14:39:32
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Ａ犬 |
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Ｂ犬 |
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Ｄ犬 |
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Ｃ犬 |
「プー太」さんの解答 受信 平成１１年４月２１日
数の不思議Ｐａｒｔ３
問題「１」＜４匹の犬のおいかけっこ＞
の解答をおおくりします。
解答
まず、ＡがＢを追いかけ、ＢがＣを追いかけ、ＣがＤを追いかけ、
ＤがＡを追いかけるということから、４匹の犬は全く対称的な動きをします。
すると、ある時点の犬のいる場所を結ぶと、正方形になります。
つまり、例えばＡにとってＢを眺めると、Ａの進む向きとは垂直に、
Ｂは動いていくことになります。Ｂは、Ａから逃げも近づきもしないのです。
したがって、例えばＡはＢにおいつくまでに、５０ｍはしることになります。
＜コメント：水の流れ＞（Ｈ１１年４月２１日）
正解です。私が初めてこの問題に出会ったのは、テレビの平成教育委員会で
ピーターフランクルが出題ときです。もう何年経っているでしょう
＜感想：「プー太」さん＞
昔、この問題をみたことがあります。
犬の動く曲線を求めましたが、今は忘れました。
確か、何とからせんだったような。
また、局座標表示のほうが簡単に表示できたような？
しかし、同じ事を三角形（基本図形という意味）でやらせてみると
面白いでしょうね。
途中で、まずは、２匹がくっつき、最後に３匹がくっつくと。
シミュレーションしてもおもしろいし、動く経路の研究、
最後に追いつく点の研究してもおもしろいし。
ああ、ぼくはプログラムは苦手なので、だれかシミュレーションプログラム
をつくってくれないかなー？
＜コメント：水の流れ＞（Ｈ１１年４月２１日）
実は、この問題は私のＨＰで石川県金沢市立高岡中学校の「数学の部屋」
を見て下さい。昨年「ミサイルの問題？」として、投稿しておきました。
そこで、解答を頂いています。立ち寄ってみてください。
また、シミュレーションもできています。
＜やぎ＞さんからの解答 Ｈ12年11月23日 受信 同日更新
＜水の流れ＞ 読者の方は実にありがたいです。これからもよろしくお願いします。
４匹の犬の追いかけっこの問題の解答
最初に□A1B１C1D1いた４匹の犬が□A2B2C2D2,□A3B3C3D3------------と移動していく。
それぞれの四角形の辺をL1,L2,L３--------0、とする。
また、犬の移動距離をX1,X2,X3-------0、とする。
ｉ＝1,2,3----として
Ｘｉ＜＜Ｌｉ とすれば
L1−Ｌ２＝Ｘ１
Ｌ２−Ｌ３＝Ｘ２
Ｌ３−Ｌ４＝Ｘ３
----------
Ln−Ｌ(n+1)＝Ｘｎ が成立する。
∴Ｘ1＋Ｘ２＋Ｘ３＋--------＋Ｘｎ＝L1−L(n+1)
n＝―――＞無限 とすれば 左辺は犬の移動した距離の合計
右辺はＬ１となる。
∴ 各犬の移動距離は50メートルとなる。
＜やぎ＞さんからの解答追加 Ｈ12年11月25日 受信 同日更新
犬の追いかけっこの問題
解答の追加
犬の追いかけっこの問題で４匹の犬がどのような軌跡をたどるか気になるところです。
犬が正方形の中心に対して左にまわる角度をA,,中心からの距離をｒ（ａ）とすると
−ｄｒ（ａ）／ｄａ＝ｒ（ａ） という微分方程式が成立します。
この式の解は ｋ＝ｓｑｒ（2）とおくと
ｒ（ａ）＝（Ｌ/ｋ）ｅｘｐ（−ａ） となります。
ただし ａ：ラジアン Ｌ： 正方形の辺の長さ
奇数なら・・・３倍して１を加える
という操作を繰り返してください。何か規則性が見つかりませんか？
「浜田 明巳」さんの解答 受信 平成１１年４月３０日
規則性の発見問題解答
去年の問題ですが，ＱＢＡＳＩＣのプログラム421.qbを作成し求めました．内容は次の通りです．
数ｊを１から１００００００（max）まで発生させ，偶数なら半分に，奇数なら３倍して１を加え，
さらに同様な操作を繰り返します．すると必ず４，２，１のループに入り込むことが分かります．
プログラムでは１になった時点で計算を終わりにして，１秒後に次のｊに進むようにしています．
時間がかかりますので，飽きたときには何かキーを押せば終わりになるようにしました．
ちなみに，私はこの問題（COLLATZの問題）のプログラムを数年前ある雑誌に投稿し，同じ結論を出しています．
そのときのプログラムはＮ８８日本語ＢＡＳＩＣでつくりました。
浜田 明巳
'421.qb
CLS
DEFDBL J, M-N
max = 1000000
iro1 = 2
iro2 = 6
j = 1
WHILE j <= max AND INKEY$ = ""
n = j
IF n < 3 OR n = 4 THEN
COLOR iro2
ELSE
COLOR iro1
END IF
PRINT n;
COLOR 7
WHILE n > 1
IF 2 * INT(n * .5) = n THEN
n = n * .5
ELSE
n = 3 * n + 1
END IF
IF n < 3 OR n = 4 THEN
COLOR iro2
END IF
PRINT n;
COLOR 7
WEND
t$ = TIME$
WHILE t$ = TIME$
WEND
j = j + 1
WEND
WHILE INKEY$ <> ""
WEND
END
＜コメント：水の流れ＞（Ｈ１１年５月３日）
ご指摘のようにCOLLATZの問題、日本では角谷予想問題といいます。
１つの未解決問題だそうです。詳しくは、後で知ったのですが、このサイトに載っていました。
三島 久典 さん のＨＰ です。
http://www.asahi-net.or.jp/KC2H-MSM/mathland/math07/index.html
<COLLATZの予想＞
よろしければ、立ち寄ってみてください。
「浜田 明巳」さんの解答 受信 平成１１年４月３０日
規則性の発見問題（７６４１）解答
去年の問題ですが，ＱＢＡＳＩＣのプログラム7641.QB，7641_2.QBを作成し求めました．
内容は次の通りです．
まず第一段階として，９９９８から１０００までの数字（各桁は最高位から大きい順に並べてある）の中で，
この操作を１回施しても値の変わらない数字を求めます．プログラム7641.QBによって，
その数字とは７６４１ただ一つだということが分かります．
第二段階として，プログラム7641_2.QBによって，９９９８から１０００までのすべての数が，
この操作を何回か施すと７６４１になることを示します．
ちなみにこの話題は，数学セミナー８７年１月号にて神奈川大学広瀬貞樹先生が記事「７６４１の不思議」にて
指摘されています．
そこでは，
「４桁の整数（ただし，各桁の数がすべて同じ数，３３３３，９９９９等は除く）の各桁の数を大きい順に
並べかえてできる数から，小さい順に並べかえてできる数をひく．
その結果得られた数に，さらに同様な操作を繰り返して適用する．すると，いつかは７６４１になる．
同様な事が２桁，３桁，５〜９桁の数について，成立する．
ただし３桁の場合も，１つの数字９５４に行き着くが，他の桁の場合は，いくつかのループに分かれる．
例えば２桁の場合，
５４→９０→８１→６３→７２→５４ のループに入る．
５桁の場合，３個のループに分かれる．」
となっていました．広瀬先生は，計算機を使ってこの結果を得られた，としていました．
浜田 明巳
'7641.QB
CLS : DIM A(4), B(4)
FOR J1 = 9 TO 1 STEP -1: A(1) = J1
FOR J2 = J1 TO 0 STEP -1: A(2) = J2
FOR J3 = J2 TO 0 STEP -1: A(3) = J3
FOR J4 = J3 TO 0 STEP -1
IF J1 <> J2 OR J2 <> J3 OR J3 <> J4 THEN
A(4) = J4: AA = 0: AAA = 1: BB = 0
FOR J5 = 1 TO 4
AA = AA + AAA * A(5 - J5): BB = BB + AAA * A(J5): AAA = 10 * AAA
NEXT
SA = AA - BB: BB = 0: BBB = 1
FOR J5 = 1 TO 4: B(5 - J5) = (INT(SA / BBB)) MOD 10: BBB = 10 * BBB
NEXT
FOR J5 = 1 TO 3: FOR J6 = J5 + 1 TO 4
IF B(J5) < B(J6) THEN SWAP B(J5), B(J6)
NEXT: NEXT
BB = 0: BBB = 1
FOR J5 = 1 TO 4: BB = BB + BBB * B(5 - J5): BBB = 10 * BBB: NEXT
IF AA = BB THEN PRINT AA
END IF
NEXT: NEXT: NEXT: NEXT: END
'7641_2.QB
CLS : DIM A(4), B(4): KOTAE = 7641: IRO1 = 2: IRO2 = 6: I$ = ""
J1 = 9
WHILE J1 >= 1 AND I$ = "": A(1) = J1: J2 = J1
WHILE J2 >= 0 AND I$ = "": A(2) = J2: J3 = J2
WHILE J3 >= 0 AND I$ = "": A(3) = J3: J4 = J3
WHILE J4 >= 0 AND I$ = "": I$ = INKEY$
IF J1 <> J2 OR J2 <> J3 OR J3 <> J4 THEN
A(4) = J4: AA = 0: AAA = 1
FOR J5 = 1 TO 4
AA = AA + AAA * A(5 - J5): AAA = 10 * AAA: B(J5) = A(J5)
NEXT
COLOR IRO1: PRINT AA; : COLOR 7
BB = AA
WHILE BB <> KOTAE
BB = 0: BBB = 1
FOR J5 = 1 TO 4: BB = BB + BBB * B(J5): BBB = 10 * BBB: NEXT
SA = AA - BB
BB = 0: BBB = 1
FOR J5 = 1 TO 4: B(5 - J5) = (INT(SA / BBB)) MOD 10: BBB = 10 * BBB
NEXT
FOR J5 = 1 TO 3: FOR J6 = J5 + 1 TO 4
IF B(J5) < B(J6) THEN SWAP B(J5), B(J6)
NEXT: NEXT
BB = 0: BBB = 1
FOR J5 = 1 TO 4: BB = BB + BBB * B(5 - J5): BBB = 10 * BBB: NEXT
IF BB = KOTAE THEN COLOR IRO2
PRINT BB; : COLOR 7
AA = BB
WEND: PRINT
T$ = TIME$: WHILE T$ = TIME$: WEND
END IF
J4 = J4 - 1
WEND
J3 = J3 - 1
WEND
J2 = J2 - 1
WEND
J1 = J1 - 1
WEND: WHILE INKEY$ <> "": WEND: END
'954.QB
CLS : DIM A(3), B(3)
FOR J1 = 9 TO 1 STEP -1: A(1) = J1
FOR J2 = J1 TO 0 STEP -1: A(2) = J2
FOR J3 = J2 TO 0 STEP -1
IF J1 <> J2 OR J2 <> J3 THEN
A(3) = J3: AA = 0: AAA = 1: BB = 0
FOR J4 = 1 TO 3
AA = AA + AAA * A(4 - J4): BB = BB + AAA * A(J4): AAA = 10 * AAA
NEXT
SA = AA - BB: BB = 0: BBB = 1
FOR J4 = 1 TO 3: B(4 - J4) = (INT(SA / BBB)) MOD 10: BBB = 10 * BBB
NEXT
FOR J4 = 1 TO 2: FOR J5 = J4 + 1 TO 3
IF B(J4) < B(J5) THEN SWAP B(J4), B(J5)
NEXT: NEXT
BB = 0: BBB = 1
FOR J4 = 1 TO 3: BB = BB + BBB * B(4 - J4): BBB = 10 * BBB
NEXT
IF AA = BB THEN PRINT AA
END IF
NEXT: NEXT: NEXT: END
'954_2.QB
CLS : DIM A(3), B(3): KOTAE = 954: IRO1 = 2: IRO2 = 6: I$ = ""
J1 = 9
WHILE J1 >= 1 AND I$ = "": A(1) = J1: J2 = J1
WHILE J2 >= 0 AND I$ = "": A(2) = J2: J3 = J2
WHILE J3 >= 0 AND I$ = "": I$ = INKEY$
IF J1 <> J2 OR J2 <> J3 THEN
A(3) = J3: AA = 0: AAA = 1
FOR J4 = 1 TO 3
AA = AA + AAA * A(4 - J4): AAA = 10 * AAA: B(J4) = A(J4)
NEXT
COLOR IRO1: PRINT AA; : COLOR 7
BB = AA
WHILE BB <> KOTAE
BB = 0: BBB = 1
FOR J4 = 1 TO 3: BB = BB + BBB * B(J4): BBB = 10 * BBB: NEXT
SA = AA - BB
BB = 0: BBB = 1
FOR J4 = 1 TO 3: B(4 - J4) = (INT(SA / BBB)) MOD 10: BBB = 10 * BBB
NEXT
FOR J4 = 1 TO 2: FOR J5 = J4 + 1 TO 3
IF B(J4) < B(J5) THEN SWAP B(J4), B(J5)
NEXT: NEXT
BB = 0: BBB = 1
FOR J4 = 1 TO 3: BB = BB + BBB * B(4 - J4): BBB = 10 * BBB: NEXT
IF BB = KOTAE THEN COLOR IRO2
PRINT BB; : COLOR 7
AA = BB
WEND: PRINT
T$ = TIME$: WHILE T$ = TIME$: WEND
END IF
J3 = J3 - 1
WEND
J2 = J2 - 1
WEND
J1 = J1 - 1
WEND: WHILE INKEY$ <> "": WEND: END
＜水の流れ：コメント＞（Ｈ１１年５月３日）
規則性の発見問題（７６４１）解答
この数字ですが、６１７４と言いまして、カプリカ数＜インドの数学者カプリカが発見＞ と言います
また、ご指摘のように、
「１」２桁の場合、５４→９０→８１→６３→７２→５４ のループに入る
「２」３桁の場合、４９５ になります。最大６回で到着します。＜証明は可能です＞
「３」４桁の場合、６１７４（７６４１）になります。
「４」５桁の場合、次の３つのどれかの巡回になります。
＜参考文献：秋山仁の数学渡世（朝日新聞社）＞
上の本の中にある問題を参考にして作りました。
皆さん！！ どしどし解答を送ってください。