000000001 = 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857<br>

17) 100000000000000001 = 11 * 103 * 4013 * 21993833369<br>

18) 1000000000000000001 = 101 * 9901 * 999999000001<br>

19) 10000000000000000001 = 11 * 909090909090909091<br>

20) 100000000000000000001 = 73 * 137 * 1676321 * 5964848081<br>

21) 1000000000000000000001 = 7 * 7 * 11 * 13 * 127 * 2689 * 459691 * 909091<br>

22) 10000000000000000000001 = 89 * 101 * 1052788969 * 1056689261<br>

23) 100000000000000000000001 = 11 * 47 * 139 * 2531 * 549797184491917<br>

24) 1000000000000000000000001 = 17 * 5882353 * 9999999900000001<br>

25) 10000000000000000000000001 = 11 * 251 * 5051 * 9091 * 78875943472201<br>

　

24) は「sambaGREEN」さんのご指摘の通りでした。予想については何桁まで成り立つのでしょうか。>

ＮＯ６　＜水の流れ：コメント ＞　　　２４日記入　　１２月２日　更新

清川（kiyo）さんに「sambaGREEN」さん、本当に感謝しています。この種の問題がまだあります。そのときも、よろしくお願いします。

　　　平成1２年１1月１９日

ＮＯ７　＜水の流れ：コメント ＞　平成1２年１1月１９日に記入

Ｎｏ６の次が１年も経ってからの。「やぎ」さんの報告に感謝します。

ＮＯ８　＜やぎ ＞さんからの報告　　　Ｈ１２，１１月１８日受信　　１９日　更新

美しい数学の話　第１３話の因数分解の結果です

V(N)=（10＾ｎ+1）とします

V(26)=101*521*1900381976777332243781

V(27)=7*11*13*19*52579*70541929*14175966169

V(28)=73*137*7841*127522001020150503761

V(29)=11*59*154083204930662557781201849

V(30)=61*101*3541*9901*27961*4188901*39526741

V(31)=11*909090909090909090909090909091

V(32)=19841*976193*6187457*834427406578561

V(33)=7*11*11*13*23*4093*8779*599144041*183411838171

V(34)=101*28559389*1491383821*2324557465671829

V(35)=11*9091*909091*4147571*265212793249617641

V(36)=73*137*3169*98641*99990001*3199044596370769

V(37)=11*7253*422650073734453*296557347313446299

V(38)=101*722817036322379041*1369778187490592461

V(39)=7*11*13*13*157*859*6397*216451*1058313049*388847808493

V(40)=17*5070721*5882353*19721061166646717498359681

V(41)=11*2670502781396266997*3404193829806058997303

V(42)=29*101*281*9901*226549*121499449*4458192223320340849

V(43)=11*57009401*2182600451*7306116556571817748755241

V(44)=73*137*617*16205834846012967584927082656402106953

V(45)=7*11*13*19*211*241*2161*9091*29611*52579*3762091*8985695684401

V(46)=101*1289*18371524594609*4181003300071669867932658901

V(47)=11*6299*4855067598095567*297262705009139006771611927

V(48)=97*353*449*641*1409*69857*206209*66554101249*75118313082913

V(49)=11*197*909091*5076141624365532994918781726395939035533

V(50)=101*3541*27961*60101*7019801*14103673319201*1680588011350901 V(51)=7*11*13*103*4013*21993833369*291078844423*377526955309799110357

V(52)=73*137*1580801*632527440202150745090622412245443923049201

V(53)=11*9090909090909090909090909090909090909090909090909091

V(54)=101*109*9901*153469*999999000001*59779577156334533866654838281

V(55)=11*11*23*331*4093*5171*8779*9091*20163494891　*318727841165674579776721

V(56)=17*113*5882353*73765755896403138401*119968369144846370226083377

V(57)=7*11*13*1458973*909090909090909091*753201806271328462547977919407

V(58)=101*349*38861*618049*11811806375201836408679635736258669583187541

V(59)=11*1889*1090805842068098677837*4411922770996074109644535362851087

V(60)=73*137*1676321*99990001*5964848081 *100009999999899989999000000010001

V(61)=11*81131 *11205222530116836855321528257890437575145023592596037161

V(62)=101*2049349 *483128549554512237305554588359039822397307149685578249

V(63)=7*7*11*13*19*127*2689*52579*459691*909091*5274739 *189772422673235585874485732659

V(64)=1265011073*15343168188889137818369 *515217525265213267447869906815873

V(65)=11*131*859*9091*1058313049 *8396862596258693901610602298557167100076327481

V(66)=89*101*9901*1052788969*1056689261*5419170769*789390798020221 *2361000305507449

V(67)=11*909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091

V(68)=73*137*152533657 *65552746171882583264230070868884366877803237222654400793

V(69)=7*11*13*47*139*2531*31051*143574021480139*549797184491917 *24649445347649059192745899

V(70)=29*101*281*421*3541*27961*3471301*121499449*13489841*60368344121 *848654483879497562821

V(71)=11*290249*31321069464181068355415209323405389541706979493156189716729115659

V(72)=17*8929*5882353*9999999900000001 *111994624258035614290513943330720125433979169

V(73)=11*293*10826684964539959837294043117 *286578888976194997999922592330908602103011

V(74)=101*149*3109*111149*708840373781*669031686661427842829 *40548140514062774758071840361

V(75)=7*11*13*211*241*251*2161*5051*9091*78875943472201 *10000099999999989999899999000000000100001

V(76)=73*137*457*1403417*5240808656722481737 *297478330786365628414805305290302483555043017

V(77)=11*11*23*463*4093*8779*24179*590437*909091*7444361 *4539402627853030477*4924630160315726207887

V(78)=101*521*3121*9901*53397071018461*1900381976777332243781 *6060517860310398033985611921721

V(79)=11*1423*9615060929 *66443174541490579097997510158021076958392938976011506949065646573

V(80)=353*449*641*1409*69857*1634881*18453761*947147262401 *349954396040122577928041596214187605761

V(81)=7*11*13*19*1459*52579*70541929*2458921051*14175966169 *456502382570032651*610600386089858349939139

V(82)=101*68389*1447745997018511893740076606031686237538345362413531560645573104006506749609

V(83)=11*167*997*7477283550960823*7742098247001476863 *943176903141330068482602900960294299878841

V(84)=73*137*7841*99990001*11189053009*127522001020150503761 *603812429055411913*148029423400750506553

V(85)=11*103*4013*9091*87211*787223761*21993833369 *160220794821014452066741918303580917664386555934641

V(86)=101*338669*2923500556298303355222653948542706598448925085853709961673200056984872843366529

V(87)=7*11*13*59*638453709757*135080726389891*154083204930662557781201849 *1274194732898148471766404179653

V(88)=17*5882353*10100113*9900879227786858424257223656804730798555422102713108259184822982673560177

V(89)=11*179*12147237304901893*4180967272673252032291190917188955510245874180001164839931077197586653

V(90)=61*101*181*3541*9901*27961*4188901*39526741*999999000001 *4999437541453012143121*1105097795002994798105101

V(91)=11*859*909091*1058313049*21705503 *50678387411703889101759125785290439894389920385627096501794498837

V(92)=73*137*2393*4178437150016715837818641871709193476807772628503969494400330129962348520684914375257

V(93)=7*13*373*44641*3590254957*18381907262281244633158190677786966663091011*(10^31+1)

V(94)=101*45121*(2194319740034551758626584051991334192482655548194831894261875823007047496709068969883181)括弧内は合成数、素因数不明

　ＮＯ９　＜やぎ ＞さんからの報告　　　Ｈ１３，１０月９日受信　で判明

V(95)=9091*1812604116731*121450506296081　*4996731930447843676185843959746621491531100801*(10^19+1)

V(96)=(10^32+1)*193*769*1253224535459902849*53763491189967221358575546107279034709697

V(97)=11*102527361354613106010527*8866812693507454085849782521280091198794300504054553925553905037110667133

V(98)=(10^14+1)*999999999999990000000000000099999999999999000000000000009999999999999900000000000001

V(99)=(10^33+1)*19*52579*7093127053　*141122524877886182282233539317796144938305111168717

V(100)=(10^20+1)*401*1201*1601*129694419029057750551385771184564274499075700947656757821537291527196801

V(101)=11*607*809*1213*1327067281*11500490394117824585468796003575163076836624586334794818271756072956027758946488969

V(102)=101*409*3061*9901*5969449*134703241*28559389*1491383821　*225974065503889*2324557465671829*44398000479007997569751764249

V(103)=11*1237*984385009*44092859*102860539*612053256358933　*182725114866521155647161*1471865453993855302660887614137521979

　

１）V(N)が素数となる条件について

V（N）が素数となるためにはN=2＾ｍの形でなければならないことは昨年11月23日に＜sambaGREEN>様が指摘されています。

ｍが2～10の範囲ではV(n)はフェルマテストの結果合成数となりました。

したがってV(3)からV(2047)まではすべて合成数となります。

また、Vm=10＾（2＾ｍ）+1とするとき

Vmが素数となる必要十分条件はフェルマ数に適用されるＰｅｐｉｎの判定法が準用できそうなので

３＾（（Ｖｍ　-　1）/2）＝＝-1（ＭＯＤＶｍ）　となりそうです。

２）Ｖ（Ｎ）の素因数にならない素数について

Ｐ＝＝ 3（ＭＯＤ40） ：　　Ｐ＝＝27（ＭＯＤ40）

Ｐ＝＝31（ＭＯＤ40）　：　Ｐ＝＝39（ＭＯＤ40）　

となるＰはＶ（Ｎ）の素因数にならないみたいです。　　

３）F（２Ｎ）とＶ（Ｎ），Ｆ（Ｎ）の関係について

Ｆ（Ｎ）＝（10＾Ｎ-1）/9：Ｖ（Ｎ）＝（10＾Ｎ+1）とすると

F（２Ｎ）＝Ｖ（Ｎ）*Ｆ（Ｎ）となります

いまのところＶ（Ｎ）、Ｆ（Ｎ）はＮが93まではともに素因数分解できているのでＮが偶数の場合F（186）までの素因数はすべて判明したことになります。今後とも宜しくお願いします。

ＮＯ９　＜やぎ ＞さんからの報告　　　Ｈ１３，１０月９日受信　　１０月１２日　更新

第１３話においてＮ＝９４の時の因数分解がわかりませんでしたが

 三島久典　先生の「数学者の密室」　のなかの円分数の素因数分解のデータにありました。

Ｖ（94）＝（10＾94+1）＝101*45121*2144906157509411684424913774078958939881　*1023037643093214557651333120422980213172396059301

ＮＯ１０　＜やぎ ＞さんからの報告　　　Ｈ１７，１１月２４日受信　　１２月１１日　更新


１３年１０月１２日に更新されています１３話関連１０＾ｎ＋１の資料から　ｎ＝２５５までのｖ（ｎ）の素因数分解をしました。

今回私が発見した素因数は一個もありません

ｎの大きいところの例としてｎ＝３０６とｎ＝１５３０の場合も計算しました。


V(93)=7*11*13*373*44641*3590254957*909090909090909090909090909091

*18381907262281244633158190677786966663091011

V(94)=101*45121*2144906157509411684424913774078958939881

*1023037643093214557651333120422980213172396059301

V(95)=11*9091*1812604116731*121450506296081*909090909090909091

*4996731930447843676185843959746621491531100801

V(96)=193*769*19841*976193*6187457*834427406578561*1253224535459902849

*53763491189967221358575546107279034709697

V(97)=11*102527361354613106010527*323338434891034089173475790125293

*27422699366054621683295623079471066588881

V(98)=29*101*281*121499449*999999999999990000000000000099999999999999000000000000009999999999999900000000000001

V(99)=7*11^2*13*19*23*4093*8779*52579*599144041*7093127053*183411838171

*141122524877886182282233539317796144938305111168717

V(100)=73*137*401*1201*1601*1676321*5964848081

*129694419029057750551385771184564274499075700947656757821537291527196801

V(101)=11*607*809*1213*1327067281*11500490394117824585468796003575163076836624586334794818271756072956027758946488969

V(102)=101*409*3061*9901*5969449*28559389*134703241*1491383821*225974065503889

*2324557465671829*44398000479007997569751764249

V(103)=11*1237*44092859*102860539*984385009*612053256358933

*182725114866521155647161*1471865453993855302660887614137521979

V(104)=17*1249*49297*300977*648961*5882353*249227787818677482257

*333632766438409011274705987026407639670042305536743429073

V(105)=211*241*2161*9091*4147571*29970369241*1661378260814161*265212793249617641*18276168846821336356309276168846821336356291

V(106)=101*1061*5051749*245391150214875249502685807421982149521

*75277048352808729626679875852901448034540173569840168229

V(107)=11*1499*28463*74687*392263*795653*9140689231828972552925524522037823147045937571379494322686226282352288670801988451

V(108)=73*137*3169*98641*99990001*3199044596370769

*1726290008991504500177463302688697*579276943498154282123686999881829009033

V(109)=11*3338786746233023*14060959683864286267405933000927102019

*19364383321148719295180578853325741855858987848620134943

V(110)=89*101*661*3541*18041*27961*148721*1052788969*1056689261*1121407321

*1395900370916327245555441901*36380545029953205956377406702261

V(111)=7*13*223*4663*7253*422650073734453*296557347313446299

*21606064498691505246200058094681*538028580219804340767916127566267409

V(112)=353*449*641*673*1409*69857*43735845217

*217860610452031121598489279950204653537

*155944009296214054100626916003794407157304353

V(113)=11*4973*4426889*412943108813978385999641617982242667485519119709940711942693553709517240114281629255685010553886849303

V(114)=229*2281*4789*9901*304077901*52875286008709*739653893349540289

*3395073642066107585154100000000000000033950736420661075851541

V(115)=47*139*691*2531*9091*549797184491917*175106787282344253257899823317251632114648462794822124137658768130118813138930839345731

V(116)=73*137*233*355193*21591416633*17468739848498438039329935679794457

*320326994163169943384295066992439316655840979654890345228609

V(117)=7*11*13^2*19*157*859*6397*52579*216451*461917*60034573*1058313049

*388847808493*36096800156828895568286578224818258719817914995401933354161

V(118)=101*430148941*230175856669373992253976277974612031182496625023886807386072581333871027940087154579555293851089822885094561

V(119)=11*103*4013*909091*1868879293*21993833369*5673320472670315859129

*103746647830421551242486430622636901002236971549990724717454338463

V(120)=17*5070721*5882353*1132716961*9999999900000001*19721061166646717498359681

*281259985248437790051014401*31388506438433752927908678241

V(121)=11^3*23*4093*4357*8779*25169*1485397*102502981431359171598893

*544471001372579296332291652675646774644208265246405598834086237345292487

V(122)=101*1587221*81183810541*101444162656037151745878558385892753596849

*75743388768260974116327848920184337528059461788181539337429709

V(123)=7*11*13*739*148339*16419517*2670502781396266997*3404193829806058997303

*61051796035522969271171274876554178504544683763248923853725596423

V(124)=73*137*1489*640543322297*27908132670449*384705444182230291105649

*97645954668018846467287180866355758374263120864803042536883990817097

V(125)=11*251*5051*9091*21001*162251*10893295001*78875943472201*269409792871731627664586194662281233853701011108906726055753272681082282441709251

V(126)=29*101*281*1009*9901*226549*121499449*43266855241*999999000001

*4458192223320340849*22906246896437231227899575633620139766044690040039603689929

V(127)=11*3557*857772733*1094479651*1125629957*616896149073719728613

*10860110813777339731289*36099531273603138218699301565567581705151216702113889

 

V(128)=257*15361*453377*55871187633753621225794775009016131346430842253464047463157158784732544216230781165223702155223678309562822667655169

V(129)=7*11*13*57009401*2182600451*7306116556571817748755241*304768036847074491064894608014695867632997*3605696680890791382725432167911038465896663

V(130)=101*521*3541*27961*2311921*1031498834064949381*12763852652999774041

*1900381976777332243781*12119730504567977254081*2737820036624672031089487008281

V(131)=11*263*1397382241*306662501757259*525786373041914526306757

*112506283680098168752627601991569

*1363608083180796048411168783196497071688492468691

V(132)=73*137*617*2377*16369*432961*6796152793*24387741577*126197002179733470481

*28380244627788832188830617866202777*16205834846012967584927082656402106953

V(133)=11*909091*909090909090909091*247025236977306025681323889

*61828645758322140842666144519962696417487

*72021403933746126426491665754465510017877

V(134)=101*269*4021*260587121*94927228208573594069

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*31321069464181068355415209323405389541706979493156189716729115659

*2372121273417053818094646796447673682891780435916485887293151054782924005644394241806042716589462595192339

V(214)=101*40882343106721*2421825498886875706568085804897442030525256100180294305383840413574930314582991559155197335837338973747281007884658776715423100656032123324942160620509168628560523446063044557248001192491268292405581

V(215)=11*1721*9091*57009401*2182600451*7306116556571817748755241

*18920435284033918144809657490533251

*33781299214344096622678014073990188169665709715070094241770549427870082246252574520661531768110670247373718269979462963849500442241

V(216)=17*433*8929*5882353*9999999900000001

*491413179769291800875985377355914924161

*111994624258035614290513943330720125433979169

*42329002505294251119371713750694841859239120433

*111026658464799772810971884821271839945529173378999198369

V(217)=11*240437*909091*1142669053*313360308665807383*579210707460230341693

*909090909090909090909090909091*22059227904420770836064175243763866620796477930349180699067305041042773585346008483552759881065631106663670362701807674552261329

V(218)=101*20929*143881*49369369412784246809*35701893527078181712481*186542533208908650296535628715346860095610970570440898568725754271736032193933900171521062975638672064604619723224194512848019552268302687189633740722184126124790381 V(219)=7*11*13*293*877*3601237*247482272761*10826684964539959837294043117

*5830219322612939561246246317093*286578888976194997999922592330908602103011

*3943828696311504418317587369596960932033847171

*61144905745257441183391523202790304609284611733

V(220)=73*137*617*881*1676321*5964848081*16205834846012967584927082656402106953

*11351872871736662882973881952326901248582292849023836549375698070374687854710556299659477866174801360953461975027241770726447219069239499432349602724177071521

V(221)=11*859*103*4013*1058313049*21993833369*344954191876997*6917979239326637

*70919383630417672662131*2016492306990976282439501774196098215666169

*3223223954501479327423165941405274903133026914570794172630632038291499361359375290791990253041841

V(222)=101*149*3109*9901*111149*708840373781*23653713304547869

*669031686661427842829*40548140514062774758071840361

*543309565743971477870075858731741*2228457285782705288389843210675909

*35267115916388035942705181992852854614802588780637908577449241

V(223)=11*208729*1697477*5156432569

*1966032824334071843648738236716922141567459089390154109618864643162638011

*253093223170974042778078357371021297932776085452885919633889326945731506967967386342851064208779696417921593338374442943683661653

V(224)=19841*976193*6187457*834427406578561*417067672004431016027567793820801

*707285850117624346067550937755073

*3389990665995333265366836872252020333482336548986397735456228533820597306799173793346530834741952645058293656375786341106265537

V(225)=7*11*13*19*211*241*251*2161*5051*9091*29611*52579*270001*3762091

*8985695684401*78875943472201*10000099999999989999899999000000000100001

*3703689986333387654119799556297939637260602734804685908570705293684097466301976659345706127014344391317072899730001

 

V(306)=101*409*3061*9901*54469*5969449*28559389*134703241*158963941*1491383821

*999999000001*2709009355501*3626707988341*225974065503889*2324557465671829

*157538980319816607121*846160494149365798478410729*44398000479007997569751764249

*112544281755782732673671367061

*783547101206294913371101984838610145434601594940320359051755346054094539252541

 

V(1530)=61*101*181*409*1021*3061*3541*6121*8161*9181*9901*26861*27961*54469

*302941*855781*2586721*4188901*5969449*134703241*39526741*28559389*1491383821

*158963941*999999000001*2709009355501*3626707988341*5071197096181

*7568346838961*49281384122461*225974065503889*2324557465671829*37932032823724801

*239693526486549721*157538980319816607121*237612993541791006121

*4999437541453012143121*1105097795002994798105101*751762284003937848349377181

*846160494149365798478410729*44398000479007997569751764249

*112544281755782732673671367061*1988731184935761442996825520561

*677827125083342723075551469213357648491441

*114797635898427958794033542315180663747542680841

*1051361091529803074497312148085134194834726090632313891925201

*3486475319440674008607957277969304463510523376893744438151274361

*390165385837451805986633040667495640526336339013830593297226360344237401

*783547101206294913371101984838610145434601594940320359051755346054094539252541

*43887676749049286859957741206860383524548699002153264931550516480695777147894957371960463726292449374198566372664062191744269147207469427369452038981390110310424297471439054264211718497113281391399447220225277091449085500667246409298025522326033672198733237037471557664034999355301279778740053536532612353615850997514261653480421 *3973385473027556023119096336620956211569860658253353313370143300305582194078147913929835122344098066217978345580337256441190229127277319352472972211120481532278627814429484190351112147923040292459645090216019422471833204708649799932379166321324711348983054565937556461913668190642944939839342853647430831566648938418609247758255459596701449580594261981

 

ＮＯ１１　＜やぎ ＞さんからの報告　　　Ｈ１７年１２月１５日受信　　１２月１８日　更新

Ｖ（ｎ）のｎ＝255までと書きましたがｎ＝２２５までの間違いでした。
実はｎ＝２２６は関連資料だけでは素因数分解できません。
多分未解決だと思います。

ＮＯ１２　＜にいばりZ12＞さんから　2013年５月３日02時22分日午後２０時受信　　　５月５日更新

去年から少しずつ読み進めていたのですが、合同式の問題が出たので合同式を使わない考え（こだわりでもないのですが）でsambaGREENの示した式を導出してみました。

 

V(n)はｎ＝２＾m の形以外のすべてのｎについてＶ(n)は合成数

 

数Ⅰ展開公式の拡張で因数分解してみます(記号は全て自然数)

ｘ＾ｎ+1

 

ｎが奇数n=2k+1の時ｘ+1を因数に持つ

x^0+ x^n＝ (x^0-x^1+x^2-x^3+-x^4+x^5-x^6+・・・・・+x^(n-1))(x+1)・・・・①

=    x^1-x^2+x^3-x^4+-x^5+x^6-x^7+・-x^(n-1)+x^n

+x^0-x^1+x^2-x^3+-x^4+x^5-x^6+・・・+x^(n-1)　　

①  式はｘがｎ-1（偶数）次の項の符合が正の時成立します。

 

ｎが偶数n=2(2k+1)の時ｘ^2+1を因数に持つ

∵X=ｘ^2とおくと①と結果が同様・・・・②

 

ｎを素因数分解すると、偶素数2の積（2^m）と奇素数の積に分解されます。

②  に習いX=ｘ^2^mとするとｘ＾ｎ+1は奇素数の積は奇数なのでｘ^2^m+1を因数に持つ

したがってｎを素因数分解したときに奇素数を持つときV(n)は合成数であるといえます。

ｎの素因数に奇素数を持たないときにはn=2^mとなり合成数であると確定できません。しかしながら素数の可能性を否定できないだけであり素数とも確定できません。

このことは素数の中に偶数が2ただ1つしか存在しないという素数の持つ特異な性質から来ていると思います。

 

以上からやぎさんの投稿にあるV(226)は合成数です

226を素因数分解すると2・113なのでX+1＝10＾2+1＝101を素因数に持つ合成数です。

①  式はx=100、n=113として書けます。

X^0-X^1+X^2-X^3+-X^4+X^5-X^6+・・・・・+X^(n-1)

これを変形整理して素因数に分解するのは難儀です。

sambaGREENの「ｎが３の倍数のとき，１０^3k＋１＝（１０^k＋１)(１０^2k－１０^k＋１)であるから，

Ｖ(３k)は，Ｖ(k)×9999・・9000・・01（９がk個，０がk-1個）と表せる。<br>」

の3の倍数を奇素数として拡張すると何か見えてきそうな気がします。

 

しかしながら、やぎさんのおっしゃるとおり、残りの素因数を調べる大変で私はその方法を知りません

やはり未解決問題なのでしょうか・・・。

もう少し考えてみたいと思います。

ＮＯ２９　＜にいばりZ12＞さんから　2016年６月１２日　02時23分　受信　　　6月12日　更新

応募問題330回での考察をしているうちに10ｎ+1の問題との関連に興味を抱きました

（たぶん皆さんには自明のことなのしょうが、私は面白いと思ったので投稿させて頂くことをお許しください。）

1）

10n+1が素数（n=2 k）の時メルセンヌ素数とはならない

　　∵

　　　　メルセンヌ素数と一致するならば次の等式が成り立つ

　　　　10n+1＝2m-1　(m>n)

　　　　変形して

　　　　2n 5n+1-2m+1＝0

　　　　2n 5n-2m-n2n+2＝0

　　　　2n (5n-2m-n)+2＝0

　　　　2n-1 (5n-2m-n)+1＝0

     左辺が奇数、右辺が偶数、よって矛盾

2)

10n+1が素数(nが2k)の時6ｍ-1の形をとる（n>0でｍは奇数）

　　∵

　　　　6ｍ+1の形をとるならば次の等式が成り立つ

　　　　10n+1＝6ｍ+1 (m>n)

　　　　変形して

　　　　2n 5n＝2・3ｍ

　　　　右辺は素因数に3を持たず素因数分解の一意性に矛盾

　　　よって10n+1が素数の時6ｍ-1の形をとる

　　　（この事から直ちに（1）は自明となります）

3)

      10n+1＝6ｍ-1   (m>n)　

　　　　変形して

　　　　2n 5n+1＝6ｍ-1

　　　　2n 5n＝6ｍ-2

　　　　2n 5n＝2(3m-1)

　　　　素因数分解の一意性から

　　　　3m-1＝2n-15n　　　（m,n∈Nより右辺偶数なのでn=1以外ではmは奇数）

　　　　m＝(2n-15n+1)/3

　　　　実際、n=1、m=2（10n+1＝11）及びn=2、m=17（10n+1＝101）で成立している

　　　　この時、n=1=20、n=2=21　(k=0,1)

        ただ、やぎさんの検討によりそれ以上大きな素数はn=226まで見つかっていません。

4）　　・ｇn-1 　の素数性を考えます（ｇ,n∈N）ただしｇは偶数

　　　　ｇ=n=1の時0（非自然数）

　　　　　ｇ=2、n=1の時1（単位数: メルセンヌ数の定義からはメルセンヌ数となるが素数でも合成数でもない）　　　　　　

　　　　　ｇ=2、n>1の時メルセンヌ数（素数であればメルセンヌ素数、合成数であればメルセンヌ合成数）

　　　　　ｇが2より大きくn=1の時

　　　　　　　ｇ=3の時、唯一の偶素数2

　　　　　　　ｇ=4の時、奇素数の最小数3（ｇ=2、n=2と同値で最小メルセンヌ素数。以後ｇが2の累乗になる数は省略）

　　　　　　　ｇ=5の時、偶数4　（以降ｇが奇数の場合はｇ-1がすべて偶数（2を素因数に持つ）合成数）

　　　　　　　ｇ=6の時、奇素数5

　　　　　　　ｇ>6且つｇが6の倍数の時、奇素数となる可能性がある。（6は3を素因数に含むのでメルセンヌ数ではない）

　　　　　　　　　　　　(2×6-1=11, 3×6-1=17, 4×6-1=23,5×6-1=29, 7×6-1=41, 8×6-1=47, 9×6-1=53, 10×6+1=59・・・)

　　　　　ｇ>2、n>1の時

　　　　　　　ｇn-1=(ｇ-1)(ｇn-1+ｇn-2+ｇn-3+ｇn-4+・・・・ｇ+1)となりすべて合成数（ｇ-1>1）

　　　 ・ｇn+1 　の素数性を考えます（式の定義からフェルマー数とは呼びませんがフェルマー数と一致するものがあります）

　　　　　ｇ=1、n=1の、唯一の偶素数2

　　　　　ｇ=2、n=1　の時、奇素数3（この形は2n+1;n=2k; k=0　でフェルマー数F0です）　　　

　　　　　ｇ=2、n>1の時奇数（この形はn=2k; k≧0　でフェルマー数Fkです）

　　　　　ｇが2より大きくn=1の時

　　　　　　　ｇ=3の時、唯一の偶数4

　　　　　　　ｇ=4の時、奇素数5（ｇ=2、n=2と同値でフェルマー数F1）

　　　　　　　ｇ=5の時、偶数6　（以降ｇが奇数の場合はｇ+1がすべて偶数（2を素因数に持つ）合成数）

　　　　　　　ｇ=6の時、奇素数7

　　　　　　　ｇ>6且つ6の倍数の時、奇素数となる可能性がある。

(2×6+1=13, 3×6+1=19, 5×6+1=31, 6×6+1=37, 7×6+1=43, 10×6+1=61・・・)

　　　　　　　

　　　　　ｇ>2、n>1且つnが奇数の時

　　　　　　　ｇn+1=(ｇ+1)(ｇn-1-ｇn-2+ｇn-3-ｇn-4+・・・・+ｇ0)となりすべて合成数

　　　　　　　ｇn+1=ｇn -ｇn-1+ｇn-2-ｇn-3+ｇn-4-・・・・+ｇ1

　　　　　　　　　　　 +ｇn-1-ｇn-2+ｇn-3-ｇn-4+・・・・ -ｇ1 +ｇ0

                 ｇ>2、n>1且つnが偶数の時上記と同じように考えると

　　　　　　　 　　(ｇ+1)(ｇn-1-ｇn-2+ｇn-3-ｇn-4+・・・・-ｇ0)

　　　　　　　　　　ｇn -ｇn-1+ｇn-2-ｇn-3+ｇn-4-・・・・-ｇ1

　　　　　　　　　　　 +ｇn-1-ｇn-2+ｇn-3-ｇn-4-・・・・ +ｇ1 -ｇ0

　　　　　　　　　　= ｇn-1　　（二重下線の項数が偶数個であるためｇ0の符号がマイナス。）

　　　　　　　　　　となってしまうためこのままでは因数分解の公式としては成立しない。

　　　　　　しかしながら、nを素因数分解したとき奇数の素因数piaiを少なくとも1つ持つ場合

（piはi番目の素数(1番目は2)でaiはその指数）

　　　　　　ｇn+1=ｇ^(p1a1piai)+1=(ｇ^ p1a1) ^piai+1

　　　　　　ｇ^ p1a1=G 、piai=mと置くと（mは奇数なので）

　　　　　　　G m +1=( G+1)( Gm -1- Gm -2+ G m -3- G m-4+・・・・+ G 0)となり合成数となる

　　　　　　次にｇであるが、これを素因数分解したとき偶数なので

　　　　　　ｇ= p1b1 p2b2 p3b3 ・・・・pibi pi+1b(i+1)・・・・pn’bn’  (b1>0)

　　　　　　             （piはi番目の素数(1番目は2)で biはその指数）

で表される

　　　　　　結局ｇn+1は下記G m +1と表される

　　　　　　ｇn+1= G m +1= (p1b1 p2b2 p3b3 ・・・・pibi pi+1bi+1・・・・pn’bn’ )^( p1a1 p2a2 p3a3 ・・・・piai・・・・pnan)+1

　　　　　　ここで、

a2=a3=・・・・=ai=・・・=an=0

            としたとき

　　　　　　ｇn+1= G m +1= p1b1^p1a1・p2b2^p1a1・p3b3^p1a1・ ・・・・pibi^p1a1・ pibi^p1a1・・・・・pn’bn’^p1a1+1

　　　　　　さらに

b1,b2,b3,・・・・,bi・・・,bn’ (bのいずれかが0でも全てが0で無ければ良い)

　　　　　　が共通の奇の素因数c≧3を持つとすると

　　　　　　ｇn+1= G m +1= (p1 b1/cp2b2/c p3b3/c ・・・・pibi/cpi+1bi+1/c・・・・pn’) c ^p1a1 +1

= (p1b1/c^p1a1・p2 b2/c ^p1 a1 ・p3 b3/c ^p1a1 ・・・・pibi/c^p1a1・pi+1 (bi+1)/c ^p1a1・・・・pn’^p1a1)c+1

　　　　　　となるので

　　　　　　G = p1b1/c^p1a1・p2 b2/c ^p1 a1 ・p3 b3/c ^p1a1 ・・・・pibi/c^p1a1・pi+1 (bi+1)/c ^p1a1・・・・pn’^p1a1

　　　　　　　　　　m =c

　　　　　　と置く（指数の交換）とｇn+1= G m +1は合成数となります

5）

　　　　　　10n+1の問題に当てはめる（ｇ=10）と

　　　      n>1且つnが奇の素因数を持つとき

　　　　　　すべて合成数となります

　　　　　　また、10は素因数分解すると21・51となり共通の奇の素因数cを持たない

　　　　　　したがって素数の可能性があるのは

  n = p1a1=2 a1 (a2=a3=・・・・=ai=・・・=an=0)

                 の時だけとなります

            a1=0,a1=1のとき10n+1が素数となるのは(3)で示しましたがそれ以降のa1については

　　　　　　7(n=128)にいたるまで合成数です。

　　　　　　ここで、a1が8(n=256)の時を考えます

　　　　　　いま、10n+1をフェルマー数に倣い10^2k+1とし、これをW(k)とします

　　　　　　W(k)-1= 10^2k = (10^2k-1)2= (W(k-1)-1)2

　　　　　　なので

　　　　　　W(k) = (W(k-1)-1)2+1・・・・①

= W(k-1) 2- 2W(k-1)+2・・・・①’

　　　　　　という漸化式が成り立ちます。よって①から

　　　　　　W(k-1) = (W(k-2)-1)2+1

　　　　　　これを①’に代入すると

　　　　　　W(k) = W(k-1) 2-2(W(k-2)-1)2・・・・②

　　　　　　という漸化式も成り立ちます。

　　　　　　次にフェルマー数に成り立つ下式が成り立つかどうか考えます

Fn = Fn−1 + 2^2n−1F0 …Fn−2  (n>1) ・・・・F③

　　　　　　　フェルマー数における上式の誘導は次の通りです

　　　　　　　（数学的帰納法）

　　　　　　　F2= F1 + 2^21 F0= 5+4･3=17

　　　　　　　F3= F2 + 2^22 F0･F1=17+16･3･5=257

Fn = Fn−1 + 2^2n−1F0 …Fn−2が真と仮定すると

Fn - Fn−1=2^2n−1F0 …Fn−2=2^2n-2^2n−1

F0 …Fn−2=2^2 n−1-1

F0 …Fn−1=(2^2 n−1-1)( 2^2 n−1+1)= (2^2 n-1)

  また、定義から

Fn =2^2 n+1

　Fn+1= Fn +2^2n F0 …Fn−1=2^2n+1+2^2n･(2^2 n-1)

=2^2n+1+2^2n+1-2^2n

=2^2n+1+1

               で成立している。よってn>1で成立する

 

W(k)について同様にやってみます

　　　　　　　W(2)=10001≠ W(1) + 10^21 W(0)= 101+100･11=1201

で成立しません

              そこで少し戻って

　　　　　　　W(0) W(1) W(2)･･･W(n-2) 　　　(n>1)

を求めてみます

W(0) W(1) W(2)･･･W(n-2)

=(10^20+1) (10^21+1) (10^22+1) ･･･(10^2n-2+1)

=10^(20+21+22+･･･+2n-2)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-21)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20-21)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-22)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20-22)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-21-22)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20-21-22)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-23)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20-23)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-21-23)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20-21-23)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20-21-23)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-22-23)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20-22-23)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-21-22-23)

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20-21-22-23)

　　　　　　　･

　　　　　　　･

　　　　　　　･

+10^(20+21+22+･･･+2n-2-20-21-22-･･･-2n-2)　　（ﾏｲﾅｽ部分は指数項の全ての組み合わせの数だけ存在します）

=Σi=0～p10^2i      (p=(2 n-1-1)/ (2-1) =2 n-1-1)

(∵この式の1項目の指数部分に注目すると初項1公比2項数n-1の等比数列となっているので)

W(0) W(1) W(2)･･･W(n-2)

=1111111111111･･･1（1が2 n-1個並ぶ）となります

ここで再度W(k)の漸化式を考えます

W(k)= W(k-1)+A･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-2)と置きます

W(k)-W(k-1)=10^2k-10^2k-1

10^2kは10000････0（1の下に0が2k個並ぶ2k+1桁の数）

10^2k-1は10000････0（1の下に0が2k-1個並ぶ2k桁の数）

従って

10^2k-10^2k-1は999･･･9000･･･0（9が2k-1個の後に0が2k-1個並ぶ2k桁の数）

これをW(0) W(1) W(2)･･･W(k-2) =111･･･1（1が2k-1個並ぶ2k-1桁の数）

で割ると

9000･･･0（9の後に0が2k-1個並ぶ2k-1+1桁の数）となり

A=9･10^2k-1

よって次の漸化式が成り立ちます

W(k)= W(k-1)+ 9･10^2k-1･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-2) 　　　　(n>1)

 

フェルマー数に成り立つ下記漸化式がW(k)についてどうなるか考えます

Fn= F0…Fn−1+2  (n>1) ・・・・F④

上記漸化式はF③から演繹的に導かれます

Fn = Fn−1 + 2^2n−1F0 …Fn−2  (n>1)

= Fn−1 + (2^2n−1+1-1)F0 …Fn−2

= Fn−1 + (Fn−1-1)F0 …Fn−2

= (2^2 n−1+1) + F0 …Fn−1-(2^2 n−1-1)

=F0 …Fn−1+2

この式は、フェルマー数がすべて奇数であることから互いに素であることを意味します

∵

　互いに素でないと仮定すると

　Fn とFi  ;(3≦i≦n−1)に共通奇素因数Pが存在することになり

P(Fn /P)=P F0 …(F i /P)…Fn−1+2   (n>1)

Fn /P=F0 …(F i /P)…Fn−1+2/P

　　となり割り切れず矛盾。よって互いに素

 

同様に、W(k)についてもやってみます。

W(k)= W(k-1)+ 9･10^2k-1･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-2) 　　　　(n>1)

= W(k-1)+ 9(10^2k-1+1-1)･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-2)

= W(k-1)+ 9(W(k-1)-1)･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-2)

= W(k-1)+ 9･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-1)- 9･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-2)

= W(k-1)+ 9･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-1)- (10^2k-1-1)

= W(k-1)+ 9･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-1)- (10^2k-1+1-1-1)

= W(k-1)+ 9･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-1)- (W(k-1)-2)

= 9･W(0) W(1) W(2)･･･W(k-1)+2

W(k)と W(i)が互いに素でないと仮定すると共通奇因数Pが存在することになり

W(k)/P=9･W(0) …(W(i)/P)…W(k-1)+2/P

となり割り切れず矛盾。よってﾌｪﾙﾏｰ数と同様に互いに素

 

　　　　　　　最初に戻り

10n+1の問題に当てはめると

n = p1a1

a1が8(n=256)

のとき

W(8)でW(0~7)とは互いに素となります。

W(8)が合成数であればW(0~7)の全ての素因数とは別の素因数を探さなければなりません。

 

6）

因みにメルセンヌ数とフェルマー数が一致するのはどのような場合か検討しておきます

　　　　　　　　2n-1=22^k +1　(nは自然数、kは自然数と0（ウィキではkを自然数としていますがF0が定義されているので）

　　　　　　　　2n=22^k +2

　　　　　　　　2n-1=22^k-1 +1

　　　　　　　　右辺が奇数となるのはn=1の場合のみ

　　　　　　　　左辺が奇数となるのはk>0

　　　　　　　　　　n=1に対しk>0のいかなる自然数を代入しても一致しない

右辺が偶数となるのはn>1

　　　　　　　　左辺が偶数となるのはk=0の場合のみ

　　　　　　　　　　k =0に対しn >1のうちn=2の時一致し

　　　　　　　　　この時M2=F0=3（素数）で一致しそれ以外には一致しない。

 

7）

      　ｇ>1,( ｇ=1の時ｇn+1は常に2となり検討から除外する)

ｇn+1 　が素数の時ｇは偶数、nは2の累乗(2k)　（第12話で証明済み；）

 

上記素数は6ｍ-1に属するか6ｍ+1に属するか

 

ｇn+1＝6ｍ-1   　

　　　　変形して

　　　　ｇn＝2(3ｍ-1)

　　　　ｇはその素因数に2を含むので

 

　　　　ｍが偶数の場合n=1(nは2の累乗(2k)なのでk=0)且つｇの素因数に2をただ1つ含む

　　　　即ち

　　　　ｇn＝2p2a2p3a3p4a4・・・pi ai =2(3ｍ-1)；（pi ai；i番目の素数でaiはｇにおけるその指数）

　　　　p2a2p3a3p4a4・・・pi ai =3ｍ-1

　　　　上式右辺は2より大きいすべての奇数を示すが左辺はｍ-1、2ｍ-1を除く奇数を表す

　　　　

 

　　　　ｍが奇数の場合3ｍ-1は偶数なのでn>1。

　　　　即ち

　　　　ｇn＝p1a1np2a2np3a3np4a4n・・・pi ain =2(3ｍ-1)　　　；（p1a1n=2a1n ,p2a2n=3a2n,p3a3n=5a3n・・・)

　　　　　ここで、ｍ=3q1+3q2+3q3+・・+3qi-i/3           ；（iは3の奇数倍)

　　　　　とすると、右辺は

　　　　　　2(3q1+1+3q2+1+3q3+1+・・+3qi+1-i-1)=2(3-1)( 3a2n-1 +3a2n-2+3a2n-2+3a2n-2+3a2n-2…1)

　　　　　

 

 

ｇn+1＝6ｍ+1   　

　　　　変形して

　　　　ｇn＝2・3ｍ

　　　　

ｇはその素因数に2を含みnは2の累乗(2k)　

　　　　ｇ=2a13 a2p3a3p4a4・・・pi ai

ｍ=2na1-13 na2-1p3a3np4a4n・・・pi ain　　　

　　　　上式からa2=0の時、つまりｇに素因数3を含まない（2は必ず含む）場合

　　　　　　ｇn＝2・3ｍは素因数分解の一意性から成立しない∵左辺が素因数3を持たない

　　　　a2>0の時、つまりｇに素因数3を1つ以上含む（2は必ず含む）場合

　　　　　　ｇn＝2・3ｍは成立する

 

　　　　この事より、ｇn+1が素数(2,3を除く)の場合

　　　　　　①ｇに素因数3を含むときその素数は6ｍ+1で表される（最小値n=1,k=0,m=1,ｇn+1＝7）

　　　　　　②ｇに素因数3を含まないときその素数は6ｍ-1で表される（最小値n=1,k=0,m=1,ｇn+1＝5）

 

　　　　記述が前後して取りとめのない投稿になってしまいましたが、途中の問題の投稿の間もこの問題を

　　　　ずっと考え続けていました。

　　　　先生の課題に取り組むうちに、またこの投稿を考えているうちに、これは数論と群論（数学的構造）

　　　　を勉強しなければ前に進めないのではないかと思い始めました。

　　　　フェルマー数はF5　以上の素数が知られていません

　　　　W(k)は今のところW(2) 以上の素数が先生のサイトではわかっていません

　　　　ｇ^(2k)+1を考える時、最初の何個かは素数で以降は合成数

　　　　ｇが大きくなるとその最初の素数の数が少なくなり1個に収束する

　　　　と言うような予想を考えました。

　　　　代数方程式は５次未満の一般解はすべて存在するがそれ以上は無い。

　　　　フェルマーの大定理の指数は３以上

　　　　この２つもガロア理論（群論）を駆使して証明されています

　　　　数学的応募問題334（３３ｐを９０で割った余り）の回答で「剰余系は循環する」

　　　　と書きましたが厳密には群論の巡回群（全く理解していませんが）として扱わなければならない問題だったような気がします。

　　　　ワイルズの証明にも、谷山志村予想のモジュラーが出てきて、その講演題目は「･･･のガロア表現」でした。

　　　　勉強はずっと続くようです。好奇心を満たすためには・・・・。

　　　　　

 

 

<自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

　

　

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