平成14年5月19日

<美しい数学の話>

第41話 「素数につて」

                  「SIN」氏から

 1.n番目の素数を表すnの計算可能な関数について

実は上のような関数は知られているそうですが、何となく書きたくなったので 僕の思いついたものを書いておきます。
π(x)はx以下の素数を表す(すなわち、π(x)は素数計算関数)。また、集合Xnを次のように定義する。

Xn=def{x|π(x)=n,xは自然数}
このとき,n番目の素数Pnは,Pn=inf Xn=min Xn  と書ける。

任意の自然数nに関して,一意的にPnが定まり,かつ素数計算関数は(素数を数えずに)計算可能であるから、上の式のinf Xnとmin Xn(と言うよりmin Xnの方がしっくりくるが)はPnを表す計算可能な関数である。

<水の流れ:コメント> n番目の素数を表すnの計算可能な関数については、未だ知られていないと思っていますが・・・

2.n!の素因数分解について

n!=P^e・P^e・…・P^e(Pはi番目の素数,eiは0以上の整数)とする。
このとき、数列S(n,j)を;S(n,j)i=[n/P],S(n,j)m+1=[S(n,j)m+1/P]と帰納的に定義する。
([  ]はガウス記号である)

すると、e=Σ(m=1〜∞)S(n,j)m =Σ(m=1〜L)S(n,j) 
 ( S(n,j)m の値がm>Lならば0 という最小のLと書ける。1≦j≦k)
kはどれだけ大きくてもよい。

3.素因数分解について

自然数mのn乗根は m=P^e・P^e・…・P^ek と書いたときe1 〜ek を有理数に限定するとただ一通りに定まる。
これは有理数のn乗根でも同じ。(だと思っているのですが・・・)

 しかし、1+√2 のような数はどうなのでしょうか? なんとなくおもしろそうな話だと思っています。

<水の流れ:コメント> この原稿は、第97回の応募問題の解答の後についていた おまけ(本人いわく)の話です。

 

<自宅>  mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

 

 

 

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