平成１１年５月９日
オイラーの公式を利用した微分・積分
＜水に流れ＞の授業編
オイラーの公式ｅ＾ｉｘ＝
cos x＋ｉsin x（ｉは虚数単位）を用いると、三角関数が指数関数に表現できます。
だから、三角関数の微積分は指数関数の微積分になるので、
ｅ＾ｘ・
sin xやｅ＾ｘ・cos xの形の微分、積分はオイラーの公式を用いると便利です。
そこで、基本的な考え方を紹介します。
連立方程式 ｅ＾
ix＝cos x＋ｉsin x…①ｅ＾
(－ix)＝cos x－ｉsin x…②を
sinｘ、 cos xについて、解くと、sin x={
ｅ＾ix－ｅ＾(－ix)}／２ｉ ，cos x={ｅ＾ix＋ｅ＾(－ix)}／２となりす。
このとき、虚数単位ｉを含む微積分では、ｉを通常の定数と同様に扱います。
途中分母の実数化をしてもできます。
（１） ここで、書いてみます。まず、積分からいきます。
∫ｅ＾
x (cos x＋ｉsin x)ｄｘ＝∫ｅ＾x・ｅ＾ixｄｘ＝∫ｅ＾
(1＋ｉ)xｄｘ＝ｅ＾(1＋ｉ)x／(1＋ｉ)＋Ｃ＝（
1－ｉ)／２・ｅ＾x・ｅ＾ix＋Ｃ＝（
1－ｉ)／２・ｅ＾x（cos x＋ｉsin x）＋Ｃ＝１／２・ｅ＾
x（cos x＋sin x）＋ｉ／２・ｅ＾x（sin x－cos x）＋Ｃ
ここで、実部と虚部を比較して、結果を得る。
∫ｅ＾
x ・cos xｄｘ＝１／２・ｅ＾x（cos x＋sin x）＋Ｃ∫ｅ＾
x ・sin xｄｘ＝１／２・ｅ＾x（sin x－cos x）＋Ｃ
（２） 次に、微分です。
ｆ
(ｘ) ＝ｅ＾x ・cos x 、 ｇ(ｘ)＝ｅ＾x ・sin x として、ｈ
(ｘ)＝ｅ＾x (cos x＋ｉsin x) とおくと、＝ｅ＾
x・ｅ＾ix＝ｅ＾
(1＋ｉ)x とかける。ｈ’
(ｘ)＝(1＋ｉ)・ｅ＾(1＋ｉ)x＝
(1＋ｉ)・ｅ＾x・ｅ＾ix＝
(1＋ｉ)・ｅ＾x(cos x＋ｉsin x)＝ｅ＾
x（cos x－sin x）＋ｉｅ＾x（cos x＋sin x）
ここで、実部と虚部を比較して、結果を得る。
ｆ’
(ｘ) ＝ｅ＾x（cos x－sin x） 、ｇ’(ｘ)＝ｅ＾x（cos x＋sin x）皆さん、こんな微積分があったら、オイラーの公式を使って解いてください。
高校の先生が答案をみて、どんなコメントを言われるか楽しみですね。