平成１２年２月８日
＜母関数から、数列の一般項を求めよう＞Ｎｏ１
＜未だ見ぬ偉大な数学者たち＞へ、
数列の一般項を求めるのに、その数列の母関数を用いると有効なことがあるので、考えてみよう。では、母関数とは何んであるか調べてみます。数列を ａ(0)，ａ(1)，ａ(2)，ａ(3)，・・・，ａ(ｎ)，・・・ と表します。
この数列に対して、無限級数：Ｆ(ｘ)＝ａ(0)＋ａ(1)ｘ＋ａ(2)ｘ２＋ａ(3)ｘ３＋・・・＋ａ(ｎ)ｘｎ＋・・・
を考え、この関数を母関数といいます。
無限級数をみれば収束するかどうかが気にかかるが、母関数では無関心であってよい。ｘは全く形式的に導入した変数に過ぎません。その名は関数せあるが、正体は代数学における単なる式と見てください。したがって、その計算も次のように形式的に考えてください。2つの無限級数を
Ｆ(ｘ)＝ａ(0)＋ａ(1)ｘ＋ａ(2)ｘ２＋ａ(3)ｘ３＋・・・＋ａ(ｎ)ｘｎ＋・・・
Ｇ(ｘ)＝ｂ(0)＋ｂ(1)ｘ＋ｂ(2)ｘ2＋ｂ(3)ｘ３＋・・・＋ｂ(ｎ)ｘn＋・・・ としたとき、加法は
Ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)＝{a(0)＋b(0)}＋{a(1)＋b(1)}ｘ２＋{a(2)＋b(2)}ｘ３＋・・・＋{a(n)＋b(n)}ｘｎ＋・・・ と定める。
減法も同様。乗法は
Ｆ(ｘ)Ｇ(ｘ)＝a(0)b(0)＋{a(0)b(1)＋a(1)b(0)}ｘ＋・・・＋{a(0)b(n)＋a(1)b(n-1)+…+a(n)b(0)}ｘｎ＋・・・ と定める。
また、定数をかける場合は、
ｋＦ(ｘ)＝ｋａ(0)＋ｋａ(1)ｘ＋ｋａ(2)ｘ２＋ｋａ(3)ｘ３＋・・・＋ｋａ(ｎ)ｘｎ＋・・・ となります。
さて、準備として、無限数列：１，１，１，１，・・・， の母関数から始めましょう。
ｙ＝１＋ｘ＋ｘ２＋・・・＋ｘｒ＋・・・＝１/(１－ｘ) （等比級数の和の公式 ｜ｘ｜＜１）
しかし、ここでは、収束は考えずに、形式的計算で考えます。ｙの両辺にｘをかけて、
ｘｙ＝ｘ＋ｘ２＋・・・＋ｘｒ＋・・・
次に、ｙからｘｙを引いて（１－ｘ）ｙ＝１ ∴ １/(１－ｘ)
＝１＋ｘ＋ｘ２＋・・・＋ｘｒ・・・①
これで、２つの方法で出したけれど、わっかたね。これが分かったら、自然数の数列の母関数を考えますよ。
自然数の列：０，１，２，３，・・・，ｎ，・・・ の母関数は
ｙ＝ｘ＋２ｘ２＋・・・＋(ｒ-1)ｘｒ－１＋・・・と予想できるでしょう。この両辺にｘをかけて、
ｘｙ＝ｘ２＋２ｘ３＋・・＋(r-1)ｘｒ＋・・・ ２式の差をとって、
（１―ｘ）ｙ＝ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋・・・＋ｘｒ＋・・・＝１/(１－ｘ)―１ （①から）
∴ｙ＝ｘ／(１－ｘ)＾２＝ｘ＋２ｘ２＋３ｘ３＋・・・＋ｒｘｒ＋・・・＝ｘ／(１－ｘ)２・・・②
さて、自然数の和の公式を求めてみます。②の両辺に①の両辺をかけてみます。
ｘ／(１－ｘ)３＝ｘ＋(１＋２)ｘ２＋・・・＋(１＋２＋３＋・・・＋ｒ)
ｘｒ＋・・・
この後は、左辺の分数式の無限級数を展開します。
（１－ｘ）－３ の展開は２項定理を用いてみます。
(１＋ｘ)^n＝C[n,0]+C[n,1]ｘ＋C[n,2]ｘ２＋・・・＋C[n,r]ｘｒ＋・・・＋C[n,n]ｘｎ
ここで、C[n,r]は2項係数を表すこととします。さらに、ｎは負の数や分数の場合へ形式的に拡張したものを用いる。
（１－ｘ）－３ の展開式で、ｘｒの係数をB(ｒ)で表すと、
B(ｒ)＝(－１)ｒ×(-3)(-4)……（－３―ｒ＋1）／ｒ！
分子の因数はｒ個であるから、その符号をかえれば(－１)ｒは消える。
B(ｒ)＝(３)(４)……（ｒ＋２）／ｒ！＝(ｒ＋１)(ｒ＋２)／２
したがって、ｘ（１－ｘ）－３のｘｒの係数は B(ｒ―１)＝ｒ(ｒ＋１)／２ となって、
これは当然、、(１＋２＋３＋・・・＋ｒ)に等しい。みんな、理解できたね。
次は、自然数の平方の和を求めるよ。
ここでも、自然数の平方の母関数が必要です。
ｙ＝ｘ＋２２ｘ２＋・・・＋ｒ２ｘｒ＋・・・
さあー、ここで、前と同じようにｘｙを作って、ｙ－ｘｙの差を計算します。ここで、ｘｒの係数をみると、
ｒ２―(ｒ－１)２＝２ｒ－１になるから、
(１－ｘ)ｙ＝ｘ＋３ｘ２＋・・・＋（２ｒ－１）ｘｒ＋・・・
さらに、右辺は次のように２つの級数を差に分解できる。
(１－ｘ)ｙ＝２(ｘ＋２ｘ２＋・・・＋ｒｘｒ＋・・・)―(ｘ＋ｘ２＋・・・＋ｘｒ＋・・・)
これは、すでに求めた ①、②で表されるから、
(１－ｘ)ｙ＝２ｘ／(１－ｘ)２－｛１／(１－ｘ)－１｝
これをｙについて解いてください。
ｙ＝(ｘ＋ｘ２) ／(１－ｘ)３＝ｘ＋２２ｘ２＋・・・＋ｒ２ｘｒ＋・・・ になったかな。
この級数の和を求めたいから、両辺に①：１/(１－ｘ)
＝１＋ｘ＋ｘ２＋・・・＋ｘｒ・・・①
かけて、右辺を計算してください。
(ｘ＋ｘ２) ／(１－ｘ)４＝Ａ(１)ｘ＋Ａ(２)ｘ２＋・・・＋Ａ(ｒ)ｘｒ＋・・・ とおくと、
ただし、Ａ(ｒ)＝１２＋２２＋３２ ＋・・・＋ｒ２ である。
さあー、(１－ｘ)－４ に２項定理をもちいるぞー。ここで、ｘｒの係数だけをみます。
また、ｘ^rの係数をB(ｒ)で書くと、Ａ(ｒ)＝B(ｒ―１)＋B(ｒ―２) になること分かるかな。
B(ｒ)＝(－１)ｒ×(-4)(-5)……（－4―ｒ＋1）／ｒ！
分子の因数はｒ個であるから、その符号をかえれば(－１)ｒは消える。
B(ｒ)＝(４)(５)……（ｒ＋３）／ｒ！＝(ｒ＋１)(ｒ＋２)(ｒ＋３)／３！
これをもとにして、B(ｒ―１)、B(ｒ―２)を計算します。
Ａ(ｒ)＝B(ｒ―１)＋B(ｒ―２)
＝ｒ(ｒ＋１)(ｒ＋２)／６―(ｒ―１)ｒ(ｒ＋１)／６
もう！できたぞ。よって、求める自然数の平方の和は
１２＋２２＋３２ ＋・・・＋ｒ２ ＝ｒ(ｒ＋１)(２ｒ＋１)／６ （答）
どう、きれいにでてきたでしょう。
このことを、同様に繰り返せば、自然数の３乗の和、４乗の和を順に求められるが、計算は楽ではないぞー。
一度、時間があったら実行してみてください。
今日は、これで終わりにします。次の時間は、あの有名な「フィボナッチ数列」と「カタラン数」の一般項を
母関数を用いて、導くことにしまーす。本日はお疲れさま！
＜参考文献：「数学ひとり旅」石谷茂著：現代数学社＞