平成11年12月13日

<美しい数学の話>

        第14話 「1000100010001,・・・・の因数分解」

NO7 <水の流れ> 11月29日  12月2日更新
さて、次の数列に現れるすべての数は合成数でしょうか、それとも素数でしょうか。考えてください。10001,100010001,1000100010001,・・・・・・
NO8 <清川(kiyo)>さんから 12月1日受信   2日更新
いつもお世話になっています。清川(kiyo)です。
数列の一般項をF(n)とする。まず第18項が不明です。251項まで検索しました。
(第166項、210項)も不明ですが検索時間が15秒間の条件のもとでのことです。
まずは第18項の完全読切りでしょうが、十進ベーシックの1000桁モードは速度が遅いです。
F(n)の性質
1) F(3n-1)は3で割り切れる。
2) F(11n-1)は11で割り切れる。
3) F(2n-1)はF(n)で割り切れる。奇数番項は合成数である。
4) F(2n-1)はF(1)で割り割り切れる。
   F(3n-1)はF(2)で割り割り切れる。
F(4n-1)はF(3)で割り割り切れる。
F(5n-1)はF(4)で割り割り切れる。
一般にF(kn)はF(k-1)で割り切れる。
F(3n)かつF(3n+1)が合成数であるか、F(2n)が合成数であることが証明されると、この数列の各項は合成数となるのですが。
 検索の結果
1) = 73 * 137
2) = 3 * 7 * 13 * 37 * 9901
3) = 17 * 73 * 137 * 5882353
4) = 41 * 271 * 3541 * 9091 * 27961
5) = 3 * 7 * 13 * 37 * 73 * 137 * 9901 * 99990001
6) = 29 * 239 * 281 * 4649 * 909091 * 121499449
7) = 17 * 73 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857 * 5882353
8) = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 9901 * 52579 * 333667 * 999999000001
9) = 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 * 1676321 * 5964848081
10) = 11 * 23 * 89 * 4093 * 8779 * 21649 * 513239 *

      1112470797641561909(?)
11) = 3 * 7 * 13 * 17 * 37 * 73 * 137 * 9901 * 5882353 * 99990001

*9999999900000001
12) = 53 * 79 * 521 * 859 * 533715214846924226069439962768595868657(?)

13) = 29 * 73 * 137 * 239 * 281 * 4649 * 7841 * 909091 *15493852859325724104033927689(?)

14) = 3 * 7 * 13 * 31 * 37 * 41 * 61 * 211 * 241 * 271 * 2161 * 3541 * 9091* 9901 * 27961 * 481183553194557910201(?)

15) = 17 * 73 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 19841 * 69857 * 5882353 *5040068544932211078070661761(?)

16) = 103 * 4013 * 2071723 *11678991964431032745841584158415842752057612284687433(?)

17) = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 73 * 137 * 3169 * 9901 * 52579 *999999000001 * 31552540549037554433259734929(?)

18) = ?

19) = 17 * 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 * 1676321 * 5964848081* 588235294117647058823529411764705882353(?)

 以下は検索に15秒間の条件を課したものです。偶数項の性質を見つけるために、参考として報告します。第251項で1000桁をこえてしまいます。 
 
19 = 17 * 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 *5881764764700000588235294117647058823529999941182352353 (?)

20 = 3 * 7 * 7 * 13 * 29 * 37 * 43 * 127 * 239 * 281 * 1933 * 2689 * 4649 *9901 * 555834324445886010489004850300585949260658240814141 (?)

21 = 11 * 23 * 73 * 89 * 137 * 617 * 4093 * 8779 * 21649 *

9252938558830625731806900347242423245519856534761985667034203 (?)

22 = 47 * 139 * 1289 * 2531 *

469229935360571510991280627078200906912258332164075748377095948539772049526983 (?)

23 = 3 * 7 * 13 * 17 * 37 * 73 * 97 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 9901 *

423590145534081219011513462662314718436282599748333189816243178593 (?)

24 = 41 * 251 * 271 * 3541 * 5051 * 9091 * 21401 * 25601 * 27961 *

143965328777047809555147229044485277095551472290446292424243285201 (?)

25 = 53 * 73 * 79 * 137 * 521 * 859 *

533661848662058020267413221446451223534646535346465406830838400852337373206675609298657 (?)

26 = 3 * 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 109 * 757 * 9901 *

70873113526112454510978068102400025925384927826081348301451488452324684262051069322976787 (?)

27 = 17 * 29 * 73 * 113 * 137 * 239 * 281 * 4649 * 7841 *

733228640798400929279557905086970275897969807391983342016702406137291661557241180300219 (?)

28 = 59 * 349 * 3191 * 16763 * 38861 *

2336541353427122172616067885121989621985528686752654821152403239432899323494

64090444304498661447 (?)

29 = 3 * 7 * 13 * 31 * 37 * 41 * 61 * 73 * 137 * 211 * 241 * 271 * 2161 *3541 * 9091 * 9901 * 27961 *

48113543965059285091590840915908409159084091590840915908409207197635555900201 (?)

30=2791*358330351128986062346829451845220351486958083124686528129702973880333214260157653171264815481906485166610534217162311 (?)

31 = 17 * 73 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 19841 *

20710827756715891336122171261529363904810000000000000000000000002071082775671589133612217126152936390481 (?)

32 = 3 * 7 * 11 * 13 * 23 * 37 * 67 * 89 * 4093 * 8779 * 9901 * 21649 *

852098960255757347996061242273369195570631586671784114732739199845921916811786220424274557997484479153 (?)

33 = 73 * 103 * 137 * 4013 *

2419321694783216923638952530489525546827422527274222853420557944205603635272

74225272718059510474695104988883216947832167059 (?)

34 = 29 * 41 * 71 * 239 * 271 * 281 * 421 * 3541 * 4649 * 9091 * 27961 *

3694858324756612829985762607905299259293467455459133953454211650963978751832

558241768428152249692880738249 (?)

35 = 3 * 3 * 7 * 13 * 17 * 19 * 37 * 73 * 137 * 3169 * 8929 * 9901 *

3646764626604156211096899394266708410089344117148333585870231170080306737158

850164145413054297837513942846308411401129 (?)

36 = 149 * 3109 * 7253 *

2976588254419831342374150155973148567578615419099695113493929428381429070769

22081331275812536090630004657005168875962066775184943104037 (?)

37 = 73 * 137 * 457 *

2188183829321663238512037199124748358862363238514223194770240700437636763676

148818380744201312912472647724288840481400439824945317286652297593 (?)

38 = 3 * 7 * 13 * 13 * 37 * 53 * 79 * 157 * 521 * 859 * 3121 * 6397 * 9901

*1309643307249315061830775511287492722961465048790064780642292549588835935883

3068230799423808894649483020560511362141036773421 (?)

39 = 17 * 41 * 73 * 137 * 271 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 3541 * 9091 *27961 *

4108824411676479000041088244116805878244527647231168058782445276883194121755

472352768831941217558832352099995891175588323521 (?)

40 = 83 * 1231 *

9788300333757451577324743328472394869487046577872824523210642734381979593435

6435653352656769401015933760386892828830513051403013516388879646286298738415237 (?)

NO9 <水の流れ> 12月1日記入  12月2日更新 
 
参った。こんなに、気が遠くなる桁数まで因数分解をしてあるのを見たのは、初めてです。したがって、全く申し訳ないですが、Webサイト上では、ここまでの桁数にさせてもらいます。めんなさい。この数列は、コンピューターを使わずにして、直接に合成数と証明できます。こちらの考え方でお願いします。
NO10 <sambaGREEN>さんからの解答 12月2日午前3時受信 12月3日更新 
意外にあっさりいってしまったのですが,勘違いしていないか心配です。
それにしても,<kiyo>さんの因数分解にはビックリしました。
****************************

便宜上,1を加えて,1,10001,100010001,1000100010001,・・・・・・で考えます。
n番目の数は1+10^4+10^8+・・・10^4(n-1)=(10^4n−1)/(10^4−1)=(10^2n+1)(10^2n−1)/(10^2+1)(10^2−1)=(10^2n+1)(10^2(n-1)+・・・10^2+1)/(10^2+1) となる。

n=2のとき,10001=73×137
n≧3のとき,分子の因数10^2n+1,10^2(n-1)+・・・10^2+1はともに分母10^2+1より大きいから合成数である。
したがって,n≧2において,すなわち数列:10001,100010001,1000100010001,・・・・・・はいつも合成数である
NO11 <ch3cooh>さんからの解答 12月2日午後2時受信 12月3日更新 
主に使っているのが C言語で、有効精度が少ないために多倍長計算を計算機で解くことは得意ではないのですが・・・
(多倍長ライブラリを作れば良いと言う話もある 汗;)
数列 10001,100010001,1000100010001,・・・・・・について
この数列をf(n)とすると
f(n+1)-f(n)= 10^(4*n) となります。
これは、差がべき乗の数列ですから
f(n)= ( 10^(4*n)- 1 )/( 10^4-1 )
上辺・下辺を因数分解して
f(n)= ( (10^n-1)*(10^n+1)*(100^n+1) )/( (10 -1)*(10 +1)*(100 +1) )
となります。この数列に対して、n!= 1の場合に約数が残れば素数でないことが証明できます。
(n==1の場合は、f(n)=1)
とりあえず、nが奇数の場合と偶数の場合に分類します。
* nが奇数の場合
10^n-1= (10-1)*(10^(n-1)+10^(n-2)+・・・+1)
= (10-1)*111111111・・・1
長さが偶数
= (10-1)*11*101010・・・101
= (10-1)*101*110011001100・・・110011
と変形できます。
上の式の分母の分に含まれる値を 10^n-1 のみで約分できるため、少なくとも(10^n+1)*(100^n+1)の約数が残る。  ゆえに素数ではない。
 * nが偶数の場合
1) 10-1 については、同様に左記の説明と同様に分解して 1111・・・11が約数として残る
2) 10+1 については、10^n+1= (10+1)*(10^(n-1)-10^(n-2)+10^(n-3)-・・・ -1) と
2番目の項が分解できるため約分できる。(その上約数も残る)
3) 100+1 についても 2)と同様に約分できる。
全体として、約分した後に約数が残るため素数ではない。
両方の場合を総合すると、素数の解答は得られない。

これが、上記数列に対する解答です。
(以下は、愚痴に近いものがあるので読み飛ばして下さい)
なかなか、回答が得られない場合には、コンピュータで力任せにとりあえずの解答を作ることもありますが、それに頼っていると思考能力が衰えるので、基本的には最後の手段として残していますまたコンピュータで解く場合も、ある程度高速化することを前提としています。

 今までに、計算して回答した結果は、(C言語で実行が早いせいでももありますが)大抵10秒以内に解答がでるものです。(理系の仕事をしているので、思考能力はそのまま飯の種です)算数への取り組みとしては以下のようなページもあります。
http://www.nikonet.or.jp/spring/index.html
ここで、説明されているコンクールの 1,2 回に出ていました。(年齢がばれるな〜)最近の新聞を見ていると、理数嫌いの高校生が増えているようですが、今の文明が科学技術によって成立していることを考えると憂慮すべき事態だと思います。
(芸術・文化は生活水準の向上による余暇としてしか成り立たない。)
算数・理科の教育については、高度な解析には抽象化が必要ですが、それ以前の段階として、実用的で面白い面に興味を持ってもらい、計算手順を楽にする道具として、より高度な数式を教えるようにしないと益々数学嫌いが増えるのではないかと思います。(興味よりも嫌悪感が先に立っては覚えてもらえない)
・・・最近はコンピュータによる力任せの解答をしていた 私が言ってもあまり説得力が無いような(反省)

NO12 <水の流れ> 12月2日記入  12月3日更新 
sambaGREEN」さんと「ch3cooh」さんありがとうございます。これで、落ち着いて、次の仕事にかかります。でも、コンピューターのおかげで と言う場合もありますので。
NO13 <清川(kiyo)>さんから 12月3日午前2時受信   4日更新
いつもお世話になっています。清川(kiyo)です。
9が偶数個の場合は素数では?の予想について、10個の場合は合成数でした。
9901 = 9901
99990001 = 99990001
999999000001 = 999999000001
9999999900000001 = 9999999900000001
99999999990000000001 = 61 * 9901 * 4188901 * 39526741
999999999999000000000001 = 3169 * 98641 * 3199044596370769
ID Number: A000682 (Formerly M1205 and N0464)

Sequence: 1,1,2,4,10,24,66,174,504,1406,4210,12198,37378,111278,

346846,1053874,3328188,10274466,32786630,102511418,

329903058,1042277722,3377919260,10765024432,35095839848,

112670468128,369192702554,1192724674590,3925446804750

Name: Folding a strip of n labeled stamps (or semimeanders).
References A. Sade, Sur les Chevauchements des Permutations, published by the author, Marseille, 1949.
J. Touchard, Contributions a` l'e'tude du proble`me des timbres
postes, Canad. J. Math., 2 (1950), 385-398.
J. E. Koehler, Folding a strip of stamps, J. Combin. Theory, 5 (1968),135-152.
W. F. Lunnon, A map-folding problem, Math. Comp. 22 (1968),193-199.
Links: Index entries for sequences obtained by enumerating foldings
P. Di Francesco, O. Golinelli and E. Guitter, Meander, folding and arch statistics.

P. Di Francesco, O. Golinelli, E. Guitter, Meanders: a direct
enumeration approach, Nucl. Phys. B 482 [ FS ] (1996) 497-535.
See also: Equals 2.A000560.
Keywords: nonn,hard,nice
Offset: 1
Author(s): njas
Extension: Sade gives the first 11 terms. (2/97) 5 new terms from Olivier
Golinelli

NO14 <清川(kiyo)>さんから 12月3日午後8時受信   4日更新
いつもお世話になっています。清川(kiyo)です。
1,10001,10001,10001000,....,
一般項を等比数列の和として表わす。ここは問題ないと思います。

F(n)=(10^4n−1)/(10^4−1)
これから分子、分母を因数分解して分子、分母の因数うんぬんが理解出来ません。約分すれば元に戻るだけのように思います。
私の思考力が落ちているせいかもしれませんが。
n=1 1
n=2 1+10^4
n=3 1+10^4+10^8
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
n=k 1+10^4+10^8+・・・・・・+10^(4k−4)
 合成数だとすれF(19)は具体的にどのように素因数分解されるのでしょうか。
「数学的に解ける」ということと「具体的に解を示す」との間には差があるとは思いますが。
「ぼやき」
 アルゴリズムについて
 数学的にあきらかになって公式等もアルゴリズムの一つです。
数学的に解明されていない場合、たとえば、ゲームの木の探索に代表される
アルゴリズムの研究は思考力を低下させるものなのでしょうか。
コンピュータによるチェスが人間のチャンピオンに勝ちましたが、あれは力技だから意味がないいえるのでしょうか。
理系、文系で論理的思考に差があるのでしょうか。
数学基礎論からの見直しで、ゲーデル等が三段論法を包括する形で量化理論に発展させ、現在プロローグ(コンピュータ言語)として具現化されていることを考えると、数学とコンピュータは無関係とはとても言えないと思います。
 発見的プログラミング
 この立場から数学の証明を考えると、AND-OR木の探索ということになります。成果の一部は商品にもなっています。
 シュミレーション
 人間の脳は複雑です。学習とは、記憶とは、論理的思考とは、などの解明のために脳をブラックボックスとして、コンピュータがで盛んに利用されています。
 ネットワーク理論等で。コンピュータによる計算は数値計算より論理計算の方が多いいのではないでしょうか。  以上で、「ぼやき」を終わります。

NO15 <水の流れ> 12月3日記入  12月4日更新 
 私は、コンピュータを持っていませんが、数列:10001,100010001,1000100010001,・・・・・・を考えてみます。
まず、10001=73*137 ですから、これは合成数。
次に、数列の中の任意な項Xを持ってきて、これが合成数であることを証明します。
このXに1111を掛けてみると、4k(k>2)桁の数となります。 
1111*X=1111…111(4k桁)=1000…001(2k+1桁)*111…11(2k桁) となります。
ここで、p=1000…001(2k+1桁)=10^2k+1とおくと、
1111<p<Xだから、ここで、pと1111の最大公約数を〔p,1111〕と表します。
すると、任意な項Xは p/〔p,1111〕>1で割り切れなければなりません。
すなわち、合成数です。
 誰か 教えてください。
NO16 <清川(kiyo)>さんから 12月4日午前1時半受信   5日更新

いつもお世話になっています。清川(kiyo)です。
先生の証明された方法で確かに第18項が因数分解できました。ありがとうございました。
10001,100010001,・・・・,

18) = 990099009900990099009900990099009901 *

1010101010101010101010101010101010101

p=1000…001(2k+1桁)=10^2k+1とおくと、
1111=11*101 ですから、もしpが素数のとき pと1111の最大公約数は1となります。
この場合はどのように考えればよいのでしょうか。pで割り切れると考えるのでしょうか。
それともpは常に合成数になるのでしょうか。この点が疑問として残ります。
 NO17 <水の流れ> 12月4日記入  5日更新 
pは常に合成数になるのでしょうかの疑問がありますが、このpが第13話に出てくる数です。
大きな桁数のときに、素数になっているかも知りませんが、何桁の数までは、合成数であると思っていますが、これでは、確証に乏しい気もします。

NO18 <sambaGREEN>さんから 12月4日午前4時受信  5日更新 
実は,私も最初は,1111をかけたり,101をかけたりして考えていました。
しかし,あと一歩がうまく説明できず(例の如く,素数の場合がなかなか・・・),
発想の転換をして,解答にたどりついたつもりだったのですが・・・。
私の解答の式を表記しなおすと次のようになります。
 x(k)=(10^2k+1)(10^2(k-1)+・・・10^2+1)/(10^2+1)
    =(10^2k+1)(1010・・・101)/101
             1がk個
水の流れさんの式は以下のように変形できます。
1111*X=1111…111(4k桁)=(10^2k+1)*111…11(2k桁) 
101*X=(10^2k+1)*101…101(1がk個)
任意なXはp/[p,101]>1で割り切れる。
発想の転換をしたつもりだったのですが,結局同じところにたどりついていたようです。
蛇足ながら,10^n+1の問題で示したように,
kが奇数のとき,[p,101]=101 
kが偶数のとき,[p,101]=1  当然,101…101(1がk個)が101で割り切れます。
 【コンピュータによる分析について】
10^n+1の問題でも,<kiyo>さんの因数分解の結果はずいぶん参考になりました。
9999・・・0001についての予想ははずれましたが,それもコンピュータのおかげです。
そのうち,真剣に考えようと思っていたのですが,無駄骨をおらずに済みました。
(勿論,無駄骨の中から,新しい発見が生まれることもある(極稀に)でしょうが・・・・)
たしか,4色問題もコンピュータのおかげで,未解決問題から姿を消したのですよね。
この問題を人々が考えた延べ時間は,いったいどのくらいなんでしょうね。
私もコンピュータとして使いたいのですが,なかなか。
でも,昔はPC6001(知ってる人少ない?<kiyo>さんなら知ってそう)使ってたんですよ。
NO19 <清川(kiyo)>さんから 12月5日午前1時受信   6日更新

 いつもお世話になっています。清川(kiyo)です。

先生の証明をプログラムを組んで実行してみました。その結果を報告します。

偶数項の2〜24までは成り立ちますがそれ以降は成り立ちません。奇数項は成り立ちませんでした。

  2 ) 9901 * 10101

4 ) 99009901 * 101010101

6 ) 990099009901 * 1010101010101

8 ) 9900990099009901 * 10101010101010101

10 ) 99009900990099009901 * 101010101010101010101

12 ) 990099009900990099009901 * 1010101010101010101010101

14 ) 9900990099009900990099009901 * 10101010101010101010101010101

16 ) 99009900990099009900990099009901 * 101010101010101010101010101010101

18 ) 990099009900990099009900990099009901 *1010101010101010101010101010101010101

20 ) 9900990099009900990099009900990099009901 *10101010101010101010101010101010101010101

22 ) 99009900990099009900990099009900990099009901 *101010101010101010101010101010101010101010101

24 ) 990099009900990099009900990099009900990099009901 *1010101010101010101010101010101010101010101010101

 

 NO20 <清川(kiyo)>さんから一部追加訂正 12月5日午前4時受信   6日更新

いつもお世話になっています。清川(kiyo)です。

訂正 1000桁まで検索しました。2〜248項までの偶数項は証明の通り成り立ちます。

奇数項は成り立ちません。奇数項は他の方法で証明出来るので、

pが素数でないところまでは合成数が保証されるということになりますね。

 

26 ) 9900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

10101010101010101010101010101010101010101010101010101

28 ) 99009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

30 ) 990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

32 ) 9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

34 ) 99009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

36 )990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

38 )9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901*

10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

40 )99009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

42 )990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

44 )9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

46 )99009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

48 )990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

50 )9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *

10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

<水の流れ:コメント> この間は順に、因数分解されていましたが、紙面の上で勝手ながら、

とばしましたので、ご了承ください。

248 )

9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900

9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900

9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900

9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900

9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900

9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900

9900990099009900990099009900990099009901 *

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

10101010101010101010101010101010101010101

今後とも宜しくお願いします。

NO21 <水の流れ> 12月5日記入  12月6日更新 

しやがって、次の数列に現れるすべての数は合成数でしょうか、それとも素数でしょうか。考えてください。10001,100010001,1000100010001,・・・・・・

この結果は、 <清川(kiyo)>さんによって、1000桁まで検索され、2〜248項までの偶数項は証明の通り成り立ちますが、奇数項は成り立たないことになります。

奇数項は他の方法で証明出来るので、pが素数でないところまでは合成数が保証されるということになりますね。

 ありがとうございました。また、進展したら、ご連絡ください。

NO22 <kiyo(清川)>さんから 5日午前5時受信   12月6日更新

 第13話 「100…001の因数分解」の問題です。

いつもお世話になっています。清川(kiyo)です。

V(n)=10^n+1

V(1)=11

V(2)=101

V(2n+1)==0 (mod 11)

V(4n+2)==0 (mod 101)

V(6n+3)==0 (mod 7*11*13=1001)

V(8n+4)==0 (mod 73*137=10001)

したがって、V(8n)の如何によると思われます。

 <8n>

V(16n+8)==0 (mod 17)

V(32n+16)==0 (mod 353*449*641)

V(64n+32)==0 (mod 19841)

V(128n+64) ?

 .....................

以上が予想されます。今後とも宜しくお願いします。

NO23 <sambaGREEN >さんから 6日午前0時30分受信   12月7日更新

ところで,100010001・・・・10001が合成数であることの証明は完了しているつもりでしたが,

不十分なのでしょうか?

また,10^n+1も,nが2の累乗以外のnについては合成数であると示したつもりなんですが・・・。

NO24 <ch3cooh>さんから 6日午後1時受信   12月7日更新

フォローとして・・・清川(kiyo)さんの<ぼやき>について

前述の答えの部分で、結構きつめの書き方をしたことについては反省しています。

ただ、道具(コンピュータ)の使い方について考えて欲しかったので、前のようなコメントをしました。

コンピュータは、計算や作文、製図などについての便利な道具です。

また、建てようとする家の部屋の配置等のソフトを買うと、おまけである程度の参考例がついてきます。

これらのツールを含めたソフトは、定規や筆のかわりです。

ただ、コンピュータを使う場合は、その他の道具よりも修正・訂正が楽であるために、

使っている本人が努力を行わなくてもきれいな作品が出来てしまいます。

 これを突き詰めると、"コンピュータを使う"のではなく、"コンピュータに使われる"状態となり、

ほとんど努力を行わないで現在あるツールを使いこなすことのみが"技能"であると誤認識をしてしまうことがあります。

・・・話が混乱してきましたが、

<ぼやき> で書いてあるような例については、結構ノウハウのいる"使っている"例だと思います。

(ゲーム理論による評価関数を利用した探索は、複雑な事象に対する解析手段として重要です。)

現在のコンピュータの使われ方としては、"数値計算"や"制御"という

計算よりも、"データベース"や"ネットワーク"に対しての方が頻度は高いことは事実です。

 ただし、高速なデータベース検索手段や、通信コストを低減するためのネットワーク管理手段

(なんか、特許文書みたいになってきてしまった)は統計などを用いた広い意味での数学を用いて実装されています。

言いたいこととしては、論理計算に類似した使用目的であることは多いものの、それを裏付けるのは

(各アルゴリズムに対する)統計的な数字であり、それらのアルゴリズムは数学的な感性がある程度ないと

発案しにくいということです。そう考えると・・・ また同じことの主張になってしまいますね・・・

今後、ソフトウェア産業が重要になるとした場合、その品質確保にはやっぱり(広い意味での)

数学的考え方が重要なのではないでしょうか?

NO25 <kiyo(清川)>さんから 7日午前5時受信   12月8日更新

 いつもお世話になっています。清川(kiyo)です。sambaGREENさんのコメントについて。

命題

V(n)=10^n+1 n>2 のとき,V(n)がすべて合成数ならば 、

F(n)=(10^4n-1)/(10^4-1) n>1 のとき 、F(n)はすべて合成数である。」となると思います。

p=V(n)が合成数であることが前提として証明されていると思うからです。

pが素数のときは証明されていないと私は考えています。

今後とも宜しくお願いします。

NO26 <sambaGREEN >さんから 8日午前0時40分受信   12月9日更新

 お忙しいところ,再度コメントです。よろしくお願いします。

******************************

N=a*b/101でa>101,b>101であれば,a,bが素数であるかそうでないかに拘わらず,

Nは合成数であると思いますが,どうでしょう?(Nが整数であることは保証されていますから)

以前,「約分すれば元に戻るだけのように思います。」と疑問を投げかけておられましたが,

k=2のときは,たしかに10001=10001*101/101=10001と,元に戻ってしまいます。

しかし,元に戻るのはこのときだけです。

それゆえ,k=2のときと,k≧3のときとを分けて証明したつもりですが・・・。

<水の流れさん>の証明をみて変形させた式の方(No18)がすっきりしていると思います。

pのもう一方の因数101010・・・・101(またはこれを101割った商)の存在を

忘れておられるだけのような気がしますが・・・。

NO27 <kiyo(清川)>さんから 11日午後20時受信   12月12日更新

F(n)=(10^4n-1)/(10^4-1) の問題

10001=73*137

1,101,10101,1010101,・・・・,

(10^2n-1)/(10^2-1)

1,9901,99009901,990099009901,・・・・,

(10^2-1)*(10^(8*n-4)-1)/(10^4-1)/(10^(4*n-2)-1)

1,100000001,10000000100000001,1000000010000000100000001,・・・・,

(10^8n-1)/(10^8-1)

F(n) n>2 は奇数、偶数の場合分けで直接因数分解できますね。

議論を混乱させて申し訳ありません。

FOR I=3 TO 16

IF MOD( I , 2) =1 THEN

PRINT USING "###":I;

PRINT

")";(10^(4*I)-1)/(10^4-1)/(10^(2*I)-1)*(10^2-1);"*";(10^(2*I)-1)/(10^2-1)

ELSE

PRINT USING "###":I;

PRINT ")";1001;"*";(10^(4*I)-1)/(10^8-1)

END IF

NEXT I

END

 

3) 9901 * 10101

4) 1001 * 100000001

5) 99009901 * 101010101

6) 1001 * 10000000100000001

7) 990099009901 * 1010101010101

8) 1001 * 1000000010000000100000001

9) 9900990099009901 * 10101010101010101

10) 1001 * 100000001000000010000000100000001

11) 99009900990099009901 * 101010101010101010101

12) 1001 * 10000000100000001000000010000000100000001

13) 990099009900990099009901 * 1010101010101010101010101

14) 1001 * 1000000010000000100000001000000010000000100000001

15) 9900990099009900990099009901 * 10101010101010101010101010101

16) 1001 * 100000001000000010000000100000001000000010000000100000001

 

 今後とも宜しくお願いします。

NO28 <kiyo(清川)>さんから 12日午後2時受信   12月13日更新

 いつもお世話になっています。清川(kiyo)です。
お忙しいところまことに申し訳ありませんが訂正をお願い出来ないでしょうか。

1,9901,99009901,990099009901,・・・・,
(10^2-1)*(10^(8*n-4)-1)/(10^4-1)/(10^(4*n-2)-1)
=(10^(4n-2)+1)/(10^2+1)...約分できます。

プログラムの部分を差し替えてもらえないでしょうか。

FOR I=3 TO 16
   IF MOD( I , 2) =1 THEN
      LET  A=(10^(2*I)+1)/(10^2+1)
      LET  B=(10^I+1)*(10^I-1)/(10^2-1)
      LET  C=A*B
      PRINT USING "###":I;
      PRINT ")";C;"=";A;"*";B
   ELSE
      LET  A=10001
      LET  B=(10^(4*I)-1)/(10^8-1)
      LET  C=A*B
      PRINT USING "###":I;
      PRINT ")";C;"=";A;"*";B
   END IF
NEXT I
END

 3) 100010001 = 9901 * 10101
  4) 1000100010001 = 10001 * 100000001
  5) 10001000100010001 = 99009901 * 101010101
  6) 100010001000100010001 = 10001 * 10000000100000001
  7) 1000100010001000100010001 = 990099009901 * 1010101010101
  8) 10001000100010001000100010001 = 10001 * 1000000010000000100000001
  9) 100010001000100010001000100010001 = 9900990099009901 *10101010101010101

NO29 <watta>さんから 2001年1月22日20時57分時受信 2月9日更新

最近、素因数分解に興味をもって、このページにある合成数の分解を試みたので、
結果を一部記載します。まだ合成数がいっぱいのこってますが、参考までに。
(全部書こうとしたら文字数制限で書き込めなかったです。)
1112470797641561909 =
1056689261 * 1052788969

533715214846924226069439962768595868657 =
265371653 * 1058313049 * 1900381976777332243781

15493852859325724104033927689 =
121499449 * 127522001020150503761

481183553194557910201 =
2906161 * 4188901 * 39526741

5040068544932211078070661761 =
976193 * 6187457 * 834427406578561

11678991964431032745841584158415842752057612284687433 =
28559389 * 1491383821 * 5363222357 * 21993833369 * 2324557465671829

31552540549037554433259734929 =
98641 * 99990001 * 3199044596370769

588235294117647058823529411764705882353 =
5882353 * 5070721 * 19721061166646717498359681

5881764764700000588235294117647058823529999941182352353 =
1676321 * 5882353 * 5070721 * 5964848081 * 19721061166646717498359681

555834324445886010489004850300585949260658240814141 =
226549 * 909091 * 459691 * 121499449 * 10838689 * 4458192223320340849

9252938558830625731806900347242423245519856534761985667034203 =
513239 * 1056689261 * 1052788969 * 16205834846012967584927082656402106953

469229935360571510991280627078200906912258332164075748377095948539772049526983 =
18371524594609 * 25541153808120196576981782275419302715847752401845352648383044087(?)

423590145534081219011513462662314718436282599748333189816243178593 =
69857 * 206209 * 5882353 * 99990001 * 66554101249 * 9999999900000001 * 75118313082913

143965328777047809555147229044485277095551472290446292424243285201 =
60101 * 7019801 * 341233306557836423189042926585457900151074303303755301(?)

533661848662058020267413221446451223534646535346465406830838400852337373206675609298657 =
1580801 * 265371653 * 1058313049 * 1202043747177269046750579461756177809374030236799422516589268981(?)

70873113526112454510978068102400025925384927826081348301451488452324684262051069322976787 =
153469 * 52579 * 333667 * 70541929 * 14175966169 * 999999000001 * 26323019469887323242082320257150758321292311(?)

733228640798400929279557905086970275897969807391983342016702406137291661557241180300219 =
909091 * 121499449 * 5882353 * 1128513272079031029307034839673014435128262728363390415492425225697(?)

 

NO30 <watta>さんから 2001年1月22日21時11分時受信 2月9日更新

233654135342712217261606788512198962198552868675265482115240323943289932349464090444304498661447 =
43037 * 62003 * 618049 * 77843839397 * 1820000982311531033694859127330783920946002983680554138268503342963309(?)

48113543965059285091590840915908409159084091590840915908409207197635555900201 =
2906161 * 4188901 * 1676321 * 39526741 * 99990001 * 5964848081 * 100009999999899989999000000010001


358330351128986062346829451845220351486958083124686528129702973880333214260157653171264815481906485166610534217162311 =
2049349 * 6943319 * 25182599133113309927181068651357635712265051302366973827076088539104314620360773789208384731666372271581(?)

20710827756715891336122171261529363904810000000000000000000000002071082775671589133612217126152936390481 =
976193 * 69857 * 6187457 * 5882353 * 1265011073 * 834427406578561 * 7905069144007405854541480365365940160430516642600171137(?)

852098960255757347996061242273369195570631586671784114732739199845921916811786220424274557997484479153 =
513239 * 5419170769 * 1056689261 * 599144041 * 1052788969 * 459639861075128142333566747789804817206275514684826226092307(?)

241932169478321692363895253048952554682742252727422285342055794420560363527274225272718059510474695104988883216947832167059 =
2071723 * 28559389 * 152533657 * 1491383821 * 5363222357 * 21993833369 * 152381125509140067938259782747568615529367973202234825538528753175360397(?)

3694858324756612829985762607905299259293467455459133953454211650963978751832558241768428152249692880738249 =
3471301 * 123551 * 909091 * 13489841 * 121499449 * 4147571 * 1394045425100632021396780466340029828101129575091664241771986704651(?)

NO31 <八木>さんから 2001年2月24日16時52分時受信 2月25日更新

      W(1)=73*137

      W(2)=3*7*13*37*9901

      W(3)=17*73*137*5882353

      W(4)=41*271*3541*9091*27961

     W(5)=3*7*13*37*73*137*9901*99990001

      W(6)=29*239*281*4649*909091*121499449

      W(7)=17*73*137*353*449*641*1409*69857*5882353

      W(8)=3*3*7*13*19*37*9901*52579*333667*999999000001

      W(9)=41*73*137*271*3541*9091*27961*1676321*5964848081

      W(10)=11*23*89*4093*8779*21649*513239*1052788969*1056689261

      W(11)=3*7*13*17*37*73*137*9901*5882353*99990001*9999999900000001

      W(12)=53*79*521*859*265371653*1058313049*1900381976777332243781

      W(13)=29*73*137*239*281*4649*7841*909091*121499449*127522001020150503761

      W(14)=3*7*13*31*37*41*61*211*241*271*2161*3541*9091*9901*27961*2906161*4188901*39526741

      W(15)=17*73*137*353*449*641*1409*19841*69857*976193*5882353*6187457*834427406578561

  W(16)=103*4013*2071723*28559389*1491383821*5363222357*21993833369*2324557465671829

  W(17)=3*3*7*13*19*37*73*137*3169*9901*52579*98641*333667*99990001*999999000001*3199044596370769

  W(18)=1111111111111111111*722817036322379041*909090909090909091*1369778187490592461

  W(19)=17*41*73*137*271*3541*9091*27961*1676321*5070721*5882353*5964848081*19721061166646717498359681
  W(20)=3*7*7*13*29*37*43*127*239*281*1933*2689*4649*9901*226549*459691*909091*10838689*121499449*
       4458192223320340849 
  W(21)=11*23*73*89*137*617*4093*8779*21649*1056689261*513239*1052788969
      *16205834846012967584927082656402106953

      W(22)=47*139*1289*2531*549797184491917*18371524594609

*11111111111111111111111*4181003300071669867932658901

W(23)=3*7*13*17*37*73*97*137*353*449*641*1409*9901*69857*206209*5882353

*99990001*9999999900000001*66554101249*75118313082913

W(24)=41*251*271*3541*5051*9091*21401*25601*27961*60101*7019801

*78875943472201*182521213001*14103673319201*1680588011350901    

W(25)=53*73*79*137*521*859*1580801*265371653*1058313049

*1900381976777332243781*632527440202150745090622412245443923049201

W(26)=3*3*3*7*13*19*37*109*757*9901*52579*333667*153469*440334654777631

*14175966169*70541929*999999000001*59779577156334533866654838281

W(27)=17*29*73*113*137*239*281*4649*7841*909091*121499449*5882353

*127522001020150503761

*8849557433628319469026539823008938053096460177

W(28)=59*349*3191*16763*38861*43037*62003*618049*77843839397

*11811806375201836408679635736258669583187541

*154083204930662557781201849

W(29)=3*7*13*31*37*41*61*73*137*211*241*271*2161*3541*9091*9901*27961

*2906161*99990001*4188901*39526741*1676321*5964848081

*100009999999899989999000000010001

 W(30)=2791*6943319*2049349*57336415063790604359

*909090909090909090909090909091

*483128549554512237305554588359039822397307149685578249

 W(31)=17*73*137*353*449*641*1409*19841*69857*5882353*6187457*976193

*1265011073*15343168188889137818369

*515217525265213267447869906815873*834427406578561

 W(32)=3*7*11*13*23*37*67*89*4093*8779*9901*21649*513239*599144041

*1052788969*5419170769*183411838171*1056689261*2361000305507449

*789390798020221*1344628210313298373

 W(33)=73*103*137*4013*21993833369*2071723*28559389*1491383821*5363222357

*152533657*2324557465671829

*65552746171882583264230070868884366877803237222654400793

W(34)=29*41*71*239*271*281*421*3541*4649*9091*27961*123551*909091

*13489841*4147571*3471301*60368344121*265212793249617641*121499449

*848654483879497562821*102598800232111471 

 W(35)=3*3*7*13*17*19*37*73*137*3169*8929*9901*52579*98641*99990001*333667

*5882353*999999000001*3199044596370769

*1119946231380893829096202262291421211781722477322208533979169

 W(36)=149*3109*7253*111149*2028119*247629013*422650073734453*708840373781

*296557347313446299*669031686661427842829

*40548140514062774758071840361*2212394296770203368013

 W(37)=73*137*457*1403417*722817036322379041*136977818749059246

*5240808656722481737*909090909090909091*1111111111111111111 *297478330786365628414805305290302483555043017

      W(38)=3*7*13*13*37*53*79*157*521*859*3121*6397*9901*216451*1058313049

*265371653*388847808493*53397071018461*1900381976777332243781

*900900900900990990990991*6060517860310398033985611921721

W(39)=17*41*73*137*271*353*449*641*1409*3541*9091*27961*69857*1634881

*5882353*18453761*1676321*5070721*5964848081

*19721061166646717498359681

*331458348174597454641015384625522036432755806292161

  W(40)=83*1231*68389*538987*2670502781396266997*3404193829806058997303

*201763709900322803748657942361

*(1447745997018511893740076606031686237538345362413531560645573104006506749609

W(41)=73*137*7841*99990001*11189053009*127522001020150503761

*603812429055411913*148029423400750506553*29*281*9901*226549

*121499449*4458192223320340849*3*7*7*13*37*43*127*239*1933*2689*464

*459691*909091*10838689

     W(42)=338669**57009401*2182600451*7306116556571817748755241*173*1527791

*1963506722254397*2140992015395526641

*(2923500556298303355222653948542706598448925085853709961673200056984872843366529)

     W(43)=11*17*23*89*73*137*617*4093*8779*21649*5882353*10100113

*16205834846012967584927082656402106953*513239*1052788969*1056689261

*9900879227786858424257223656804730798555422102713108259184822982673560177

     W(44)=3*3*7*13*19*31*37*41*61*211*241*271*2161*3541*9091*27961*9901

*999999000001*181*4188901*39526741*4999437541453012143121

*1105097795002994798105101*29611*52579*3762091*8985695684401*238681*333667

*2906161*4185502830133110721

     W(45)=47*73*137*139*1289*2393*2531

*4178437150016715837818641871709193476807772628503969494400330129962348520684914375257

*18371524594609*4181003300071669867932658901*549797184491917

*11111111111111111111111

W(46)=45121*6299*4855067598095567*297262705009139006771611927*35121409

316362908763458525001406154038726382279*

(2194319740034551758626584051991334192482655548194831894261875823007047496709068969883181)

括弧内は合成数素因数不明

    W(47)=3*7*13*17*37*73*97*137*193*353*449*641*769*1409*9901*19841*69857*206209

*66554101249*75118313082913*5882353*99990001*9999999900000001*976193*6187457

*834427406578561*1253224535459902849*53763491189967221358575546107279034709697

    W(48)=29*239*197*281*4649*121499449*909091

*5076141624365532994918781726395939035533*505885997

*1976730144598190963568023014679333

*999999999999990000000000000099999999999999000000000000009999999999999900000000000001

   W(49)=41*73*137*251*271*401*1201*1601*3541*5051*9091*21401*25601*27961*1676321

*5964848081*60101*7019801*14103673319201*1680588011350901*182521213001

*78875943472201

*129694419029057750551385771184564274499075700947656757821537291527196801

   W(50)=3*7*13*37*103*409*613*3061*4013*9901*5969449*134703241*28559389*1491383821*225974065503889

*2324557465671829*44398000479007997569751764249*21993833369

*291078844423*377526955309799110357*210631*52986961*13168164561429877*2071723

*5363222357

 

<水の流れ:コメント>H13年2月25日記入:「八木」さんといい「watta」といい、凄い計算の能力があるコンピュータをお持ちですね。この時間にどれだけ費やされたかに、敬意を称します。ありがとうございます。

NO32 <八木>さんから 2001年10月9日0時18分時受信 10月12日更新

第13話においてN=94の時の因数分解がわかりませんでしたが

三島久典 先生の「数学者の密室」 のなかの円分数の素因数分解のデータにありました。

 

 このデータにより第14話のN=46の時の因数分解もできました。

W(46)=

 45121*6299*4855067598095567*297262705009139006771611927*35121409 *316362908763458525001406154038726382279

*2144906157509411684424913774078958939881

*1023037643093214557651333120422980213172396059301

 

<自宅>  mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

 

 

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