平成１５年１月６日
２つの自然数についての数学的帰納法
＜水の流れ＞ 授業編
２つの自然数ｍ、ｎについての数学的帰納法を紹介します。
２つの自然数ｍ、ｎについての命題Ｐ(ｍ、ｎ)について、
【Ⅰ】命題Ｐ(１，ｎ)は、常に正しい。
【Ⅱ】命題Ｐ(ｍ、１)は、常に正しい。
【Ⅲ】命題Ｐ(ｍ、ｎ＋１)、Ｐ(ｍ＋１，ｎ)が、ともに正しいとき、命題Ｐ(ｍ＋１，ｎ＋１)も正しい。
ならば、すべての自然数ｍ、ｎに対して、命題Ｐ(ｍ＋１，ｎ＋１)は正しい。
＜平面上で、格子点を考えてください。この証明方法が理解し易いです＞
例えば、「ｎ個の連続した自然数の積は、ｎ！で割る切れることを示せ。」
＜証明＞ ｎ個の連続した自然数の積を
Ｐ(ｍ、ｎ)＝ｍ(ｍ＋１)(ｍ＋２)・・・(ｍ＋ｎ－１)とおく。
【Ⅰ】 ｍ＝１のとき、
Ｐ(１，ｎ)＝１・２・３・ ・・・ ・ｎ＝ｎ！ となり、明らかに、ｎ！の倍数である。
【Ⅱ】 ｎ＝１のとき、 Ｐ(ｍ、１)＝ｍ となり、明らかに、１！の倍数である。
【Ⅲ】Ｐ(ｍ、ｎ＋１)は、(ｎ＋１)！の倍数、Ｐ(ｍ＋１，ｎ)は、ｎ！の倍数 であると、２つ仮定する
ここで、 Ｐ(ｍ＋１，ｎ＋１)を考えると、
Ｐ(ｍ＋１，ｎ＋１)＝(ｍ＋１)(ｍ＋２)・・・(ｍ＋ｎ){ｍ＋(ｎ＋１)}
＝ｍ(ｍ＋１)(ｍ＋２)・・・(ｍ＋ｎ)
＋(ｍ＋１)(ｍ＋２)・・・(ｍ＋ｎ)(ｎ＋１)
＝Ｐ(ｍ,ｎ＋１)＋Ｐ(ｍ＋１，ｎ)(ｎ＋１)
これは、明らかに、(ｎ＋１)！の倍数であることを示している。
以上から、すべての自然数ｍ、ｎについてＰ(ｍ、ｎ)はｎ！の倍数であることが証明された。