平成１３年８月１４日
＜美しい数学の話＞
第３５話 「回文 素数」No2
2001年4月16日（月）素数を眺めていると、不思議なことに気がつきます。それは、「回文素数」という現象です。これは、回文の「トマト」や「しんぶんし」のように左から見ても、右から見ても同じ素数のことです。例としては、１桁の素数は明らかですので、２桁から探してみると、１１，１３，１７，３１，３７，７１，７３，７９，９７の９個です。
また、３桁では、１０１、１０７，１１３，１３１，１４９，１５１，１５７，１６７，１７９，１８１，１９１，１９９，・・・と挙げられます。前に、こんな数列は出して、規則性を発見してください と、載せたことがあります。続きは、読者の皆さんで発見してみては。太郎さんは、１００万ちょっとまでの素数を持っています。実に、不思議な数列で、他にも多くの謎があり、「早く、発見して」と叫んでいそうです。
2001年4月17日（火）昨日の「回文素数」の続きが報告されました。
『こんばんは。いつもお世話になっています。kiyoです。１００万までの回文の素数をプログラムを組んで求めて見ました。規則性は今後の課題です。今後とも宜しくお願いします。』
11 13 17 31 37 71 73 79 97
以上 ＜9 個＞
101 107 113 131 149 151 157 167 179 181 191 199 311 313 337 347 353 359 373 383 389
701 709 727 733 739 743 751 757 761 769 787 797 907 919 929 937 941 953 967 971
983 991
以上＜43 個＞
1009 1021 1031 1033 1061 1069 1091 1097 1103 1109 1151 1153 1181 1193 1201 1213
1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1279 1283 1301 1321 1381 1399 1409 1429 1439
1453 1471 1487 1499 1511 1523 1559 1583 1597 1601 1619 1657 1669 1723 1733 1741
1753 1789 1811 1831 1847 1867 1879 1901 1913 1933 1949 1979 3011 3019 3023 3049
3067 3083 3089 3109 3121 3163 3169 3191 3203 3221 3251 3257 3271 3299 3301 3319 3343
3347 3359 3371 3373 3389 3391 3407 3433 3463 3467 3469 3511 3527 3541 3571 3583
3613 3643 3697 3719 3733 3767 3803 3821 3851 3853 3889 3911 3917 3929 7027 7043
7057 7121 7177 7187 7193 7207 7219 7229 7253 7297 7321 7349 7433 7457 7459 7481
7507 7523 7529 7547 7561 7577 7589 7603 7643 7649 7673 7681 7687 7699 7717 7757
7817 7841 7867 7879 7901 7927 7949 7951 7963 9001 9011 9013 9029 9041 9103 9127
9133 9161 9173 9209 9221 9227 9241 9257 9293 9341 9349 9403 9421 9437 9439 9467
9479 9491 9497 9521 9533 9547 9551 9601 9613 9643 9661 9679 9721 9749 9769 9781
9787 9791 9803 9833 9857 9871 9883 9923 9931 9941 9967 以上＜204 個＞
＜水の流れ＞「kiyo」さんからは、このあと１００万まで, ５桁は＜1499個＞、６桁は＜9538 個＞と報告を受けましたが、いずれ後日、「美しい話」の中で紹介する予定です。尚、掲示板に一部の「回文素数」を載せておきました。ありがとうございます。知識の財産にし、感謝申し上げます。
昔から、回文を俳句にした人がいます。「きゆるまた にわのこのはに たまるゆき」、和歌では、「なかきよの とおのねふりの みなめざめ なみのりふねの おとのよきかな」。これは、太郎さんが、小学生のとき、「たけやぶやけた」・・・と、子供同士で遊んでいたとき、父から教えてもらった文です。ノートに書き留めておいたのを見て書きました。
2001年4月18日（水）ありがたいことに、「kiyo」さんから連絡が入りましたので、お知らせします。
『いつもお世話になっています。kiyoです。狭義の回文素数についてのサイトを見つけました。 いろんな規則性等が載っています。』
World!Of Palindromic
Primes
http://ping4.ping.be/~ping6758/palpri.htm
＜水の流れ＞残り、「kiyo」さんから１００万までの回文素数を載せます。
10007 10009 10039 10061 10067 10069
10079 10091 10151 10159
10177 10247 10253 10273 10301 10321
10333 10343 10391 10429
10453 10457 10459 10487 10499 10501
10601 10613 10639 10651
10711 10739 10781 10853 10859 10867
10889 10891 10909 10939
10987 10993 11003 11057 11071 11083
11149 11159 11161 11197
11243 11257 11311 11329 11353 11411
11423 11447 11489 11497
11551 11579 11587 11593 11621 11657
11677 11699 11701 11717
11719 11731 11777 11779 11783 11789
11833 11839 11897 11903
11909 11923 11927 11933 11939 11953
11959 11969 11971 11981
12071 12073 12107 12109 12113 12119
12149 12227 12241 12253
12269 12289 12301 12323 12373 12421
12437 12491 12547 12553
12577 12611 12619 12641 12659 12689
12697 12713 12721 12743
12757 12763 12799 12809 12821 12829
12841 12893 12907 12919
12983 13009 13043 13147 13151 13159
13163 13259 13267 13291
13297 13331 13337 13441 13457 13469
13477 13499 13513 13523
13553 13591 13597 13619 13693 13697
13709 13711 13751 13757
13759 13781 13789 13829 13831 13841
13873 13903 13931 13933
13963 14029 14057 14071 14081 14087
14107 14143 14153 14177
14207 14221 14251 14293 14303 14323
14327 14341 14387 14423
14431 14447 14449 14479 14519 14549
14551 14557 14563 14591
14593 14621 14629 14633 14657 14713
14717 14741 14821 14831
14843 14879 14891 14897 14923 14929
14939 14947 14957 15013
15053 15091 15101 15131 15139 15149
15227 15241 15263 15289
15299 15307 15349 15377 15383 15451
15461 15493 15497 15511
15527 15541 15551 15601 15643 15649
15661 15667 15679 15683
15731 15733 15737 15791 15803 15907
15919 15937 15973 16001
16007 16061 16063 16073 16103 16111
16127 16193 16217 16223
16249 16267 16361 16427 16433 16451
16453 16481 16493 16547
16561 16567 16573 16603 16651 16661
16691 16699 16729 16747
16763 16829 16879 16883 16937 16943
16979 17011 17021 17033
17041 17047 17117 17203 17207 17209
17383 17393 17417 17443
17467 17471 17477 17491 17519 17573
17579 17599 17627 17669
17681 17683 17713 17737 17747 17749
17827 17839 17863 17903
17909 17911 17923 17939 17959 17971
18013 18041 18077 18089
18133 18169 18181 18191 18199 18253
18269 18307 18329 18353
18379 18413 18427 18439 18461 18481
18539 18593 18637 18671
18691 18701 18719 18731 18743 18749
18757 18773 18787 18803
18859 18899 18911 18913 19001 19013
19037 19051 19163 19181
19219 19231 19237 19249 19301 19333
19391 19403 19421 19423
19471 19477 19489 19531 19541 19543
19553 19577 19661 19681
19687 19697 19751 19759 19763 19793
19801 19813 19841 19891
19913 19973 19991 30011 30029 30059
30103 30139 30161 30197
30203 30223 30259 30271 30319 30323
30341 30367 30403 30467
30491 30517 30529 30539 30557 30593
30643 30649 30661 30703
30757 30803 30809 30851 30853 30859
30881 30911 30931 30949
30971 30983 31013 31033 31051 31063
31069 31081 31091 31121
31139 31183 31193 31223 31259 31267
31277 31307 31327 31393
31481 31513 31531 31543 31601 31627
31643 31649 31721 31723
31741 31771 31799 31859 31873 31891
31907 31957 31963 31981
31991 32009 32077 32099 32143 32173
32189 32203 32213 32233
32257 32261 32299 32303 32321 32323
32341 32353 32369 32377
32411 32423 32441 32467 32479 32491
32497 32531 32537 32563
32579 32633 32647 32687 32693 32713
32749 32783 32869 32887
32911 32933 32939 32941 32971 32983
32999 33013 33029 33049
33071 33181 33199 33223 33287 33301
33317 33329 33391 33461
33533 33589 33617 33623 33641 33751
33767 33809 33811 33857
33863 33911 33923 33931 34031 34123
34129 34141 34147 34159
34211 34267 34273 34301 34367 34469
34471 34513 34543 34549
34583 34589 34591 34603 34613 34651
34673 34687 34721 34757
34781 34807 34841 34843 34847 34897
34919 34961 34963 35027
35051 35053 35069 35083 35099 35117
35129 35141 35149 35153
35159 35201 35221 35227 35257 35267
35281 35311 35317 35323
35327 35353 35363 35381 35401 35419
35437 35447 35461 35521
35531 35537 35569 35591 35729 35753
35801 35803 35911 35969
35983 35993 36013 36037 36061 36097
36107 36109 36131 36187
36191 36209 36217 36251 36263 36269
36277 36353 36373 36467
36473 36479 36523 36541 36563 36599
36607 36721 36739 36761
36791 36809 36833 36871 36877 36913
36931 36943 36973 37021
37061 37123 37199 37201 37243 37273
37307 37309 37321 37363
37379 37409 37463 37489 37507 37547
37549 37561 37571 37573
37589 37619 37643 37781 37813 37831
37847 37889 37897 37951
37963 37991 37997 38011 38039 38053
38083 38113 38119 38183
38219 38239 38287 38327 38329 38351
38371 38377 38393 38449
38459 38543 38557 38629 38639 38651
38671 38707 38711 38723
38737 38783 38861 38867 38903 38917
38921 38923 38953 38977
38993 39047 39113 39119 39157 39161
39217 39241 39293 39313
39359 39371 39383 39397 39419 39439
39451 39461 39503 39511
39541 39581 39623 39631 39709 39749
39791 39799 39821 39827
39829 39839 39869 39877 39887 39901
39929 39953 39983 39989
70001 70009 70061 70079 70121 70141
70163 70207 70241 70249
70271 70289 70313 70327 70351 70373
70381 70439 70457 70489
70507 70529 70573 70589 70607 70639
70663 70667 70687 70717
70729 70783 70843 70913 70921 70937 70949
70951 70969 70997
70999 71069 71089 71153 71171 71209
71257 71261 71263 71293
71317 71329 71333 71347 71353 71359
71387 71389 71399 71437
71471 71503 71537 71569 71633 71707
71711 71741 71789 71899
71909 71917 71983 72047 72053 72109
72161 72221 72227 72229
72251 72253 72307 72313 72337 72341
72353 72379 72383 72461
72481 72497 72547 72551 72559 72577
72613 72671 72689 72727
72869 72871 72893 72911 73037 73063
73091 73237 73277 73291
73327 73331 73369 73417 73421 73453
73517 73523 73553 73597
73637 73681 73751 73771 73783 73819
73849 73867 73907 73939
73951 73961 74027 74047 74071 74077
74093 74131 74143 74167
74197 74201 74209 74317 74357 74377
74411 74441 74449 74453
74509 74521 74527 74561 74573 74609
74623 74747 74759 74761
74771 74843 74869 74873 74897 74941
74959 75011 75041 75167
75169 75193 75211 75217 75223 75239
75253 75289 75329 75347
75401 75407 75431 75503 75539 75541
75557 75577 75583 75611
75629 75641 75703 75721 75731 75743
75767 75781 75797 75833
75869 75913 75941 76001 76147 76157
76213 76231 76243 76253
76259 76261 76303 76343 76367 76379
76387 76403 76423 76463
76471 76487 76561 76607 76651 76667
76733 76757 76801 76819
76829 76837 76883 76919 77023 77029
77047 77081 77101 77141
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77557 77587 77591 77611
77711 77797 77863 77893 77899 77977
77983 78041 78059 78139
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78623 78643 78649 78691
78697 78779 78781 78787 78809 78823
78839 78887 78889 78893
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79399 79411 79423 79427
79451 79531 79537 79549 79559 79589
79609 79621 79631 79669
79687 79691 79697 79757 79769 79777
79811 79841 79843 79847
79873 79889 79907 79939 79973 79997
90001 90007 90019 90023
90031 90059 90089 90121 90127 90149
90163 90199 90217 90247
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90547 90647 90679 90697
90709 90731 90749 90793 90803 90821
90833 90863 90887 90901
90911 90917 90971 90989 91009 91019
91121 91129 91183 91193
91199 91229 91249 91283 91291 91303
91397 91453 91459 91493
91541 91571 91621 91631 91673 91711
91781 91837 91867 91921
91943 91951 91967 92003 92033 92041
92077 92119 92143 92153
92189 92219 92227 92297 92311 92317
92333 92357 92369 92381
92383 92401 92459 92479 92489 92503
92507 92639 92641 92657
92683 92707 92753 92761 92779 92789
92821 92831 92861 92867
92893 92899 92941 92959 92987 92993
93001 93083 93097 93103
93113 93139 93151 93187 93199 93239
93257 93283 93377 93407
93481 93487 93493 93503 93557 93559
93581 93601 93607 93629
93683 93701 93739 93763 93811 93871
93887 93893 93901 93911
93923 93937 93941 93971 93997 94033
94049 94109 94111 94121
94151 94153 94169 94207 94219 94261
94291 94349 94351 94397
94399 94441 94447 94483 94541 94543
94559 94573 94597 94603
94613 94649 94651 94687 94709 94723
94771 94781 94793 94837
94849 94889 94903 94907 94949 95003
95009 95087 95101 95111
95131 95143 95153 95203 95213 95231
95267 95279 95287 95317
95393 95401 95419 95429 95479 95483
95527 95539 95549 95597
95621 95731 95747 95791 95801 95803
95813 95881 95911 95929
95947 95959 95971 96001 96013 96017
96053 96149 96157 96179
96181 96221 96263 96269 96281 96289
96323 96329 96337 96377
96431 96443 96469 96517 96553 96587
96671 96697 96769 96797
96823 96827 96847 96857 96893 96907
96911 96953 97001 97007
97169 97187 97259 97327 97367 97373
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97429 97441 97459 97463 97511 97523
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99907 99923 99989
1499 個
Ｎ０24：2001年4月24日（火）先日の回文素数について、「浜田」さんから報告を受けました。
『１００万以下の回文素数を求めるエクセルのマクロを作りました。気がついたことと言えば，４桁と６桁の回文素数が存在しなかったことくらいです．規則性は見えて来ません．
2,3,5,7
11
101,131,151,181,191,313,353,373,383,727,757,787,797,919,929
10301,10501,10601,11311,11411,12421,12721,12821,13331,13831,13931,14341,14741,15451,15551,16061,16361,16561,16661,17471,17971,18181,18481,19391,19891,19991,30103,30203,30403,30703,30803,31013,31513,32323,32423,33533,34543,34843,35053,35153,35353,35753,36263,36563,37273,37573,38083,38183,38783,39293,70207,70507,70607,71317,71917,72227,72727,73037,73237,73637,74047,74747,75557,76367,76667,77377,77477,77977,78487,78787,78887,79397,79697,79997,90709,91019,93139,93239,93739,94049,94349,94649,94849,94949,95959,96269,96469,96769,97379,97579,97879,98389,98689
Option Explicit
Sub Macro1()
Dim n As Long
Dim j As Long
Dim jj As Integer
Dim yakusuu_kosuu As Integer
Dim sosuu As Long
Dim keta As Integer
Dim nn As Long
Dim m(10) As Integer
Dim dame As Integer
sosuu = 0
For n = 2 To 1000000
yakusuu_kosuu = 0
j = 2
While yakusuu_kosuu = 0 And j * j <= n
yakusuu_kosuu = -(n = Int(n
/ j) * j)
j = j + 1
Wend
If yakusuu_kosuu = 0 Then
keta = Int(Log(n) /
Log(10)) + 1
For j = 1 To keta
nn = n
For jj = keta - j To 1 Step
-1
nn = Int(nn / 10)
Next jj
m(j) = nn - Int(nn / 10) * 10
Next j
dame = 0
j = 1
While dame = 0 And 2 * j <= keta
dame = -(m(j) <> m(keta - j + 1))
j = j + 1
Wend
If dame = 0 Then
sosuu = sosuu + 1
Cells(sosuu, 1).Value = n
End If
End If
Next n
End Sub
＜水の流れ：コメント＞規則性については、私の真意が伝わらなくてごめんなさい。一般に、多くの素数や数について、他のいろんな規則性と言うわけで回文素数についての規則性のつもりで書いたのではありません。言い方が誤解を招く言葉で申し訳ありませんでした。でも、まだ気がついていないだけで、すでに発見されているかもしれませんが。これからもよろしくお願いします。
2001年８月14日（火）先日の回文素数について、「浜田」さんからの報告に対して、「細江」さんから、ある事実を知らされました。
ウェブサイトに立ち寄らせていただきました(偶然です)。数学のとても面白いページで、大変感激しました。
回文素数(ペアでなく単独で『たけやぶやけた』状態のもの)について、「浜田さん」が「４桁と６桁には存在しませんでした」とされています。
偶数桁の回文数、
a(1)a(2)a(3)・・・a(n)a(n)・・・a(3)a(2)a(1)
〔↑ カッコは添え字／10進法の各桁の数をa(k)として並べた書き方〕
とすると、たとえば
1000000001×a(1)＋100000010×a(2)＋10000100×a(3)＋1001000×a(4)＋・・・
などと 書き換えられますが、この「1」と「1」との間に
「0」が偶数個並ぶ(十進)数は全て１１で割り切れるため、
４桁と６桁に限らず全ての偶数桁回文数(2桁の「11」を除き)は、
素数ではありえないことが判ります。
※ 11で割り切れる証明は簡単なので省略しました。
以上、すでにご存知かと思いましたが(当方がそれについて書かれている
ページを見ていないだけ？)、送らせていただきました。
＜水の流れ：コメント＞早速、本を調べたところ、「偶数個の数字を持つ唯一の回文素数は”１１”だけ」と書いてありました。したがって、その証明になっています。本当にありがとうございました。これからも、よろしくご指導ください。
