第７話　「友愛数」

　　完全数の考えを少し拡張したものとして、”友愛数”（amicable　numberあるいはfrienddly　number）がある。たとえば、220と284について、それぞれの約数が（ただし、自分自身は除く）の和を作ってみる。

２２０…１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋２２＋４４＋５５＋１１０＝２８４

２８４…１＋２＋４＋７１＋１４２＝２２０

のようになり、お互いがお互いの約数の約数の和として表現されることになる。このようなとき、２つの数は”友愛的”と呼ばれ、２数の組を”友愛数”と呼びます。

　さて、220と284が友愛数であることは分かったが、それ以外にも友愛数はあるだろうか。また、友愛数を求めるための何らかの規則性はあるだろうか。Ｌ．Ｅ．ディクソンの有名な著書「数論の歴史」によると、９世紀にアラビアのタービット・ベン・クッラが友愛数に関する次のような記録を残している。

「もし、ｈ＝３・２＾ｎ―１、ｔ＝３・２＾（ｎ―１）―１、ｓ＝９・２＾（２ｎ―１）―１がすべて素数ならば、２＾ｎ・ｈｔ　と　２＾ｎ・ｓ　は友愛数である。」

ここで、ｎ＝２とすると、ｈ＝１１，ｔ＝５、ｓ＝７１　となるから、

２＾ｎ・ｈｔ＝２２０　、２＾ｎ・ｓ＝２８４　となって、確かに友愛数220と284が得られる。