皆さん、ラグランジェの恒等式をご存じですか。この証明方法はいろいろと知られてい

ます。

　定理１：「２個の自然数ｍ、ｎがともに２個の平方数の和として書けるとすると,積ｍｎも

また２個の平方数の和として書ける。」

（ａ＾２＋ｂ＾２）（ｃ＾２＋ｄ＾２）＝（ａｃ−ｂｄ）＾２＋（ａｄ＋ｂｃ）＾２

この定理は、１８世紀にラグランジェにとって４個の平方数の積の場合へと拡張されました。

　定理２：「２個の自然数ｍ、ｎがともに４個の平方数の和として書けるとすると,積ｍｎ

もまた４個の平方数の和として書ける。」

　彼の目標は、複素数の一般化としての４元数の導入によって、定理１のアイデアをまねて

定理２を証明することにあった。

　４元数は、数学的な言葉で３次元空間での回転を記述する試みの中から、

１９世紀にハミルトンによって発明された。

　ハミルトンは、複素数ｘ＋ｙｉが、次のようにして、平面上の回転を記述するのに利用で

きることを知っていた。ただし、ハミルトン自身は複素数ｘ＋ｙｉをあくまでも

順序対（ｘ，ｙ）としてとらえていた。今、複素平面上の点Ｐが複素数ｚ＝ｘ＋ｙｉで表さ

れるとする。このＰを原点Ｏ（０，０）のまわりにθラジアン回転させた点Ｐ’を表す複素

数は　ｚ’＝ｅ＾ｉθ×ｚ　となる。ここで、ｅ＾ｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθとする。

　３個の実数の順序３組として表される数を導入して、空間の回転をとらえなおそうという

ハミルトンのはじめのアイデアは失敗に終わった。しかし、１５年にわたる闘いをへて、

ハミルトンは、４個の実数の順序４組を考えれば、３次元空間の回転を巧妙な方法で表す

ことができることを発見した。ハミルトンはこの４組を４元数（ｑｕａｔｅｒｎｔｉｏｎ）

と呼んだ。彼は、４組どうしの和と積を次のように定義したのである。

　２個の４元数ｑ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１，ｗ１）、ｑ２＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２，ｗ２）

の和は成分ごとの和をとって定める。つまり、

　ｑ１＋ｑ２＝（ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２，ｚ１＋ｚ２，ｗ１＋ｗ２）　とする。

４組（１，０，０，０），（０，１，０，０），（０，０，１，０），（０，０，０，１）

を順に、１，ｉ，ｊ，ｋ　と言う記号で表し、

４元数ｑ＝（ｘ、ｙ、ｚ、ｗ）は（形式的に）ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ　と見なそう。

このとき、２個の４元数ｑ１＝ｘ１＋ｙ１ｉ＋ｚ１ｊ＋ｗ１ｋ　と

ｑ２＝ｘ２＋ｙ２ｉ＋ｚ２ｊ＋ｗ２ｋの和は

ｑ１＋ｑ２＝（ｘ１＋ｘ２）＋（ｙ１＋ｙ２）ｉ＋（ｚ１＋ｚ２）ｊ＋（ｗ１＋ｗ２）ｋ

と書ける。また、積ｑ１ｑ２は（形式的に）分配法則を適用して、

ｑ１ｑ２＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｉｘ２＋ｚ１ｊｘ２＋ｗ１ｋｘ２＋ｘ１ｙ２ｊ＋ｙ１ｉｙ２ｉ＋

　ｚ１ｊｙ２ｉ＋ｗ１ｋｙ２ｉ＋ｘ１ｚ２ｊ＋ｙ１ｉｚ２ｊ＋ｚ１ｊｚ２ｊ＋ｗ１ｋｚ２ｊ

　＋ｘ１ｗ２ｋ＋ｙ１ｉｗ２ｋ＋ｚ１ｊｗ２ｋ＋ｗ１ｋｗ２ｋ　　　

とし、ｉ，ｊ，ｋと実数の積は順序を逆にして積をとっても変化しない（つまり可換となる）

が、ｉ＾２＝ｊ＾２＝ｋ＾２＝−１，

　　ｉｊ＝−ｊｉ＝ｋ，　　ｊｋ＝−ｋｊ＝ｉ，　　ｋｉ＝−ｉｋ＝ｊ

と定義すると、

ｑ１ｑ２＝（ｘ１ｘ２−ｙ１ｙ２−ｚ１ｚ２−ｗ１ｗ２）

　　　　　　　　＋（ｘ１ｙ２＋ｙ１ｘ２＋ｚ１ｗ２−ｗ１ｚ２）ｉ

　　　　　　　　＋（ｘ１ｚ２−ｙ１ｗ２＋ｚ１ｘ２＋ｗ１ｙ２）ｊ

　　　　　　　　＋（ｘ１ｗ２＋ｙ１ｚ２−ｚ１ｙ２＋ｗ１ｘ２）ｋ

となる。ハミルトンの定義によると、４元数の積は非可換である。

ｉｊ≠ｊｉ　，ｊｋ≠ｋｊ　，　　ｋｉ≠ｉｋ　　なので、一般にｑ１ｑ２がｑ２ｑ１に一

致するとは限らない。こうした非可換な代数的演算の創造は数学における革命的な一歩であ

った。

ｘ＋ｙｉ＋０ｊ＋０ｋの形の４元数は自然数に複素数ｘ＋ｙｉと同一視できる。

　したがって、４元数は複素数を、その性質の一部を保存して、一般化したものと考えて良

い。例えば、絶対値の性質は保存されており、これを利用すると、定理２が証明できる。

４元数　ｑ＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ　の絶対値　

┃ｑ┃＝√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋ｗ＾２）　　　によって定義すればよい。

ここで、問題です。

問題（１）絶対値の乗法的性質：４元数ｑ１，ｑ２の積の絶対値は絶対値の積に等しいこと

　　　　　を示してください。　┃ｑ１ｑ２┃＝┃ｑ１┃┃ｑ２┃

問題（２）定理２を証明してください。

発展：定理２はさらにＮ個の平方数の和の場合に一般化できるだろうか？つまり、

「Ｎ個の平方数の和ｓ１，ｓ２の積ｓ１ｓ２が、常にｎ個の和となる」ような正整数Ｎは、

１，２，４以外に存在するだろうか？

　皆さんも、考えてください。この結果は１９世紀末のフルビッツを待つことになります。

また、１９世紀末にケーリーによって８個の平方数の和に関する恒等式が発見されています。

＜参考文献１：「めざせ、数学オリンピック：山下純一訳」（現代数学社）＞

＜参考文献２：「新数学事典」（大阪書籍）＞　

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