平成１４年７月２０日
[流れ星]
第101回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：７月１日〜７月２０日＞
［円を分割］
太郎さんは、「数学A」の教科書で次のような問題をよく見かけます。
問題１：平面上にｎ本の直線があり、どの2本も平行でなく、また、どの3本も同一の点を通らないものとする。
このとき、これらのｎ本の直線によって平面がａｎ個の領域に分けられたとすると、
（１）数列｛ａｎ ｝において、最初の6項を求めてください。
（２）数列｛ａｎ ｝において、一般項ａｎ をｎの式で表してください。
さて、同じようなことを円の中で考えてみることに気がつきました。
問題２：円周上にｎ個の点があり、そのすべての組み合わせが線で結ばれています。ただし、内部の点で3本以上の線が交差しないように、その点が結ばれているものとする。このとき、これらの直線によって、円の内部がｂｎ個の領域に分けられたとすると、
（１）数列｛ｂｎ ｝において、最初の6項を求めてください。
（２）数列｛ｂｎ ｝において、一般項ａｎ をｎの式で表してください。
＊ 太郎さんは、まだ、この答えを知っていません。
ＮＯ１＜Ｈ７Ｋ＞さんの解答１回目 6月30日 13：57受信 更新7月20日
1.
a_1=2,a_2=4,a_3=7,a_4=11
より、a_n=n(n+1)/2+1
よって、a_5=16,a_6=22
2.
b_1=1,b_2=2,b_3=4,b_4=8である。
b_5=5+11=16
b_6=6+25=31
となる。
(2) なんかb_6はa_9と関係有りそう...
ＮＯ２＜Ｈ７Ｋ＞さんの解答２回目 7月02日 18：47受信 更新7月20日
2(2)c_n+n=b_nとしてc_nを定義すると
c_n=c_{n-1}+(n-2)+(n-3)+(n-4)*2+(n-5)*3+....+2*(n-2)+(n-3)
=c_{n-1}+(n-2)+sum^{n-3}_{k=1}(n-2-k)k
=c_{n-1}+(n-2)+sum^{n-3}_{k=1}\{(n-2)k-k^2}
=c_{n-1}+(n-2)+(n-2)^2(n-3)/2-(n-3)(n-2)(2n-5)/6
=c_{n-1}+(n-2){1+(n-2)(n-3)/2-(n-3)(2n-5)/6}
が成立する。
(横切った線の本数などより。)
よって、
b_n=b_{n-1}+1+(n-2)\{1+(n-2)(n-3)/2-(n-3)(2n-5)/6\}(=n^3/6-n^2+17/6*n-2)
b_1=1なので
b_m=1+sum^{m}_{k=1}(b_k-b_{k-1})
=1+sum^{m}_{k=1}(k^3/6-k^2+17/6*k-2)
=1-2m+17/12*m(m+1)-m(m+1)(2m+1)/6+1/6*(m^4/4+m^3/2+m^2/4)
=1/24*m^4-1/4*m^3+23/24*m^2-3/4*m+1
なお、ちなみに
d_n=(b_{n+2}-b_{n+1})-(b_{n+1}-b_n)
=n{1+n(n-1)/2-(n-1)(2n-1)/6\}-(n-1)\{1+(n-1)(n-2)/2-(n-2)(2n-3)/6}
=...
=1+n(n-1)/2}
ＮＯ３＜遊楽街＞さんの解答 6月30日 18：43受信 更新7月20日
「円を分割」 で、dvi形式(TeXの出力形式)、pdf形式、gif形式を用意してあります。ご覧ください。凄いレポートですよ。
ＮＯ４＜kashiwagi＞さんの解答
6月30日 19：12受信 更新7月20日
問題１．(1)
参考に示されている図を使用し、更に線の数を増やしていくと以下の結果を得る。
|
an |
領域数 |
階差 |
|
a1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
a2 |
4 |
|
|
|
|
3 |
|
a3 |
7 |
|
|
|
|
4 |
|
a4 |
11 |
|
|
|
|
5 |
|
a5 |
16 |
|
|
|
|
6 |
|
a6 |
22 |
|
(2)上記結果より階差数列は初項２、差が１の等差数列であるから計算すると、
an＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２ となる。
問題２．(1)
問題１と同様にして、参考図を利用し、更に円周上の点を増やしていくと、以下の結果を得る。
|
bn |
|
階差ｃn |
|
階差dn |
|
階差en |
|
|
b1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
1 |
|
|
|
|
|
b2 |
2 |
|
|
d1 |
1 |
|
|
|
|
|
c2 |
2 |
|
|
e1 |
1 |
|
b3 |
4 |
|
|
d2 |
2 |
|
|
|
|
|
c3 |
4 |
|
|
e2 |
2 |
|
b4 |
8 |
|
|
d3 |
4 |
|
|
|
|
|
c4 |
8 |
|
|
e3 |
3 |
|
b5 |
16 |
|
|
d4 |
7 |
|
|
|
|
|
c5 |
15 |
|
|
e4 |
4 |
|
b6 |
31 |
|
|
d5 |
11 |
|
|
|
|
|
c6 |
26 |
|
|
e5 |
5 |
|
b7 |
57 |
|
|
d6 |
16 |
|
|
|
|
|
c7 |
42 |
|
|
e6 |
6 |
|
b8 |
99 |
|
|
d7 |
22 |
|
|
|
|
|
c8 |
64 |
|
|
|
|
|
b9 |
163 |
|
|
|
|
|
|
(2)因って、３回階差数列を計算すれば良い。結果を以下に示す。
dn = (n^2−n＋2)／2
cn = n(n^2−3n＋8) ／2
bn = ｛n(n−1)(n^2−5n＋18)
＋24｝／24
ＮＯ５＜やぎ＞さんの解答１回目 7月01日 01：37受信 更新7月20日
問題のBnの一般項のみ解答します。
Bn＝（ｎ＾４−６ｎ＾3+23ｎ＾2-18ｎ+24）/24
ＮＯ６＜やぎ＞さんの解答類題 7月02日 03：15受信 更新7月20日
第１０１回の問題２の類題
N角形にすべての対角線を引くとN角形は対角線でいくつの部分に分けられるか。
ただしN角形は凸型とし、３本以上の対角線がN角形の内部で交叉しないものとする。
解答をCnとすればCn＝Bn-Nなので
Cn=(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24 となる。
C3=1：C4=４：C5=11:C6=25 ------
ＮＯ７＜やぎ＞さんの解答２回目 7月06日 05：54受信 更新7月20日
第 101回 問題２ 解答
各頂点を結ぶ時に分割されて新しく出来る部分の数
７角形の場合を表に示したが最初に円として一つの区域があるので全体として(1+56)=57となる。
左の図はP3の頂点から3本目の対角線を引いたところまでを図示している。この時新しくできた
部分が５個であるので表のP3のところ左から3番目が５となっている。
これをｎ角形に拡張すると
