考え方：具体的にＭ＝１から１０までぐらい分割方法を考えて、まずは調べてみます。
自然数Ｍの分割した自然数の数列をａ(1)≦ａ(２)≦ａ(３)≦・・・≦ａ(ｎ)としても
一般性を失わない。（和の順序を問わない）
| Ｍ | 分割方法の数 | 積が最大となるｎ | 数列 ｛ ａ(1)，ａ(２)，・・・｝ |
| １ | １ | １ | ｛ １ ｝ 注：特別扱い |
| ２ | ２ | １ | ｛ ２ ｝ |
| ３ | ３ | １ | ｛ ３ ｝ |
| ４ | ５ | １ 、 ２ | ｛４｝ 、 ｛２ ，２｝ |
| ５ | ７ | ２ | ｛２，３｝ |
| ６ | １１ | ２ | ｛３，３｝ |
| ７ | １５ | ２ 、３ | ｛３，４｝、｛２，２，３｝ |
| ８ | ２２ | ３ | ｛２，３，３｝ |
| ９ | ３０ | ３ | ｛ ３，３，３｝ |
| １０ | ４２ | ３ 、 ４ | ｛３，３，４｝、｛２，２，３，３｝ |
| １１ | ？ | ４ | ｛ ２，３，３、３｝ |
| １２ | ？ | ４ | ｛ ３，３，３，３｝ |
＜研究材料＞
自然数Ｍの分割方法の数とその分割個数ｎは研究に値します。
以上から、次のことが予想されます。
（１）Ｍを３で割った剰余系で分類される。
（２）２≦ａ(ｉ)≦ ４ 注：Ｍ＝１のときは特別扱いとする。
（３）２個の２（２×２＝４）と１個の４は同じ積となる。
Ｍ＝４，７，１０、・・・・
（４）たかだか２個の ａ(ｉ)が２（または１個のａ(ｉ) が４）で、他は全て３ばかり
＜証明＞（２）
積 ａ(1)ａ(２)ａ(３)・・・ａ(ｎ) が最大となるように、ｎおよび ａ(1)、ａ(２)・・・、
ａ(ｎ) を決めたとき、
（@）ａ(1)＝１と仮定する。
このとき、数列 ａ(２)＋１，ａ(３) ，ａ(４)，・・・，ａ(ｎ) は
｛ａ(２)＋１｝＋ａ(３) ＋ａ(４)＋・・・＋ａ(ｎ)
＝ ａ(1)＋ａ(２)＋ａ(３) ＋ａ(４)＋・・・＋ａ(ｎ) ＝Ｍ
をみたし、ａ(２)＋１＞ａ(1)ａ(２)＝１・ａ(２)＝ ａ(２)
｛ａ(２)＋１｝・ａ(３)・……・ａ(ｎ) ＞ ａ(1)・ａ(２)・ａ(３)・……・ａ(ｎ)
よって、ａ(1)ａ(２)ａ(３)・・・ａ(ｎ) の最大性に矛盾する。
以上より、２≦ ａ(1)≦ａ(２)≦ａ(３)≦・・・≦ａ(ｎ)
（A）５≦ ａ(ｎ) と仮定する。
このとき、数列 ａ(1)，ａ(２)，ａ(３)，・・・，ａ(ｎ−１)，ａ(ｎ)−２，２は
ａ(1)＋ａ(２)＋ａ(３)＋・・・＋ａ(ｎ−１)＋｛ａ(ｎ)−２｝＋２
＝ ａ(1)＋ａ(２)＋ａ(３)＋・・・＋ａ(ｎ−１)＋ａ(ｎ)＝Ｍ
をみたし、｛ａ(ｎ)−２｝・２ ＝２ａ(ｎ) −４＝ａ(ｎ) ＋｛ ａ(ｎ)−４｝
＞ ａ(ｎ) ａ(1)・ａ(２)・ａ(３)・……・ａ(ｎ−１)・｛ａ(ｎ)−２｝・２
＞ ａ(1)ａ(２)ａ(３)・・・ａ(ｎ)
よって、ａ(1)ａ(２)ａ(３)・・・ａ(ｎ) の最大性に矛盾する。
したがって、 ａ(1)≦ａ(２)≦ａ(３)≦・・・≦ａ(ｎ)≦ ４
＜証明＞（３） 自明
＜証明＞（４）
ａ(1)＝ａ(２)＝ａ(３)＝２ と仮定すると、
このとき、数列 ３，３，ａ(４)，ａ(５)，・・・，ａ(ｎ) は
３＋３＋ａ(４)＋ａ(５)＋・・・＋ａ(ｎ)
＝２＋２＋２＋ａ(４)＋ａ(５)＋・・・＋ａ(ｎ) ＝Ｍ
をみたし、３×３＞２×２×２＝ ａ(1)ａ(２)ａ(３) より
３・３・ａ(４)・ａ(５)・……・ａ(ｎ) ＞ ａ(1)ａ(２)ａ(３)・・・ａ(ｎ)
これも、ａ(1)ａ(２)ａ(３)・・・ａ(ｎ) の最大性に矛盾する。
よって、２はたかだか２個、４は２と２に相当するので、ほかに２がないときに限り、
たかだか１個である。
そこで、
＜研究結果＞
以上のように、結果は“ほとんどのａ(ｉ)が３”ということになりました。３という値に意味が
あるのではないかと思い、ａ(1)，ａ(２)，ａ(３)，・・・，ａ(ｎ) を有理数まで、拡大します。
ｎを固定して、（相加平均）≧（相乗平均）を利用すると、
｛ａ(1)＋ａ(２)＋ａ(３)＋・・・＋ａ(ｎ)｝／ｎ
≧ ｛ａ(1)ａ(２)ａ(３)・・・ａ(ｎ)｝の正のｎ乗根 ＊記号でなく言葉でごめん
よって、 ａ(1)ａ(２)ａ(３)・・・ａ(ｎ)≦［｛ａ(1)＋ａ(２)＋ａ(３)＋・・・＋ａ(ｎ)｝／ｎ］＾ｎ
＝｛Ｍ／ｎ｝＾ｎ
ここで、 ａ(1)＝ａ(２)＝２、ａ(３)＝・・・＝ａ(ｎ)＝Ｍ／ｎ のとき、等号が成立
次ぎに、｛Ｍ／ｎ｝＾ｎ＝ｆ(ｎ) とおいて、ｆ(ｎ)の定義域を正の実数の範囲まで、
拡大します。
ｆ(ｘ)＝ ｛Ｍ／ｘ｝＾ｘ と直して、対数を取って、
Ｙ＝ｌｏｇｆ(ｘ)＝ｘ(ｌｏｇＭ−ｌｏｇｘ)
微分して、Ｙ’＝｛ｌｏｇｆ(ｘ)｝’＝ ｌｏｇＭ−ｌｏｇｘ−１＝ ｌｏｇ（Ｍ／ｘｅ）
さらに、ｆ(ｘ)と Ｙ＝ｌｏｇｆ(ｘ)の増減は一致するので、下の増減表を得る。
| ｘ | ０ | Ｍ／ｅ | ||
| ｛ｌｏｇｆ(ｘ)｝’ | ＋ | ０ | − | |
| ｌｏｇｆ(ｘ) | ↑ | 極大 | ↓ | |
| ｆ(ｘ) | ↑ | 極大 | ↓ |
よって、ｘ＝ Ｍ／ｅのとき、ｆ(ｘ)は最大値をとる。
このとき、Ｍ／ｘ＝ｅ 、そして、この実数ｘは、もともと自然数ｎだったから、
Ｍ／ｘ≒Ｍ／ｎ＝ａ(ｉ) （ｉ＝１，２，３，・・・，ｎ）
超越数ｅ＝２，７１８２８・・・ に最も近い整数が３ということです。
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