平成１１年６月１２日

第２話：「完全数」

　自然数の正の約数について、考えてみましょう。

例えば、６の約数は６＝２×３より、１，２，３，６です。

これらを足してみると、１＋２＋３＋６＝１２となり、ちょうど、元の６の２倍になっています。

　このように、自然数ｎの正の約数の和が元の自然数の２倍になっているような数を完全数と言い

ます。これは、ピュタゴラス学派（紀元前５００〜３００年）が自然数の素因数分解の中で、発見

していったと思われます。

　この定義から、最初のいくつかの完全数は、６，２８，４９６，８１２８，…　であることが割

合早くから知られています。

２（６）＝２（３×２）＝１＋２＋３＋６

２（２８）＝２（７×４）＝１＋２＋４＋７＋１４＋２８

２（４９６）＝２（３１×１６）＝１＋２＋４＋８＋１６＋３１＋６２＋１２４＋２４８＋４９６

…………

　ここで、数字Ｐ＝ｑ×２＾(ｐ−１)＜ｑは素数＞であるが完全数を考えてみます。

２とｑは素数だから、Ｐは素因数分解されています。

ｑの約数の和は１＋ｑ

２＾(ｐ−１)の約数の和は１＋２＋４＋…＋２＾(ｐ−１)＝２＾ｐ−１　であり、

Ｐ＝ｑ×２＾(ｐ−１)の約数の和は、掛けてみると、（ｑ＋１）（２＾ｐ−１）

　一方、Ｐは完全数だから、Ｐの約数の和は　２×ｑ×２＾(ｐ−１)＝ｑ×２＾ｐ

両者が等しいことより、　（ｑ＋１）（２＾ｐ−１）＝ｑ×２＾ｐ

展開して、比べると、ｑ＝２＾ｐ−１　それで、ｑが素数なら、

ｑ×２＾(ｐ−１)＝（２＾ｐ−１）・２＾(ｐ−１)　

　そして、　Ｍ（ｐ）＝２＾ｐ−１がメルセンヌ数で、素数なら

Ｐ＝（２＾ｐ−１）・２＾(ｐ−１)　は完全数になります。

　現在までに、分かっている完全数を順に、書きます。

６（ｐ＝２）、２８（ｐ＝３）、４９６（ｐ＝５）、８１２８（ｐ＝７）、

３３５５０３３６（ｐ＝１３）、８５８９８６９０５６（ｐ＝１７）、

１３７４３８６９１３２８（ｐ＝１９）、

２３０５８４３００８１３９９５４１２８（ｐ＝３１）

……

そして、今現在の最大の完全数はＰ＝２＾８５９４３３×（２＾８５９４３３−１）

という気の遠くなるような大きな数字です。

　さて、完全数の「オイラーの定理」を書く前に、この偉大で有名な数学者を紹介します。

スイスの数学者のオイラーは（Lｅｏｎｈａｒｄ Ｅｕｌｅｒ，１７０７〜１７８３）

ヨハン・ベルヌイーにより指導され、ペテルスブルクのアカデミーとベルリンの科学アカデミー

で仕事をした。彼は驚くべき記憶力の持ち主で、１７３５年に右目の視力を失ったし、また、

１７６６年には左目の視力も無くした。それにもかかわらず、彼は驚くべき記憶力の助けで、

口述をさせることにより、彼の研究成果を発表し続けたのである。オイラーは最も卓越した数学の

著作家で、１３人の子供がいたが、生涯に８００以上の論文を書いた。また、パリのアカデミーから

１２回も賞を受けている。

　フランソア・アラゴは、次のように述べている。

「オイラーは人が息をするように、鷲が空中にいるように計算をした」と。

オイラーは記号、ｅ，ｉ　やｘの関数ｆ（ｘ）の記号を導入することにより、数学を系統的にした。

　彼は、微分方程式に偉大な貢献をした。「無限小解析入門」（１７４８年）は解析学の基礎を与えた。

オイラーは、ベーター関数やガンマー関数、またゼーター関数をも研究した。

　フランスの有名なラプラスは「オイラーを読め、オイラーを読め、彼は万物について私達の師匠である」

と学生たちに言ったそうである。

　お待たせしました。

「オイラーの定理」：ｎが（２＾ｐ−１）・２＾(ｐ−１)の形を持ち、２＾ｐ−１が素数なら、

そのときに限りｎは偶の完全数である・

＜証明＞　条件が十分であることは、前に述べてあるので、分かりますから、次に必要であることを

示してください。皆さん！考えてください。

是非、チャレンジください。完全数数は話題がつきません。

　そこで、問題です。

問題：完全数のすべての約数の逆数の和は２であることを証明してください

＜参考文献：素数の不思議：好田順治著（現代数学社）＞

　　　皆さん、証明ができたら、ペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。

＜ウサ見日光＞からの解答：平成１２年４月３０日１６時４３分受信　更新５月１４日

「証明」

ある完全数をＱとする。

その逆数の和は分母をＱにして通分すると

（Ｑ＋ん＋を＋わ＋・・・＋う＋い＋あ＋１）/Ｑであり、

Ｑは完全数であるから　ん＋を＋わ＋・・・＋う＋い＋あ＋１　はＱになり

したがって完全数の全ての約数の逆数の和は常に２である。

＜水の流れ：コメント＞Ｈ１２年５月１４日記入

＜ウサ見日光＞からメールの中で、未解決問題を紹介していただきましたので、お知らせします。

「私が考えた奇数の完全数について」、実は、＜ウサ見日光＞の証明がありましたが、

まだ、不備なところがあるそうですので、次回以降のメールに期待します。