３次方程式の解法＜カルダノ・タルタリアの方法＞ 　

　　　　　　　＜水の流れ＞　授業編

３次方程式　Ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋Ｃｘ＋Ｄ＝０　（Ａ≠０）・・・�@ において、

　両辺をＡで割って，ｘ＾３＋ｐｘ＾２＋ｑｘ＋ｒ＝０　・・・�A　　　　とおく。

　次に、ｘ＝ｙ−ｐ/３ 　・・・　�B とおき、２次の項を消す。

　　ｙ＾３＋ａｙ＋ｂ＝０ ・・・　�C　　　の形にする。

［なぜなら、ｆ(ｘ)＝ｘ＾３＋ｐｘ＾２＋ｑｘ＋ｒとしたとき、

ｆ'(ｘ)=３ｘ＾２＋２ｐｘ＋ｑ，

ｆ'(ｘ)=６ｘ＋２ｐ＝０より、ｘ＝−ｐ/３　いわゆるｘをｐ/３ だけ、

　(ｕ＋ｖ)＾３ ＋ａ(ｕ＋ｖ) ＋ｂ＝０　　から

　（ｕ＾３＋ｖ＾３＋ｂ）＋（ｕ＋ｖ)（３ｕｖ＋ａ）＝０ ・・・�E　　となるから、

ｕ＾３＋ｖ＾３＝−ｂ

ｕｖ＝−ａ/33 ・・・�F 　を満たすｕ，ｖ　を求めることにする。

　　ｕ＾３・ｖ＾３　 ＝(−ａ＾３/２７) 　・・・�G　として、 ｕ＾３とｖ＾３ は２次方程式

　 ｔ＾２＋ｂｔ−ａ＾３/２７＝０　　・・・�H　を解いてでてくる。

　また、その１組を（ｕ，ｖ）とすると、当然（ｕω，ｖω＾２），（ｕω＾２，ｖω ）

ただし、 ω、ω＾２ は１の立方解で虚数解を表す。

　　よって、ｘ＝ｕ＋ｖ−ｐ/３＝α （実数解）

　　　　　　ｘ＝ｕω＋ｖω＾２−ｐ/３＝β （虚数解）

　　　　　　ｘ＝ｕω＾２＋ｖω−ｐ/３＝γ （虚数解）

それでは、トリボナッチ数列の特性方程式　ｘ＾３−ｘ＾２−ｘ−１＝０　

ｆ(ｘ)＝ｘ＾３−ｘ＾２−ｘ−１　とおいて、

ｆ’(ｘ)＝３ｘ＾２−２ｘ−１ ,

次に、ｘ＝ｙ+１/３ とおき、２次の項を消す。

(ｙ+１/３)＾３ −(ｙ+１/３)＾２ −(ｙ+１/３) −１＝０

∴　ｙ＾３−４/３ｙ−(３８/２７)＝０

(ｕ＋ｖ)＾３−４/３ (ｕ＋ｖ)−(３８/２７) ＝０　　から

　｛ｕ＾３＋ｖ＾３−(３８/２７)｝＋（ｕ＋ｖ)（３ｕｖ−４/３）＝０ ・・・

ｕ＾３＋ｖ＾３＝(３８/２７)

ここで、ｕ＾３・ｖ＾３ ＝(６４/７２９) として、 ｕ＾３とｖ＾３ は２次方程式

　 ｔ＾２−(３８/２７)ｔ＋(６４/７２９)＝０　

∴ ７２９ｔ＾２−１０２６ｔ＋６４＝０

また、判別式をＤとすると、Ｄ/４＝(５１３)＾２ −７２９×６４

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２１６５１３＝(８１)＾２ ×３３

ｕ＝３√（１９＋３√３３）／３、ｖ＝ ３√（１９−３√３３）／３

ｘ＝ ３√（１９＋３√３３）／３＋ ３√（１９−３√３３）／３＋１／３

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　・・・実数解

ｘ＝ω ３√（１９＋３√３３）／３＋ω＾２ ３√（１９−３√３３）／３＋１／３

ｘ＝ω＾２ ３√（１９＋３√３３）／３＋ω ３√（１９−３√３３）／３＋１／３

　ここで、３√（１９＋３√３３）は（１９＋３√３３）の３乗根を表します。

すなわち、３√　は　３乗根の記号です。