平成１２年２月１５日
＜母関数から、カタラン数の一般項を求めよう＞Ｎｏ３
＜未だ見ぬ偉大な数学者たち＞へ、
数列の一般項を求めるのに、その数列の母関数を用いると有効なことがあるので、考えてみよう。では、母関数とは何んであるか調べてみます。数列を ａ０，ａ１，ａ２，ａ３，・・・，ａｎ，・・・ と表します。
この数列に対して、無限級数：Ｆ(ｘ)＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋・・・＋ａｎｘｎ＋・・・
を考え、この関数を母関数といいます。
ここまでは、昨日までの復習です。今日は、有名なカタラン数｛Tｎ｝の一般項を導きます。
さて、漸化式は何でしたか？これは、平成10年のインターネット活用授業の＜水の流れ＞授業編「カタラン数と最短経路」
のページを見てください。下のような漸化式の一般項がカタラン数です。
T０＝１、Tｎ＝T0Tn-1+
T１Tn-２+ T２Tn-３+・・・＋Tn-1T0 （ｎ≧１）
この数列の母関数をｙ＝Ｔ０＋Ｔ１ｘ＋Ｔ２ｘ２＋Ｔ３ｘ３＋・・・＋Ｔｎｘｎ＋・・・ とおくと、
今までと、同じで、ｙにｘをかけます。覚えているかな。
Ｆ(ｘ)＝ｘｙ＝Ｔ０ｘ＋Ｔ１ｘ２＋Ｔ２ｘ３＋・・・＋Ｔｎｘｎ＋１＋・・・
ここで、前回と違うのは、{Ｆ(ｘ)}２ を計算します。
{Ｆ(ｘ)}２＝(Ｔ０ｘ)２＋（T0T１+
T１T０）ｘ３＋・・・＋(T0Tn-1+ T１Tn-２+
T２Tn-３+・・・＋Tn-1T0)ｘｎ＋１＋・・・
となります。変形できたかな。
{Ｆ(ｘ)}２＝Ｔ１ｘ２＋T２ｘ３＋・・・＋Tｎｘｎ＋１＋・・・
＝Ｆ(ｘ)―Ｔ０ｘ になります。
ここで、Ｆ(ｘ)について、２次方程式を解の公式で解いてください。 Ｆ(ｘ)＝{１±√(1−4x)}／２
ここで、Ｆ(０)＝０なので、±の負を選びます。正の解を選ぶと、Ｆ(０)＝１となって、矛盾します。
したがって、Ｆ(ｘ)＝{１―√(1−4x)}／２
次に、√(1−4x)を無限級数に展開するのです。もちろん、２項定理を利用しましょう。
(1−4x)1/2 ＝１＋Ｃ[1/2,1](-4x)＋Ｃ[1/2,2](-4x)２ ＋・・・＋ Ｃ[1/2,n+1](-4x)n+1＋・・・
ただし、前回と同じで、Ｃ[ｎ,ｒ]は２項係数を表します。
になったかな。そして、Ｆ(ｘ)のｘｎ＋１の係数を考えます。係数に気をつけてね。
Tｎ＝(―1/2) Ｃ[1/2,n+1](-4x)n+1
＝(―1/2) (-1) n+1４n+1｛
(1/2) (―1/2) (―3/2)・・・(―(２n-１)/2)｝／(n＋1)！
＝(―1/2) (-1) n+1４n+1｛
1×３×５×・・・×(２n-１)｝(-1) n／２n+1 (n＋1)！
＝(1/2)( ４n+1／２n+1
)×(1×２×３×４×・・・×２n)／｛２n (n＋1)！ｎ！｝
＝１／(n+1)×（２ｎ！／ｎ！ｎ！）
＝１／(n+1)Ｃ［２ｎ，ｎ］
ああー。よかった。これで、カタラン数の一般項になったね。皆さん！よく理解して、覚えておいてください。
これで、3時間にわたり、「母関数を利用して、数列の一般項を求める」授業を終わります。
お疲れ様。機会があったら、こんな答案も良いですよ。