NO.290 　　　 '99 1/18 　　Junko 　　　 連続自然数の和（１）

1/16に行われたセンタ−試験＜数学�U・Ｂ＞に次のような問題が出題されています。

整数１５はつぎのように連続した正の整数の和として表すことができる。

１５＝１＋２＋３＋４＋５＝４＋５＋６＝７＋８

１より大きい整数ｎについて、これを連続した２つ以上の正の整数の和で表すことができるかどうかを調べるプログラムを作った。

途中省略

（３）２から９までの数をｎとして、このプログラムを実行する。

このとき、Yesが１回も表示されないｎを小さい順に書くと、□、□、□である。

Yesが１回も表示されないというのは、連続した２つ以上の正の整数の和で表すことができないということを意味します。

答えは２，４，８です。

「連続自然数の和として表すことができない数は、２ｍという形をしたものに限る」ように思います。

試しに１６，３２，６４と調べてみると、確かにそうなっています。

そしてそれ以外のものは、連続した正の整数の和として表すことができるようです。なぜなのでしょう？

NO.295 　　　 '99 1/20 　　水の流れ 　　　 連続自然数の和（２）

１５の奇数の約数は１，３，５，１５の４個ですから、

　１５＝１５

　１５＝７＋８

　１５＝４＋５＋６

　１５＝１＋２＋３＋４＋５

の４種類に分解できます。

　「一般に、整数Ｎを連続したいくつかの自然数に分解する方法はＮの奇数の約数の個数に等しいのです」

だから、Junkoさんが言われるように、Ｎ＝２ｍの場合は不可能です。

NO.296 　　　 '99 1/20 　　Junko 　　　 連続自然数の和（３）

整数Ｎを連続したいくつかの自然数に分解する方法をＮの性質によって分類しながら示します。

[ｘ]はガウス記号を表します。これはｘを越えない最大の整数を与えます。

奇数

Ｎ＝[Ｎ／２]＋([Ｎ／２]＋１)とできるからです。

たとえば、１５＝７＋８のように。

３の倍数

Ｎ＝([Ｎ／３]−１)＋[Ｎ／３]＋([Ｎ／３]＋１)とできるからです。

つまり、Ｎをまず３等分します。１５＝５＋５＋５

真ん中を中心に先頭は１を引き、最後は１を足す。１５＝４＋５＋６

ただし、[Ｎ／３]−１≧１より、Ｎ≧６

５の倍数

Ｎ＝([Ｎ／５]−２)＋([Ｎ／５]−１)＋[Ｎ／５]＋([Ｎ／５]＋１)＋([Ｎ／５]＋２)とできるからです。

つまり、Ｎをまず５等分します。１５＝３＋３＋３＋３＋３

真ん中を中心に前半は１づつ引き、後半は１づつを足します。１５＝１＋２＋３＋４＋５

ただし、[Ｎ／５]−２≧１より、Ｎ≧１５

以下同様に・・・奇数の倍数ならば、同じようにできると思います。ただし、Ｎはある定数以上という条件つきです。

これだと奇数ばかりですので、偶数について考えました。

２×奇数

Ｎ＝Ｎ／２＋Ｎ／２ (ここで、Ｎ／２は奇数ですから、ｉの１より)

　＝{[Ｎ／４]＋([Ｎ／４]＋１)}＋{[Ｎ／４]＋([Ｎ／４]＋１)}

　＝{[Ｎ／４]＋([Ｎ／４]＋１)}＋{([Ｎ／４]−１)＋([Ｎ／４]＋２)}

　＝([Ｎ／４]−１)＋[Ｎ／４]＋([Ｎ／４]＋１)＋([Ｎ／４]＋２)

とできます。

例えば、１０＝５＋５

　　　　　　＝(２＋３)＋(２＋３)

　　　　　 ＝(２＋３)＋(１＋４)

　　　　　　＝１＋２＋３＋４

ただし、[Ｎ／４]−１≧１より、Ｎ≧８です。

４×奇数

Ｎ＝Ｎ／４＋Ｎ／４＋Ｎ／４＋Ｎ／４

　　 (ここで、Ｎ／４は奇数ですから、ｉの１より)

　＝{[Ｎ／８]＋([Ｎ／８]＋１)}＋{[Ｎ／８]＋([Ｎ／８]＋１)}＋{[Ｎ／８]＋([Ｎ／８]＋１)}＋{[Ｎ／８]＋([Ｎ／８]＋１)}

　＝{[Ｎ／８]＋([Ｎ／８]＋１)}＋{([Ｎ／８]−１)＋([Ｎ／８]＋２)}＋{([Ｎ／８]−２)＋([Ｎ／８]＋３)}＋{([Ｎ／８]−３)＋([Ｎ／８]＋４)}

　＝([Ｎ／８]−３)＋([Ｎ／８]−２)＋([Ｎ／８]−１)＋[Ｎ／８]＋([Ｎ／８]＋１)＋([Ｎ／８]＋２)＋([Ｎ／８]＋３)＋([Ｎ／８]＋４)

とできます。

例えば、４４＝１１＋１１＋１１＋１１

　　　　　　＝(５＋６)＋(５＋６)＋(５＋６)＋(５＋６)

　　　　　 ＝(５＋６)＋(４＋７)＋(３＋８)＋(２＋９)

　　　　　　＝２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９

ただし、[Ｎ／８]−３≧１より、Ｎ≧３２です。

以下同様に・・・２ｍ×奇数ならば、同じようにできると思います。ただし、Ｎはある定数以上という条件つきです。

こうして考えていくと、「水の流れ」さんのおっしゃっている

「一般に、整数Ｎを連続したいくつかの自然数に分解する方法はＮの奇数の約数の個数に等しい」というのもうなづけるのですが、疑問も生じます。

Ｎ＝１５の分解について、単独、約数３をもつから３つに分解できる、約数５をもつから５つに分解はいいとして、約数１５をもつことと、１５＝７＋８との分解をどう関連づけていいのかわからないのです。

またＮ＝１１１の分解について、１１１＝３×３７より、単独、約数３をもつから３つに分解できる(111=36+37+38)、奇数だから２つに分解できる(111=55+56、前段で言ったこと)はいいとして、約数３７をもつから３７に分解できる、というわけにはいかないと思うのです。強引にやるなら、

１１１＝３＋３＋３＋・・・＋３(３７個)

　　　＝(３＋３＋・・・＋３)＋３＋(３＋３＋・・・＋３)

　　　＝{(-15)＋(-14)＋・・・＋２}＋３＋{４＋・・・＋２０＋２１}

でも、負の数はだめですよね。先程述べたＮはある定数以上という条件にひっかかるわけです。

私はとんでもなく見当違いな考え方をしているのでしょうか？　もっと別な分解の仕方があるのでしょうか？

NO.299 　　　 '99 1/21 　　水の流れ 　　　 連続自然数の和（４）

１５＝１×１５

　　＝１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１

　　＝−６−５−４−３−２−１＋０＋１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８

　　＝(−６−５−４−３−２−１＋０＋１＋２＋３＋４＋５＋６)＋７＋８

　　＝０＋７＋８

　　＝７＋８

となり、和は０ですから。その和は１５で変わらないのです。

１１１＝３＋３＋３＋・・・＋３(３７個)

　　　＝(３＋３＋・・・＋３)＋３＋(３＋３＋・・・＋３)

　　　＝{(-15)＋(-14)＋・・・＋２}＋３＋{４＋・・・＋２０＋２１

　　　＝{(-15)＋(-14)＋・・・１４＋１５}＋１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋２１

　　　＝０＋１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋２１

　　　＝１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋２１

負の数の処置をどうするかだけでした。

NO.300 　　　 '99 1/21 　　水の流れ 　　　 連続自然数の和（５）

「一般に、整数Ｎを連続したいくつかの自然数に分解する方法はＮの奇数の約数の個数に等しい。」

＜証明＞Ｎがある奇数の約数（２ｋ＋１）を持つとき、（ただし、ｋは整数）

ａ×（２ｋ＋１）＝Ｎとなるａを「真ん中」として連続数が作れる。

そこで、ａを「真ん中」として、ｍを最小数、Ｍを最大数とする。

Ｎ＝ｍ＋（ｍ−１）＋・・・＋ａ＋・・・＋（Ｍ−１）＋Ｍ・・・�@

これは、ａの左側はｋ個、ａの右側はｋ個、そして、真ん中の１個の合計（２ｋ＋１）個の数が並んでいる。

もし、ｍが負の数のときには、少し考えてみます。

ｍ＋（ｍ−１）＋・・・＋０＋・・・＋（−ｍ−１）＋（−ｍ）＝０　・・・�A

より、�@−�A＝Ｎ−０＝Ｎ

すなわち、（−ｍ＋１）＋・・・＋（Ｍ−１）＋Ｍ＝Ｎ　・・・�B

これは，正の数だけで作った連続数の和です。

ところで、�@の形でつくった連続の和は当然「奇数個」です。

�Bの場合は、�@の奇数個から、�Aの奇数個を引きますから、当然「偶数個」の連続数の和です。

以上から、１個の奇数の約数から、必ず�@または�Bの形の１通りの連続数の和が得られます。

逆に、１通りの連続数があったとき、１個の奇数があるだろうか？

調べます。

１通りの連続数が与えられたとき、それは�@か�Bのどちらかの形です。

�@なら、奇数個より、真ん中の数が１つ存在して、それに応じて奇数１つが決まる。

�Bなら、偶数個だから、�Aの奇数個を作って、 �@の負から始まる奇数個の和をつくる。このとき、真ん中の数が１つ存在して、それに応じて、他の別の奇数が１つが決まる。

したがって、「奇数の約数」と「正の連続数の和」は１対１に対応して、その個数は一致する。　　　＜証明終わり＞