平成１２年３月２３日

＜美しい数学の話＞

第１９話　「第２種スターリング数Ｓ（ｎ，ｋ）」ＮＯ２

　　第４６回の応募問題の「無限級数の和」の中にでてくる「第２種スターリング数」について、知っていることを

第１８話美しい数学の話「第２種スターリング数」ＮＯ１から引き続き、今日は、積率母関数（指数型母関数）の話をします。

ＮＯ５．積率母関数の定義（指数型母関数）　（３月１３日記入）　

皆さん！数列｛ａ_０，ａ_１，ａ_２，ａ_３，・・・，ａ_ｎ，・・・｝に対して、次の関数Ｇ（ｘ）をこの数列の指数型母関数と呼ぶ。

Ｇ(x)＝ａ_０/0!＋(ａ_１/１!) ｘ＋(ａ_２/２!) ｘ^２＋(ａ_３/３!) ｘ^３＋・・・＋(ａ_ｎ/ｎ!) ｘ^ｎ＋・・・　　

　例えば、数列｛１，１，１，・・・，１，・・・｝の指数型母関数は、

Ｇ(x)＝１/0!＋(１/１!) ｘ＋(１/２!) ｘ^２＋(１/３!) ｘ^３＋・・・＋(１/ｎ!) ｘ^ｎ＋・・・＝ｅ^ｘ　　

すなわち、ｅ^ｘ　の無限級数展開です。

　また、有限数列｛_ｎＰ_０，_ｎＰ_１，_ｎＰ_２，_ｎＰ_３，・・・，_ｎＰ_ｋ，・・・，_ｎＰ_ｎ｝の指数型母関数は

Ｇ(x)＝(１＋ｘ)^ｎ　であることを示そう。　ただし、_ｎＰ_ｋは順列の記号である。

　この場合の指数型母関数は、定義から

Ｇ(x)＝_ｎＰ_０/0!＋(_ｎＰ_１/１!) ｘ＋(_ｎＰ_２/２!) ｘ^２＋・・・＋(_ｎＰ_ｋ/ｋ!) ｘ^ｋ＋・・・＋(_ｎＰ_ｎ/ｎ!) ｘ^ｎ

　　　＝_ｎC_０＋_ｎC_１ ｘ＋_ｎC_２ｘ^２＋・・・＋_ｎC_ｋｘ^ｋ＋・・・＋_ｎC_ｎ ｘ^ｎ　　　　である。

よって、(１＋ｘ)^ｎ＝_ｎC_０＋_ｎC_１ ｘ＋_ｎC_２ｘ^２＋・・・＋_ｎC_ｋｘ^ｋ＋・・・＋_ｎC_ｎ ｘ^ｎ　　　これは、２項定理のことである。

ＮＯ６．積率母関数の演算（指数型母関数）　（３月14日記入）

　　通常の母関数の場合と同様に、指数型母関数も和や積が意味を持ちます。

では、指数型母関数の和や積を行なった結果、どのような形の指数型母関数になるか調べます。

　まず、数列｛ａ_０，ａ_１，ａ_２，ａ_３，・・・，ａ_ｋ，・・・｝および数列｛ｂ_０，ｂ_１，ｂ_２，ｂ_３，・・・，ｂ_ｋ，・・・｝

の指数型母関数をそれぞＡ(x)，Ｂ(x)とすると、次のような関係式になります。

Ａ(x)＝ａ_０/0!＋(ａ_１/１!) ｘ＋(ａ_２/２!) ｘ^２＋(ａ_３/３!) ｘ^３＋・・・＋(ａ_ｋ/ｋ!) ｘ^ｋ＋・・・　　

Ｂ(x)＝ｂ_０/0!＋(ｂ_１/１!) ｘ＋(ｂ_２/２!) ｘ^２＋(ｂ_３/３!) ｘ^３＋・・・＋(ｂ_ｋ/ｋ!) ｘ^ｋ＋・・・　　

　このとき、Ａ(x)＋Ｂ(x)は次のようになる。

Ａ(x)＋Ｂ(x)＝(ａ_０+ｂ_０) /0!＋{(ａ₁+ｂ₁) /１!}ｘ＋{(ａ₂+ｂ₂) /２!}ｘ^２＋・・・＋{(ａ_ｋ+ｂ_k) /ｋ!} ｘ^ｋ＋・・・　

したがって、指数型母関数の和Ａ(x)＋Ｂ(x)は

数列｛ａ_０+ｂ_０，ａ₁+ｂ₁，ａ₂+ｂ₂，・・・，ａ_ｋ+ｂ_k，・・・｝の指数型母関数に等しくなる。

　次に、指数型母関数の積Ａ(x)・Ｂ(x)について考える。

積Ａ(x)・Ｂ(x)＝（ａ_０/0!・ｂ_０/0!）＋（ａ₁/1!・ｂ_０/0!＋ａ_０/０!・ｂ_１/1!）ｘ

＋（ａ₂/2!・ｂ_０/0!＋ａ₁/1!・ｂ_１/1!＋ａ_０/０!・ｂ_２/２!）ｘ^２＋・・・

＋｛�煤iｊ＝０・・・ｋ）ａ_ｊ/ｊ!・ｂ_ｋ−ｊ/(k―ｊ)!｝ｘ^k＋・・・

＝１/0!(ａ_０ｂ_０)＋１/1!{1!/1!0!(ａ₁ｂ_０)＋1!/0!1! (ａ₀ｂ₁) }ｘ

＋１/2!{2!/2!0!(ａ₂ｂ_０)＋2!/1!1! (ａ₁ｂ₁)＋2!/0!2!(ａ₀ｂ₂) }ｘ^２＋・・・

＋1/k![�煤iｊ＝０・・・ｋ）k!/{ｊ!・(k―ｊ)!}× ａ_ｊ・ｂ_ｋ−ｊ]ｘ^k＋・・・

＝１/0!(_０C_０ａ_０ｂ_０)＋１/1!( _１C_０ａ₁ｂ_０)＋_１C_０ (ａ_１ｂ₁) }ｘ

＋１/2!{ _２C_０(ａ₂ｂ_０)＋_２C_１ (ａ₁ｂ₁)＋_２C_０(ａ₀ｂ₂) }ｘ^２＋・・・

＋1/k!｛�煤iｊ＝０・・・ｋ）_ｋC_ｊａ_ｊ・ｂ_ｋ−ｊ｝ｘ^k＋・・・

したがって、指数型母関数の積Ａ(x)・Ｂ(x)は、数列

｛(_０C_０ａ_０ｂ_０)， _１C_０ａ₁ｂ_０＋_１C_０ ａ_１ｂ₁，_２C_０ａ₂ｂ_０＋_２C_１ ａ₁ｂ₁＋_２C_０ａ₀ｂ₂，・・・

，�煤iｊ＝０・・・ｋ）_ｋC_ｊａ_ｊ・ｂ_ｋ−ｊ，・・・）

の指数型母関数に等しくなる。

ＮＯ７．積率母関数と組み合わせの意味（指数型母関数）　（３月２２日記入）

ここで、異なるｎ個のものから、重複を許さない形で順列を作る作り方を表す指数型母関数は、

(１＋ｘ)^ｎ＝_ｎC_０＋_ｎC_１ ｘ＋_ｎC_２ｘ^２＋・・・＋_ｎC_ｋｘ^ｋ＋・・・＋_ｎC_ｎ ｘ^ｎ　　　

　　　＝_ｎＰ_０/0!＋(_ｎＰ_１/１!) ｘ＋(_ｎＰ_２/２!) ｘ^２＋・・・＋(_ｎＰ_ｋ/ｋ!) ｘ^ｋ＋・・・＋(_ｎＰ_ｎ/ｎ!) ｘ^ｎ

だから、この式の展開式の　ｘ^ｒ/ｒ!の項の係数は、_ｎＰ_ｒとなる。

　次に、このことを重複順列の場合へと拡張する。まず最初に、1種類の物しかなくその物をｒ個まで取ってよいとすると、

それによって作られる順列を表す指数型母関数は

１＋ｘ／１！＋ｘ^２／２！＋ｘ^３／３！＋・・・＋ｘ^ｒ／ｒ！　　となる。

なぜなら、このような条件を満たす長さｋの順列は１通りあるからである。（０≦ｋ≦ｒ）

　したがって、１種類の物しかなくその物をいくつ取ってもよい場合には、それによって作られる順列の数を表す指数型母関数は

１＋ｘ／１！＋ｘ^２／２！＋ｘ^３／３！＋・・・＋ｘ^ｒ／ｒ！＋・・・＝ｅ^ｘ　　となる。

　よって、異なるｎ個の物から重複を許して作られる順列の数を表す指数型母関数は、この式のｎ乗で表すことができて、

（１＋ｘ／１！＋ｘ^２／２！＋ｘ^３／３！＋・・・＋ｘ^ｒ／ｒ！＋・・・）^ｎ＝（ｅ^ｘ）^ｎ　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　ｅ^ｎｘ　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　�煤iｒ＝０・・・∞）（ｎ^ｒ／ｒ！）ｘ^ｒ　となる。

したがって、ｘ^ｒ/ｒ!　の項の係数　ｎ^ｒが、異なるｎ個の物からｒ個取る重複順列の数となる。

　これは、すでに知っている重複順列の数の結果　ｎ^ｒと同じになる。

例題１：３個のサイコロを振って出る目の数が作る順列の数を指数型母関数を用いて、求めよ。

解答　１から６のそれぞれの目に関して、同じ目が何度でも出る可能性があるので、指数型母関数は、

１＋ｘ／１！＋ｘ^２／２！＋ｘ^３／３！＋・・・＋ｘ^ｒ／ｒ！＋・・・　　になる。

したがって、次のように上式を６個かけ合わせた式が全体の指数型母関数となる。

（１＋ｘ／１！＋ｘ^２／２！＋ｘ^３／３！＋・・・＋ｘ^ｒ／ｒ！＋・・・）^６＝（ｅ^ｘ）^６　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　�煤iｒ＝０・・・∞）（６^ｒ／ｒ！）ｘ^ｒ　

よって、この式のｘ^３/３!　の項の係数　６^３　　が求める順列の数となる。

なお、この場合にはサイコロのおのおの目は０回から３回までしか出せないので、指数型母関数は正確には、

（１＋ｘ／１！＋ｘ^２／２！＋ｘ^３／３！）^６と書かなければならないが、ｘ^３/３!　のように低い次数の項の係数を求める場合には、上のような無限級数の形で書いても後の計算結果は変わらず、しかもその方が計算が簡単になるので、このような表現はしばしば便宜的に使われる。

問題１：３個のサイコロを振って出る目の数が作る順列のうちで、５が少なくても１回は出るような順列の数を指数型母関数を用いて、求めよ。

聡明な読者諸君！これを解いてみてください。

＜参考文献：「やさしい組み合わせ数学：西岡弘明著（コロナ社）＞

　<自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

　

　

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