平成14年9月16日

<美しい数学の話>

第45話 「コラッツ問題(角谷問題)」にゃんこ(二暗刻) さんから
その2

 

コラッツの問題(数論の未解決問題)

 「正の数 n をとり、これが奇数なら3倍して1を加える。偶数なら2で割る。

  これを繰り返すとはじめにどんな n を選んでも、いつかは 1 → 4 → 2 → 1 を繰り返す」

  n が 4兆まではコンピューターで確かめられている。

(富永裕久著 フェルマーの最終定理 1999-11-30 (株)ナツメ社)

 

-2. 2p(1) < (3/2)m(1) で q1  が n0 より大きければこれまでと同じ作業を

繰り返すことにする。

K,q の添数字や、m,p の 括弧内数字は作業回数を示すものとする。

k1,k2,・・,m(1),m(2),・・ 等)

最初の奇数を n0 とし 3 倍して 2 で割る処理を m(1) 回して初めて

偶数 nm(1) となるものとすれば、

(これまでは「3 倍して 2 で割る処理」を2つの作業としてきたが、

今後は1つの作業として扱う) 

(1)  n0 = k12m(1) - 1 のとき nm(1) = 3m(1)k1 - 1 となる。

q1q1 を奇数として nm(1) = q12p(1)  とおけば

nm(1)+p(1) = q1 ,  k1 = (q12p(1) + 1)/3m(1)

n0 = 2m(1)(q12p(1) + 1)/3m(1) - 1= (q12m(1)+p(1) + 2m(1))/3m(1) - 1

q12p(1) = 3m(1)(n0 + 1)/2m(1) - 1 = (n0 + 1)(3/2)m(1)- 1

q1 = { (n0 + 1)(3/2)m(1) - 1}/2p(1)

∴ nm(1)+p(1) = { (n0 + 1)(3/2)m(1) - 1}/2p(1) = (n0 + 1)(3/2)m(1)2-p(1) -2-p(1)

1回目の一連の作業が終わって q1 が求められその増減数z1

        z1 = q1- n0  = (n0+1)(3/2)m(1)2-p(1) -2-p(1) - n0   

             =n0 {(3/2)m(1)2-p(1) - 1} + (3/2)m(1)2-p(1) - 2-p(1)

(2)  nm(1)+p(1) = k22m(2) - 1 のとき nm(1)+p(1)+m(2) = 3m(2)k2 - 1 となる。

q2 を奇数として nm(1)+p(1)+m(2) = q22p(2)  とおけば

nm(1)+p(1)+m(2)+p(2) = q2 ,  k2 = (q22p(2) + 1)/3m(2)

nm(1)+p(1) = 2m(2)(q22p(2) + 1)/3m(2) - 1= (q22m(2)+p(2) + 2m(2))/3m(2) - 1

q22p(2) = 3m(2)(nm(1)+p(1) + 1)/2m(2) - 1 = (nm(1)+p(1) + 1)(3/2)m(2) - 1

q2 = (nm(1)+p(1) + 1)(3/2)m(2)2-p(2) - 2-p(2)

    = {(n0 + 1)(3/2)m(1)2-p(1) - 2-p(1) + 1}(3/2)m(2)2-p(2) - 2-p(2)

    = (n0 + 1)(3/2)m(1)+m(2)2-p(1)-p(2) - (3/2)m(2)2-p(1)-p(2) + (3/2)m(2)2-p(2) - 2-p(2)

2回目の一連の作業が終わって q2 が求められその増減数z2

       z2 = q2 - q1 = (n0 + 1)(3/2)m(1)+m(2)2-p(1)-p(2) - (3/2)m(2)2-p(1)-p(2)

+ (3/2)m(2)2-p(2) - 2-p(2) - {(n0 + 1)(3/2)m(1)2-p(1) -2-p(1) }

          = (n0 + 1)(3/2)m(1)2-p(1) {(3/2)m(2)2-p(2) - 1}

- (3/2)m(2)2-p(1)-p(2) + (3/2)m(2)2-p(2) - 2-p(2) +  2-p(1)

          = (n0 + 1)(3/2)m(1)2-p(1) {(3/2)m(2)2-p(2) - 1}

  + (3/2)m(2)2-p(2) {1 - 2-p(1)} - 2-p(2) +  2-p(1)

最初からの増減数z は

     z = q2 - n0 = (n0 + 1)(3/2)m(1)+m(2)2-p(1)-p(2)

- (3/2)m(2)2-p(1)-p(2) + (3/2)m(2)2-p(2) - 2-p(2) -  n0

 

         = n0{(3/2)m(1)+m(2)2-p(1)-p(2) - 1}

+ (3/2)m(1)+m(2)2-p(1)-p(2)- (3/2)m(2)2-p(1)-p(2) + (3/2)m(2)2-p(2) - 2-p(2)

         = n0{(3/2)m(1)+m(2)2-p(1)-p(2) - 1} 

+ (3/2)m(2)2-p(1)-p(2){ (3/2)m(1)- 1} + 2-p(2){(3/2)m(2)- 1}

(3) 同様にして

nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3) = q3 ,  k3 = (q32p(3) + 1)/3m(3)

nm(1)+p(1)+m(2)+p(2) = 2m(3)(q32p(3) + 1)/3m(3) - 1= (q32m(3)+p(3) + 2m(3))/3m(3) - 1

q32p(3) = 3m(3)(nm(1)+p(1)+m(2)+p(2) + 1)/2m(3) - 1 = (nm(1)+p(1)+m(2)+p(2) + 1)(3/2)m(3) - 1

q3 = {(nm(1)+p(1)+m(2)+p(2) + 1)(3/2)m(3)2-p(3) - 2-p(3)

        = {(n0+1)(3/2)m(1)+m(2)2-p(1)-p(2)

- (3/2)m(2)2-p(1)-p(2) + (3/2)m(2)2-p(2) - 2-p(2) + 1}(3/2)m(3)2-p(3) - 2-p(3)

        = (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3) - (3/2)m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3) + (3/2)m(2)+m(3)2-p(2)-p(3)

                  - (3/2)m(3)2-p(2)-p(3)+ (3/2)m(3)2-p(3) - 2-p(3)

3回目の一連の作業が終わって q3 が求められその増減数z3

     z3 = q3 - q2 = (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3) - (3/2)m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3)

                + (3/2)m(2)+m(3)2-p(2)-p(3)- (3/2)m(3)2-p(2)-p(3)+ (3/2)m(3)2-p(3) - 2-p(3)

            - {(n0+1)(3/2)m(1)+m(2)2-p(1)-p(2) - (3/2)m(2)2-p(1)-p(2) + (3/2)m(2)2-p(2) - 2-p(2) }

       = (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)-p(1)-p(2) {(3/2)m(3)2-p(3) -1}

- (3/2)m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3) + (3/2)m(2)+m(3)2-p(2)-p(3) - (3/2)m(3)2-p(2)-p(3)

+(3/2)m(3)2-p(3) - 2-p(3) + (3/2)m(2)2-p(1)-p(2) - (3/2)m(2)2-p(2) + 2-p(2)

= (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)-p(1)-p(2) {(3/2)m(3)2-p(3) -1} - (3/2)m(2)+m(3)2-p(2)-p(3)(2-p(1)- 1)

+ (3/2)m(2)2-p(2) (2-p(1)- 1) - (3/2)m(3)2-p(3)(2-p(2)- 1) - 2-p(3) +  2-p(2)

= (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)-p(1)-p(2) {(3/2)m(3)2-p(3) -1 }

+ (3/2)m(2)2-p(2){(3/2)m(3)2-p(3)- 1}(1 - 2-p(1))

+ (3/2)m(3)2-p(3)(1 - 2-p(2)) - 2-p(3) +  2-p(2)

最初からの増減数z は

z = q3 - n0 = (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3) - (3/2)m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3)

+ (3/2)m(2)+m(3)2-p(2)-p(3)- (3/2)m(3)2-p(2)-p(3)+ (3/2)m(3)2-p(3) - 2-p(3) - n0

= n0{(3/2)m(1)+m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3) - 1} + (3/2)m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3){(3/2)m(1) - 1}

+ (3/2)m(3)2-p(2)-p(3){ (3/2)m(2)- 1} + 2-p(3){(3/2)m(3)- 1}

= [n0{ 3m(1)+m(2)+m(3)- 2p(1)+p(2)+p(3)+m(1)+m(2)+m(3)} + 3m(2)+m(3){ 3m(1) - 2m(1)}

+ 3m(3)2p(1)+m(1){ 3m(2)- 2m(2)} + 2p(1)+p(2)+m(1)+m(2){ 3m(3)- 2m(3)}]/2p(1)+p(2)+p(3)+m(1)+m(2)+m(3)

 

 

 

(4) 同様にして

nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+m(4)+p(4) = q4 ,  k4 = (q42p(4) + 1)/3m(4)

nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3) = 2m(4)(q42p(4) + 1)/3m(4) - 1= (q42m(4)+p(4) + 2m(4))/3m(4) - 1

q42p(4) = 3m(4)(nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3) + 1)/2m(4) 1

 = (nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3) + 1)(3/2)m(4) - 1

q4 = {(nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3) + 1)(3/2)m(4)2-p(4) - 2-p(4)

=[(n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3) - (3/2)m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3) + (3/2)m(2)+m(3)2-p(2)-p(3)

- (3/2)m(3)2-p(2)-p(3)+ (3/2)m(3)2-p(3) - 2-p(3)](3/2)m(4)2-p(4)+ (3/2)m(4)2-p(4) - 2-p(4)

= (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)+m(4)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4) - (3/2)m(2)+m(3)+m(4)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)

+ (3/2)m(2)+m(3)+m(4)2-p(2)-p(3)-p(4) -  (3/2)m(3)+m(4)2-p(2)-p(3)-p(4)+ (3/2)m(3)+m(4)2-p(3)-p(4)

- (3/2)m(4)2-p(3)-p(4)+ (3/2)m(4)2-p(4) - 2-p(4)

4回目の一連の作業が終わって q4 が求められその増減数z4

z4 = q4 - q3 = (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)+m(4)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4) - (3/2)m(2)+m(3)+m(4)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)

+ (3/2)m(2)+m(3)+m(4)2-p(2)-p(3)-p(4) - (3/2)m(3)+m(4)2-p(2)-p(3)-p(4)+ (3/2)m(3)+m(4)2-p(3)-p(4)

- (3/2)m(4)2-p(3)-p(4)+ (3/2)m(4)2-p(4) - 2-p(4)

- [(n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3)- (3/2)m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3)

+ (3/2)m(2)+m(3)2-p(2)-p(3) - (3/2)m(3)2-p(2)-p(3)+ (3/2)m(3)2-p(3) - 2-p(3)]

= (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3){(3/2)m(4)2-p(4)-1}

+ (3/2)m(2)+m(3)+m(4)2-p(2)-p(3)-p(4){1-2-p(1)}

+ (3/2)m(3)+m(4)2-p(3)-p(4){1 - 2-p(2)}+ (3/2)m(4)2-p(4){ 1 - 2-p(3)} - 2-p(4)

- (3/2)m(2)+m(3)2-p(2)-p(3){ 1 - 2-p(1)} - (3/2)m(3)2-p(3){ 1 - 2-p(2)} + 2-p(3)

= (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)2-p(1)-p(2)-p(3){(3/2)m(4)2-p(4)-1}

+ (3/2)m(2)+m(3)2-p(2)-p(3){(3/2)m(4)2-p(4)- 1}{1-2-p(1)}

+ (3/2)m(3)2-p(3){(3/2)m(4)2-p(4) - 1}{1 - 2-p(2)}

+ (3/2)m(4)2-p(4){ 1 - 2-p(3)} - 2-p(4)+ 2-p(3)

最初からの増減数z は

z = q4 - n0 = (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)+m(4)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4) - (3/2)m(2)+m(3)+m(4)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)

+ (3/2)m(2)+m(3)+m(4)2-p(2)-p(3)-p(4) -  (3/2)m(3)+m(4)2-p(2)-p(3)-p(4)+ (3/2)m(3)+m(4)2-p(3)-p(4)

- (3/2)m(4)2-p(3)-p(4)+ (3/2)m(4)2-p(4) - 2-p(4) -n0

= n0{(3/2)m(1)+m(2)+m(3)+m(4)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4) - 1}+(3/2)m(2)+m(3)+m(4)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4){(3/2)m(1)- 1}

+ (3/2)m(3)+m(4)2-p(2)-p(3)-p(4){(3/2)m(2)- 1}+ (3/2)m(4)2-p(3)-p(4){(3/2)m(3)- 1}

+ 2-p(4){(3/2)m(4) - 1}

= [n0{3m(1)+m(2)+m(3)+m(4)-2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)} + 3m(2)+m(3)+m(4){3m(1)- 2m(1)}

+ 3m(3)+m(4)2p(1)+m(1){3m(2)- 2m(2)}+ 3m(4)2p(1)+p(2)+m(1)+m(2){3m(3)- 2m(3)}

+ 2p(1)+p(2)+p(3)+m(1)+m(2)+m(3){3m(4) - 2m(4)}]/2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 

 

(5) 同様にしてこの作業を n 回繰り返せば

nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+m(4)+p(4)+・・・+m(n)+p(n) = qn ,  kn = (qn2p(n) + 1)/3m(n)

nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1) = 2m(n)(qn2p(n) + 1)/3m(n) 1

= (qn2m(n)+p(n) + 2m(n))/3m(n) - 1

qn2p(n) = 3m(n)(nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1) + 1)/2m(n) - 1

       = (nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1) + 1)(3/2)m(n) - 1

qn = { (nm(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1) + 1)(3/2)m(n)2-p(n) - 2-p(n)

    = (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)- ・・・-p(n)

- (3/2)m(2)+m(3)+m(4)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4) - (3/2)m(2)+m(3)+m(4)+・・・+p(n)2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)-・・・-p(n)

+ (3/2)m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)2-p(2)-p(3)-p(4)-・・・-p(n)

- (3/2)m(3)+m(4)+・・・+m(n)2-p(2)-p(3)-p(4)-・・・-p(n)+ (3/2)m(3)+m(4)+・・・+m(n)2-p(3)-p(4)-・・・-p(n)

- (3/2)m(4)+m(5)+・・・+m(n)2-p(3)-p(4)-p(5)-・・・-p(n)+ (3/2)m(4)+m(5)+・・・+m(n)2-p(4)-p(5)-・・・-p(n)

      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

- (3/2)m(n)2-p(n-1)-p(n)+ (3/2)m(n)2-p(n) - 2-p(n)

n回目の一連の作業が終わって qn が求められその増減数 zn

zn = qn - qn-1 

= (n0+1)(3/2)m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)2-p(1)-p(2)-p(3)-・・・-p(n-1){(3/2)m(n)2-p(n)-1}

      + (3/2)m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)2-p(2)-p(3)-・・・-p(n-1){(3/2)m(n)2-p(n)- 1}{1 - 2-p(1)}

+ (3/2)m(3)+m(4)+・・・+m(n-1)2-p(3)-p(4)-・・・-p(n-1){(3/2)m(n)2-p(n) - 1}{1 - 2-p(2)}

       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+ (3/2)m(n-1)2p(n-1){(3/2)m(n)2-p(n) - 1}{1 - 2-p(n-2)}

+ (3/2)m(n)2-p(n){ 1 - 2-p(n-1)}

- 2-p(n)+ 2-p(n-1)

最初からの増減数 z 

z = qn - n0 

= [n0{3m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)-2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

          + 3m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n){3m(1)- 2m(1)}

+ 3m(3)+m(4)+・・・+m(n)2p(1)+m(1){3m(2)- 2m(2)}

+ 3m(4)+・・・+m(n)2p(1)+p(2)+m(1)+m(2){3m(3)- 2m(3)}

       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+ 3m(n)2p(1)+p(2)+・・・+p(n-2)+m(1)+m(2)+・・・+m(n-2){3m(n-1)- 2m(n-1)}

+ 302p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n-1)+m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1){3m(n) - 2m(n)}]

/2p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)

此処に於いて分子の第1項のn0 の係数となる

{3m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)-2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} は

    p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n) の値が大きくなれば負となりうる。

     分子の第2項以降は 3p -2p の形(p ≧ 1)の係数だから全て正となる。

    従って z < 0 となるには

     3m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n) < 2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n) でなければならない。

     (3/2)m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n) < 2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)

従ってこれら一連の作業を n 回やって上記条件が満たされたとき、

奇数 n0 はそれより小さい qn に帰着する。

 

-3  以上の検討結果をまとめる

 

  (1) n0 = 1 のとき

 

      n1 = (3n0 + 1)/2 = 4/2 = 2

 

      nm(1) = q12p(1)  ∴ m(1) = 1 , p(1) = 1 , q1 = 1

 

      n2 = n1/2 = 1 → nm(1)+p(1) = q1 に相当する

 

      (3/2)m(1) = (3/2) , 2p(1) = 2  ∴(3/2)m(1) < 2p(1) が成り立ち命題は成り立つ。

 

  (2) n0 = 2 のとき

 

      n1 = n0/2 = 1

 

      (1)で 成立することを確認済み

 

(3) n0 = 3 のとき

 

      n1 = (3n0 + 1)/2 = 10/2 = 5

 

      n2 = (3n1 + 1)/2 = (3・5 + 1)/2 = 8 = 1・23

 

      nm(1) = q12p(1)  ∴ m(1) = 2 , p(1) = 3 , q1 = 1

 

      n3 = n2/2 = 4 , n4 = n3/2 = 2 , n5 = n4/2 = 1 ,  → nm(1)+p(1) = q1 に相当する

 

      (3/2)m(1) = (3/2)2 , 2p(1) = 23  ∴(3/2)m(1) < 2p(1) が成り立ち命題は成り立つ。

 

  (4) n0 = 4 のとき

 

      n1 = n0/2 = 2

 

      (2)で 成立することを確認済み

 

      今後 n0 を順次大きくしていくとすれば n0 が偶数のときは、

 

      それ以前に証明はすまされていることとなるので、以後は省略する。

 

      n0 = k の奇数のときも この命題は成り立つ

 

      何故なら n 回の操作により

 

     z = [k{3m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)

 

         - 2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

 

        + 3m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n){3m(1)- 2m(1)}

 

          + 3m(3)+m(4)+・・・+m(n)2p(1)+m(1){3m(2)- 2m(2)}

 

          + 3m(4)+・・・+m(n)2p(1)+p(2)+m(1)+m(2){3m(3)- 2m(3)}

 

       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 

          + 3m(n)2p(1)+p(2)+・・・+p(n-2)+m(1)+m(2)+・・・+m(n-2){3m(n-1)- 2m(n-1)}

 

         + 302p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n-1)+m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1){3m(n) - 2m(n)}]

 

         /2p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)

 

    が得られ、分子の第1項の k の係数となる

 

    {3m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)

 

          -2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} は

 

      p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n) の値が大きくなれば負となるので

 

     3m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n) < 2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)

 

   ∴ (3/2)m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n) < 2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)

 

    となるまで n を増やせば、z < 0 となり、n0 は n0 よりも小さい qn に帰着する。

 

      このようにして n0 はそれより小さい数に帰着していくから、

 

      最終的には  1 → 4 → 2 → 1 を繰り返す   Q.E.D.

 

 

 

<水の流れ:この続きはその3をご覧ください> 

 

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