平成１４年８月３１日
[流れ星]
第10３回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：８月１１日～８月３１日＞
［ネイピアの不等式］
太郎さんは、数学Ⅲで、次のような不等式を扱ったことがあります。先日、参考書を眺めていたら、この不等式が「ネイピアの不等式」と呼ばれていることを知りました。
そこで、皆さんに、証明を次の３つの考え方で証明をしてください。
証明１：平均値の定理を用いて
証明２：微分を利用して
証明３：積分を利用して
ＮＯ１「H7K」さん
8/11：9時57分と23時19分受信 更新8/31
<平均値の定理を用いた解法>
ln xはx>0で連続なので，ラグランジュの平均値の定理より
(ln b-ln a)/(b-a)=(ln x)'=1/x , a<x<bなるxが存在．
よって，明らかに1/b<1/x=(ln b-ln
a)/b-a<1/a．//
平均値の定理は知らなかったので、さっきネットで検索しました．
<微分を用いた解法>
p>1ならば 1/p<(ln p)/(p-1)<1を示せばよい．
(ln p)'=1/p,((p-1)/p)'=1/p^2,(p-1)'=1より
((p-1)/p)'<(ln p)'<(p-1)'，
またp=1のとき，0=(p-1)/p=ln p=p-1が成立するので
任意のp>1について(p-1)/p<ln p<p-1
よって，1/p<(ln p)/(p-1)<1. //
＜水の流れ：コメント＞接線の傾きを利用してもらいたいなあー。
ln xのx=bにおける傾きは1/b
x=aにおける傾きは1/a
x=a->bへの平均の傾きは(ln
b-ln a)/(b-a)
(ln x)'=1/xは単調減少なので、1/a>(ln
b-ln a)/(b-a)>1/b.//
＜水の流れ：コメント＞積分は、ある図形の面積に着目してもらいたい。
int[x=1..p]
1/x dx=ln p
int[x=1..p] 1 dx=p-1
int[x=1..p] 1/x^2 dx=[-1/x]^p_1=1-1/p
で，任意のx>1について，1>1/x>1/x^2なので，1/p<(ln
p)/(p-1)<1.//
ＮＯ２「KASHIWAGI」さん 8/11：20時37分受信 更新8/31
ＮＯ３「スモークマン」さん 8/16：16時50分受信 更新8/31
証明3：積分を利用して
y=1/x で、0<a<b のとき、(b-a)*1/b <∫1/x dx <
(b-a)*1/a
だから、1/b < (log b - log a)/(b-a) < 1/a
証明1+2：微分と平均値の定理を利用して
y=log x の、微分は、y=1/x だから、またいずれも0<x で
連続なので、平均値の定理より題意は明らか。
ＮＯ４「BossF (^o^)」さん 8/19：16時13分受信 更新8/31
ネイピアの不等式…このネイピアの由来は、なんでしょうか?
閑話休題
とりあえず、対数の底はネイピア数として考え
以下a,b は 0<a<b を満たすものとします。
証明１：平均値の定理を用いて
[解]
ｆ(x)=lon x とおくと、
ｆ(x) は [a,b] で連続、かつ (a,b) で微分可能ですから
平均値の定理より
任意のc ; a<c<b かつ {ｆ(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c) (=1/c)
また、y=1/x の単調性から 1/b<1/c<1/a
よって題意は示されました ■
証明２：微分を利用して
[解]
b-a>0 より
与式と同値
1-a/b<lon(b/a)<b/a-1
まず、左辺<中辺 を示します
f(x)=lon x + 1/x -1 (x>0) とおくと
f'(x)=1/x - 1/x^2
=(x-1)/x^2
したがって、
f(1)=0,x>1でｆ'(x)>0 ですから
x>1 で f(x)>0 i.e. 左辺<中辺
次に、中辺<右辺 を示します
f(x)=x-1-lon x (x>0) とおくと
f'(x)=1 - 1/x
=(x-1)/x
したがって、
f(1)=0,x>1でｆ'(x)>0 ですから
x>1 で f(x)>0 i.e. 中辺<右辺
よって題意は示されました■
証明３：積分を利用して
[解]
f(x)=1/x としますと、その単調性より
[a,b] で 1/b＜ f(x) ＜1/a ですから、
∫(a,b)1/bdx <∫(a,b)f(x)dx <∫(a,b)1/adx
同値 (b-a)/b<lon b -lon a
<(b-a)/a
同値 与式
よって題意は示されました ■
ＮＯ５「浜田」さん 8/22：08時13分受信 更新8/31
証明１（平均値の定理利用）
ｆ(ｘ)＝logｘ（ｘ＞０）とする．
ｆ(ｘ)はｘ＞０で微分可能であるから，平均値の定理より，
ｆ'(ｃ)＝{ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}／(ｂ－ａ)（０＜ａ＜ｃ＜ｂ）
となるｃが存在する．
ｆ'(ｘ)＝１／ｘであるから，
１／ｃ＝(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)
０＜ａ＜ｃ＜ｂであるから，
１／ｂ＜１／ｃ＜１／ａ
ゆえに １／ｂ＜(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)＜１／ａ
証明２（微分利用）
１／ｂ＜(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)，ｂ－ａ＞０
から，
(ｂ－ａ)／ｂ＜logｂ－logａ
ゆえに １－ａ／ｂ＜log(ｂ／ａ)
ｘ＝ｂ／ａ＞１とすると，
１－１／ｘ＜logｘ
ゆえに logｘ－(１－１／ｘ)＞０
故に，ｆ(ｘ)＝logｘ－(１－１／ｘ)＝logｘ－１＋１／ｘとすると，ｆ(ｘ)＞０を証明すればよい．
ｆ'(ｘ)＝１／ｘ－１／ｘ^2＝(ｘ－１)／ｘ^2＞０（なぜなら ｘ＞１）
故にｆ(ｘ)は単調増加関数である．ｘ＞１であるから，
ｆ(ｘ)＞ｆ(１)＝０
ゆえに １／ｂ＜(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)………(1)
次に，
(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)＜１／ａ，ｂ－ａ＞０
から，
logｂ－logａ＜(ｂ－ａ)／ａ
ゆえに log(ｂ／ａ)＜ｂ／ａ－１
ｘ＝ｂ／ａ＞１とすると，
logｘ＜ｘ－１
ゆえに (ｘ－１)－logｘ＞０
故に，ｇ(ｘ)＝(ｘ－１)－logｘとすると，ｇ(ｘ)＞０を証明すればよい．
ｇ'(ｘ)＝１－１／ｘ＝(ｘ－１)／ｘ＞０（なぜなら ｘ＞１）
故にｇ(ｘ)は単調増加関数である．ｘ＞１であるから，
ｇ(ｘ)＞ｇ(１)＝０
ゆえに (logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)＜１／ａ………(2)
(1)，(2)から，
１／ｂ＜(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)＜１／ａ
証明３（積分利用）
曲線ｙ＝１／ｘ，直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ，ｘ軸で囲まれた部分を図形Ｓとする．
図から，
長方形ＥＢＣＦ＜図形Ｓ＜長方形ＡＢＣＤ
ゆえに １／ｂ×(ｂ－ａ)＜∫(a,b)ｄｘ／ｘ＜１／ａ×(ｂ－ａ)
ゆえに １／ｂ×(ｂ－ａ)＜[logｘ](a,b)＜１／ａ×(ｂ－ａ)
ゆえに １／ｂ×(ｂ－ａ)＜logｂ－logａ＜１／ａ×(ｂ－ａ)
ｂ－ａ＞０であるから，
１／ｂ＜(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)＜１／ａ
補足
ａ＞０，ｂ＞０，ａ≠ｂとする．
１／ｂ＜(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)とすると，
１). ｂ－ａ＞０のとき，(ｂ－ａ)／ｂ＜logｂ－logａ
ゆえに １－ａ／ｂ＜log(ｂ／ａ)
ｘ＝ｂ／ａ＞１とすると，１－１／ｘ＜logｘ
図１から，これは常に成立する．
２). ｂ－ａ＜０のとき，(ｂ－ａ)／ｂ＞logｂ－logａ
ゆえに １－ａ／ｂ＞log(ｂ／ａ)
０＜ｘ＝ｂ／ａ＜１とすると，１－１／ｘ＞logｘ
図２から，これは矛盾する．
ゆえに １／ｂ＜(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ) → ａ＜ｂ
(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)＜１／ａとすると，
３). ｂ－ａ＞０のとき，logｂ－logａ＜(ｂ－ａ)／ａ
ゆえに log(ｂ／ａ)＜ｂ／ａ－１
ｘ＝ｂ／ａ＞１とすると，logｘ＜ｘ－１
図３から，これは常に成立する．
４). ｂ－ａ＜０のとき，logｂ－logａ＞(ｂ－ａ)／ａ
lゆえに og(ｂ／ａ)＞ｂ／ａ－１
０＜ｘ＝ｂ／ａ＜１とすると，logｘ＞ｘ－１
図４から，これは矛盾する．
ゆえに (logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)＜１／ａ → ａ＜ｂ
今までの結果と，問題の証明から，ａ＞０，ｂ＞０，ａ≠ｂのとき，
ａ＜ｂ
←→ １／ｂ＜(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)
←→ (logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)＜１／ａ
→だけでなく，←も成り立つとは，興味深い不等式である．しかもバラバラに成り立っている．
このことがらは，グラフ表示ソフトＧＲＡＰＥＳにて，
１／ｂ＜(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)
(logｂ－logａ)／(ｂ－ａ)＜１／ａ
の領域を表示させたとき，共に０＜ａ＜ｂと同じになっていることに気付き，証明したものである．
