第２７話　「回転体の表面積」

何と、この夏の岐阜県高高等学校教育課程研究集会（数学部会）のときに、県内の先生が発表されましたので、ここに紹介させていただきます。この研究会に参加できたことを感謝します。

１．曲線の長さの定義と求め方を復習しよう。

　　曲線の方程式が　ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≦ｘ≦ｂ）で表される曲線の長さの定義は次のとおりである。

ｆ(ｘ)、ｆ’()）は連続とする。図のように、曲線ＰＱを近似する折れ線を考える。この折れ線の長さを

ｓΔとするとき、分割のしかたによらずｓΔがある極限値ｓに収束するならば、ｓを弧ＰＱの長さと定義する。

ｆ’(ｘ)が区間［ａ，ｂ］で連続であるとき、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)の区間［ａ，ｂ］上にある部分の長さｓは

図の中のような式で与えられる。

２．課題の提示

　「球の表面積を求めたい。曲線の長さを求めるのに曲線を折れ線で近似したことをヒントに、回転体の側面積を

円錐台の側面積で近似して、球を円の回転体の側面積とみて求めてみよう。」

３．回転体の側面積の定義

　はじめの図において、折れ線をｘ軸のまわりに回転してできる回転体は直円錐台の和になっている。

この側面積をｓΔとおく。分割のしかたによらずｓΔが、ある極限値Ｓに収束するならば、このＳをこの回転体の

側面積と定義する。

４．補助定理「円錐台の側面積は、Ｓ＝π(ａ＋ｂ)ｄ　で与えられる。」を証明しよう。

５．定理「曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をｘ軸のまわりに回転してできる回転体の側面積は、図の中の式で与えられる。」

　　を証明しよう。

６．問題：球の表面積を求めよう。

　　円：ｘ^２＋ｙ^２＝ｒ^２とし、ａ＝−ｒ，ｂ＝ｒ　として考えてください。これは、読者の任せましょう。