さて、いきなり三角形のときは、大変だから、正方形でみんな考えてください。
＊既に、生徒に配布して置いた１辺が１０ｃｍ正方形の厚紙で、いろいろな設計図を書き始める。）
書いたら、定規で長さを測ってください。グループで出し合ってください。
勿論、１辺をａｋｍのときは、√（ルート）が必要になるからね。

問題２ 　正方形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの位置に４校があり、この４校を連結するネットワーク（どの２校もネットワークを通して、行き来できるようにする）を結ぶ計画があります。 もっとも短い結び方で、何ｋｍが必要でしょうか？ また、その、作図も書いてください。 ただし、１辺の距離をａｋｍとする。

ここに、授業中に生徒が考えた設計図があります。

設計図の中で、一番短いのは対角線の×印のネットですね。
しかし、一番右は図だけで、長さは出ていませんね。

先生、定規で測ってみたら、どうですか。
そうだね、では測ってください。

対角線は１辺が１０ｃｍですから、だいたい、

２×１０＝２８．３センチです。

よく、そこまで、測れたね。次ぎに、一番右隣りはどうですか？
　先生！どうも２８．３センチより短いみたいです。
そうですね。では、途中の交点はどこに取るとよいですか？

いろいろな、発想がでてきましたが、なぜ？と問われると答えられません。

　先生！ギブアップです。教えてください。ここまで、考えたから。
それでは、みんなと一緒に考えてみましょう。
実は、三角形の場合を知って置く必要がありますので、順にいきよ。

　まず、次の定理を証明します。

定理１ 正三角形の内部の点から３辺までの距離の和は一定である。

＜証明＞

正三角形の１辺の長さをａとして、三角形の面積を考える。

△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ＋△ＰＡＢ＝△ＡＢＣ

　(１/２)ａｘ＋(１/２)ａｙ＋(１/２)ａｚ＝(１/２)ａｈ
∴ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｈ
　　（ただし、ｈは△ＡＢＣの高さとする）

さて、この応用を用いて最短シャタイナー問題が解けます。

問題１　３角形の各頂点から距離の和が最小になる点を見つけよ。 （これはフランスの大数学者フェルマーがイタリーの物理学者トリチェリに出題）

＜証明＞２つの３角形に分けて、結論が分かっていないので、この点が最小なることを証明します。
�@３角形の角がすべて１２０゜以下の場合　
�A ３角形の１角が１２０゜より大きい場合

�@の場合　

与えられた３角形をＡＢＣとし、任意の点をＰとする。
ＡＰ，ＢＰ，ＣＰの交角がすべて１２０゜になるとき最小な点Ｑとなることを言う。

Ａ，Ｂ，Ｃを通って，ＡＱ，ＢＱ，ＣＱに垂直な直線を引いて３角形Ａ’Ｂ’Ｃ’を作る。
この３角形は、∠ＡＱＢ＝∠ＢＱＣ＝∠ＣＱＡ＝１２０゜　より正三角形である。

任意の点Ｐから３辺Ｂ’Ｃ’，Ｃ’Ａ’，Ａ’Ｂ’に下した垂線の足をＬ、Ｍ、Ｎとすると、

ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ≧ＰＬ＋ＰＭ＋ＰＮ＝ＱＡ＋ＱＢ＋ＱＣ
（３角形の辺の長さの不等式と定理１から）

�Aの場合は考慮中です。　　＜一応証明終わり＞

次の外接円を加えます。

定理２ 　正３角形ＡＢＣの平面上の任意の点をＰとして、次の不等式が成り立つ。 ＢＰ＋ＣＰ≧ＡＰ，ＣＰ＋ＡＰ≧ＢＰ ，ＡＰ＋ＢＰ≧ＣＰ

＜証明＞（＊トレミーの定理の一般化したものを利用します）

任意の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐについて（４角形はねじれた場合も良い）、
四辺形ＡＢＣＤについて、一般のトレミーの定理は

ＡＣ・ＢＰ＋ＡＢ・ＣＰ≧ＢＣ・ＡＰ
（この証明はやらねば、これは複素数を用いて後でします。）

正３角形より、ＡＣ＝ＡＢ＝ＢＣ　だから
　ＢＰ＋ＣＰ≧ＡＰ
他の２つの場合も同様です。　　＜証明終＞

注：点Ｐが△ＡＢＣの外接円上にないとき

注意：この不等式の関係は円に外接する４角形のトレミーの定理から、等号が成り立つのは点Ｐが△ＡＢＣの外接円上にあるときに限る。
例えば、点Ｐが弧ＢＣ上にあるとき、
　等式　ＢＰ＋ＣＰ＝ＡＰ　が成り立ち、他の２つは不等式である。

これは、点Ｐが三角形ＡＢＣの外接円上にあるときに成り立つことをしめしています。

定理３　四辺形ＡＢＣＤについて、一般のトレミーの定理は 　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ≧ＡＣ・ＢＤ

＜証明＞ 複素数平面上で４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの座標をそれぞれα、β、γ、δ とする。

ここで、Ｚ＝(α−β)(γ−δ)， Ｗ＝(γ−β)(α−δ)とおくと、
Ｚ−Ｗ＝(α−β)(γ−δ)−(γ−β)(α−δ)
　　＝(α−γ)(β−δ)となり、

｜Ｚ｜＋｜Ｗ｜≧｜Ｚ−Ｗ｜ ＜例の三角不等式＞

注：一般に、複素数Ｘ、Ｙについて、
　　　｜Ｘ｜｜Ｙ｜＝｜ＸＹ｜は成立

ただし、等号は、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ　が同一円周上にあるとき成り立つ。

さあー、もう一息だから、みんな頑張ろうね。
最後の定理でーす。

定理４　 △ＡＢＣの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢを１辺として正３角形ＣＢＤ，ＡＣＥ，ＢＡＦを△ＡＢＣの外側に作ると、次のことが成り立つ。 （１）ＤＡ＝ＥＢ＝ＦＣ （２）ＤＡ，ＥＢ，ＦＣの交角はすべて１２０゜である。

＜証明＞ この証明は 複素平面上で示します。
３点Ａ、Ｂ、Ｃの座標をそれぞれα、Ｏ、γ とする。
（ただし，Ｏは原点とする。）

（＊回転に威力を発揮するのが複素数です。）

さらに、３点Ｄ、Ｅ，Ｆの座標をそれぞれｄ，ｅ，ｆとします。

ここで、１の立方根を１，ω、ω₂で表し、
ω＝(−１＋ｉ)／２＝ｃｏｓ１２０゜＋ｉｓｉｎ１２０゜ とする。

注：ωは１の立方根より、
ω₃−１＝(ω−１)(ω₂＋ω＋１)＝０

∴ω₂＋ω＋１＝０

また、ω₂＝−ω−１，ω₂＋１＝−ω

点Ｆの座標は 線分ＢＡを原点の周りに１２０゜回転させた点をＧとし、ベクトルだけ平行移動します。
Ｇ(ωα)、Ｆ(ωα＋α)

∴ ｆ＝ωα＋α＝(ω＋１)α＝−αω₂

点Ｄの座標は 線分ＢＣを原点の周りに２４０゜回転させた点をＨとし、ベクトルだけ平行移動します。

Ｈ(γω₂)，Ｄ(γω₂＋γ)

∴
ｄ＝γω₂＋γ
＝(ω₂＋１)γ
＝−ωγ

点Ｅの座標は，線分ＡＣを点Ａの周りに１２０゜回転させた点をＫとし、ベクトルだけ平行移動します。

Ｋ｛ω(γ−α )＋α ｝，Ｅ｛ω(γ−α )＋α＋(γ−α )｝

∴
ｅ＝ω(γ−α )＋γ
　＝(ω＋１)γ−ωα
　＝−γω₂−ωα

これから、
＝α−ｄ＝α＋ωγ

＝ｏ−ｅ
＝γω₂＋ωα
＝ω(α＋ωγ)
＝ω

同様にして、

以上から、

• 以上から、ＤＡ＝ＥＢ，ＤＡとＥＢの交角が１２０゜
• ＥＢ＝ＦＣ，とＥＢとＦＣの交角が１２０゜

最後に、求める最短経路の長さは
　｜ＤＡ｜＝｜α＋ωγ｜ ・・・（答）

�A ３角形の１角が１２０゜より大きい場合

∠Ａ＞１２０゜ のとき、ＡＢ＋ＡＣ　が　最小になり、点Ｐは点Ａ そのものです。

先生、もう疲れたー。
じゃー、まとめるよ。

�@３角形の角がすべて１２０゜以下の場合
　求める設計図は交角がすべて１２０゜となる点を探します。
その点は１つの辺を正三角形の１辺として、反対側に作り、もう１つの他の点と結びます。

　さらに、この正三角形の外接円との交点をみつけてください。
これがもとめる中継点です。
最短距離はＤＡ＝ＥＢ＝ＦＣです。

�A ３角形の１角が１２０゜より大きい場合
∠Ａ＞１２０゜ のとき、ＡＢ＋ＡＣ　が　最小にになり、点Ｐは点Ａそのものです。

さて、元に、もどります。正方形ですが、

もう、分かったね。
［４(１/２÷ｃｏｓ３０°)＋｛１−２(１/２×ｔａｎ３0°)｝］ａ
＝(１＋)　・・・（答え）

注：ａ＝１００のとき、最短距離は２７３　になるよ。
これをもとに、正５角形、正６角形も考えてください。
よーし、これで、本日の＜水の流れ＞の授業を終わります。

＜参考　文献＞　数学ひとり旅　石谷　茂　現代数学社

　　　　　　　岐阜県立海津北高等学校　数学科教諭　水野　隆生
　　　　　　　自宅：mizuryu@aqua.ocn.ne.jp