平成１１年９月３日

第３話：「友愛数」

完全数の考えを少し拡張したものとして、”友愛数”（amicable　numberあるいはfrienddly　number）がある。たとえば、220と284について、それぞれの約数が（ただし、自分自身は除く）の和を作ってみる。

２２０…１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋２２＋４４＋５５＋１１０＝２８４

２８４…１＋２＋４＋７１＋１４２＝２２０

のようになり、お互いがお互いの約数の約数の和として表現されることになる。このようなとき、２つの数は”友愛的”と呼ばれ、２数の組を”友愛数”と呼びます。

　さて、220と284が友愛数であることは分かったが、それ以外にも友愛数はあるだろうか。また、友愛数を求めるための何らかの規則性はあるだろうか。Ｌ．Ｅ．ディクソンの有名な著書「数論の歴史」によると、９世紀にアラビアのタービット・ベン・クッラが友愛数に関する次のような記録を残している。

「もし、ｈ＝３・２＾ｎ―１、ｔ＝３・２＾（ｎ―１）―１、ｓ＝９・２＾（２ｎ―１）―１がすべて素数ならば、２＾ｎ・ｈｔ　と　２＾ｎ・ｓ　は友愛数である。」

ここで、ｎ＝２とすると、ｈ＝１１，ｔ＝５、ｓ＝７１　となるから、

２＾ｎ・ｈｔ＝２２０　、２＾ｎ・ｓ＝２８４　となって、確かに友愛数220と284が得られる。

おそらくタービット・ベン・クッラ

は、古代ギリシャにおいて知られていた上の友愛数が、　　　　　　２２０＝２＾２・１１・５、２８４＝２＾２・７１の形で表されてることから、友愛数を求める規則性を見いだしたのであろう。彼の見いだした規則は、実は１７世紀になって、フランスのフェルマー（1601-1665）が見いだした方法と同じである。1636年のメルセンヌの言明によれば、フェルマーは　　２番目の友愛数としての17296と18416を発見したとのことである。そして、友愛数を得る一般的規則についてもメルセンヌあての手紙に書いている。

　上のように、等比数列２，４，８、…を作り（第２段目）、その３倍の数をその下段に書く。次に、その３倍した数から１を引いた数を第１段目に書く。最後に、６×１２−１，　　１２×２４−１、　　２４×４８−１　として得られる数、71,287,1151を最下段に書く。この一覧表において、最下段の数で素数になっているものに注目する。たとえば71は素数である。このとき、71の列の一番上の数（１１）とその直前の数（５）がともに素数であれば、７１×４＝２８４、　５×１１×４＝２２０　　として友愛数が求められる。上の一覧表における最下段の数で、71の次の287は素数でないからとばして、次の1151へ進む。これは素数であるから、同様に計算して、次のように２番目の友愛数が求められる。

１１５１×１６＝１８４１６　　、２３×４７×１６＝１７２９６

この方法が無限に続けられることは明らかである。フェルマーの方法を一般式で表現すれば、

もし、３×２＾ｎ―１、３×２＾(n-1)―１、９×２＾(2n-1)―１がすべて素数であれば、２つの数

２＾ｎ（３×２＾ｎ―１）×｛３×２＾(2n-1)―１）、２＾ｎ｛９×２＾(2n-1)―１｝は友愛数である。こうしてみると、フェルマーの方法は、タービット・ベン・クッラの示した方法と同じである。

　一方、フェルマーと同時代の哲学者・数学者であるデカルト（1596-1650）も友愛数を得る方法を１６３８年３月３１日付けのメルセンヌ宛の手紙の中に示している。それは、次のような方法である。

　まず２の任意のべきを作る。そして、次のようにして３つの数を作る。

�@　２のべきの３倍から１を引く。

�A　２のべきの６倍から１を引く。

3. ２のベキの平方の１８倍から１をひく。

　こうして作った３個の数がすべて素数ならば、最初に作った２のべきの２倍と最後に作られた素数（つまり、上の�B）との積が友愛数の片方になるとデカルトは述べているのである。

　最初の２のべきを２＾(n-1)とすると、３個の数はそれぞれ

�@　３×２＾(n-1)―１　　�A　３×２＾ｎ―１　　　　�B　　　９×２＾(2n-1)―１

となり、このとき、片方の友愛数は　２＾ｎ｛９×２＾(2n-1)―１｝　であるとされているから、結局フェルマーの方法と同値であることがわかる。

　ここに、最初のいくつかの友愛数を書いておきます。

（２２０，２８４）、（１１８４，１２１０），（２６２０，１９２４），（５０２０，５５６４）

（６２３２，６３６８），（１０７４４，１０８５６），（１２２８５，１４５９５）

（１７２９６，１８４１６），（６３０２０，７６０８４），…・

　今までに、友愛数を発見した歴史上の人物を書き添えておきます。友愛数は大きな数なので省きます。

１６３６年：フェルマー、１６３８年：デカルト、１７７０年、オイラー、１９４６年：スコット

１９７０年：コーヘン、１９８５年：リーレ、１９９３年のも新たに発見されている。

＜引用文献：１、数とその歴史５３話（上垣　渉、何森　仁）：三省堂＞

＜引用文献：２、素数の不思議（好田順治）：現代数学社＞

　　　皆さん、証明ができたら、ペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。