平成１４年９月２１日
[流れ星]
第10４回数学的な応募問題解答その１
＜解答募集期間：９月１日〜９月２１日＞
［等比数列］
太郎さんは、１から１００までの整数（１も１００も含めて）から異なるＮ個を選んで等比数列を作るとき、その作り方が何通りあるか考えてみました。ただし、数列は単調増加とします。ここで、問題です。
問題１．Ｎ＝７の場合は何通りあるか。
問題２．Ｎ＝６の場合は何通りあるか。
問題３．Ｎ＝５の場合は何通りあるか。
問題４．Ｎ＝４の場合は何通りあるか。
問題５．Ｎ＝３の場合は何通りあるか。
NO2「kashiwagi」さん 8/31：15時09分受信 更新9/21
第104解答
まず等比数列の定義をする。初項をＡ、公比をＲとした場合Ｒは１ではない。因って、順番に７項まで書くと、Ａ、ＡＲ、ＡＲ２、ＡＲ３、ＡＲ４、ＡＲ５、ＡＲ６となる。これらの事から、
問1.
Ｎ＝７の時、最大数はＡＲ６である。この値が100以下の整数ならよいので、まずＡ＝１とすると、Ｒ６≦100を満たす整数Ｒの値は２しかない。そこで書くと、
（1,2,4,8,16,32,64）となる。Ａ＝２とすると（2,4,8,16,32,64,128）で不適。因って、最初の一つのみである。
問2.
Ｎ＝６の時、最大数はＡＲ５である。この値が100以下の整数ならよいので、まずＡ＝１とすると、Ｒ５≦100を満たす整数Ｒの値は２しかない。そこで書くと、
（1,2,4,8,16,32）となる。Ａ＝２とすると（2,4,8,16,32,64）Ａ＝３とすると（3,6,12,24,48,96）最大数が９６なのでここまでが題意を満たす。因って、３通り。
問3.
Ｎ＝５の時、最大数はＡＲ４である。この値が100以下の整数ならよいので、まずＡ＝１とすると、Ｒ４≦100を満たす整数Ｒの値は２と３である。上記と全く同様の検討をすると、（1,2,4,8,16,）（2,4,8,16,32）（3,6,12,24,48）（4,8,16,32,64）（5,10,20,40,80）（6,12,24,48,96）及び（1,3,9,27,81）の７通りである。
後も全く同じ検討を行えば良いので途中経過は省略し、解答を表にして示す。
|
Ｎ |
組み合わせ |
|
７ |
１ |
|
６ |
３ |
|
５ |
７ |
|
４ |
１６ |
|
３ |
５３ |
＜水の流れ：コメント＞ >公比のＲが整数だとすれば正解ですが、有理数も考えてください。
NO2「kashiwagi」さん 8/31：15時09分と9/3:19時54分受信 更新9/21
第104解答
まず等比数列の定義をする。初項をＡ、公比をＲとした場合Ｒは１ではない。因って、
順番に７項まで書くと、Ａ、ＡＲ、ＡＲ２、ＡＲ３、ＡＲ４、ＡＲ５、ＡＲ６となる。
これらの事から、
問1.
Ｎ＝７の時、最大数はＡＲ６である。この値が100以下の整数ならよいので、まずＡ＝１とすると、Ｒ６≦100を満たす整数Ｒの値は２しかない。そこで書くと、
（1,2,4,8,16,32,64）となる。Ａ＝２とすると（2,4,8,16,32,64,128）で不適。因って、最初の一つのみである。
問2.
Ｎ＝６の時、最大数はＡＲ５である。この値が100以下の整数ならよいので、まずＡ＝１とすると、Ｒ５≦100を満たす整数Ｒの値は２しかない。そこで書くと、
（1,2,4,8,16,32）となる。Ａ＝２とすると（2,4,8,16,32,64）Ａ＝３とすると（3,6,12,24,48,96）最大数が９６なのでここまでが題意を満たす。因って、３通り。
問3.
Ｎ＝５の時、最大数はＡＲ４である。この値が100以下の整数ならよいので、まずＡ＝１とすると、Ｒ４≦100を満たす整数Ｒの値は２と３である。上記と全く同様の検討をすると、（1,2,4,8,16,）（2,4,8,16,32）（3,6,12,24,48）（4,8,16,32,64）（5,10,20,40,80）（6,12,24,48,96）及び（1,3,9,27,81）の７通りである。
後も全く同じ検討を行えば良いので途中経過は省略し、解答を表にして示す。
更に、公比が仮分数の場合んも加えて下表にまとめる。
|
Ｎ |
組み合わせ |
合計 |
|
||||||||||||
|
公比整数 |
公比分数 |
|
|||||||||||||
|
７ |
1 |
0 |
1 |
|
|||||||||||
|
６ |
3 |
0 |
3 |
|
|||||||||||
|
５ |
7 |
1 |
8 |
|
|||||||||||
|
４ |
16 |
4 |
20 |
|
|||||||||||
|
7 |
1 |
8 |
|
|||||||||||||
|
４ |
16 |
4 |
20 |
|
|||||||||||
|
３ |
53 |
5２ |
10５ |
|
|||||||||||
|
第１０４回解答 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
整数公比と全く同じ考えで計算するが、単調増加故、公比は全て仮分数である。分母はいくらでもあるようだが、 |
|
|||||||||||||||
|
整数で１００までの値より、以下に示す表に限定される。 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Ｒ |
Ａ |
ＡＲ |
ＡＲ２ |
ＡＲ３ |
ＡＲ４ |
|
||||||||||
|
1.5 |
4 |
6 |
9 |
|
|
|
||||||||||
|
1.5 |
8 |
12 |
18 |
27 |
|
|
||||||||||
|
1.5 |
12 |
18 |
27 |
|
|
|
||||||||||
|
1.5 |
16 |
24 |
36 |
54 |
81 |
|
||||||||||
|
1.5 |
20 |
30 |
45 |
|
|
|
||||||||||
|
1.5 |
24 |
36 |
54 |
81 |
|
|
||||||||||
|
1.5 |
28 |
42 |
63 |
|
|
|
||||||||||
|
1.5 |
32 |
48 |
72 |
|
|
|
||||||||||
|
1.5 |
36 |
54 |
81 |
|
|
|
|
|||||||||
|
2.5 |
4 |
10 |
25 |
|
|
|
||||||||||
|
2.5 |
8 |
20 |
50 |
|
|
|
||||||||||
|
2.5 |
12 |
30 |
75 |
|
|
|
||||||||||
|
2.5 |
16 |
40 |
100 |
|
|
|
||||||||||
|
3.5 |
4 |
14 |
49 |
|
|
|
||||||||||
|
3.5 |
8 |
28 |
98 |
|
|
|
||||||||||
|
4.5 |
4 |
18 |
81 |
|
|
|
||||||||||
|
1.333 |
9 |
12 |
16 |
|
|
|
||||||||||
|
1.333 |
18 |
24 |
32 |
|
|
|
||||||||||
|
1.333 |
27 |
36 |
48 |
64 |
|
|
||||||||||
|
1.333 |
36 |
48 |
64 |
|
|
|
||||||||||
|
1.333 |
45 |
60 |
80 |
|
|
|
||||||||||
|
1.333 |
54 |
72 |
96 |
|
|
|
||||||||||
|
1.666 |
9 |
15 |
25 |
|
|
|
||||||||||
|
1.666 |
18 |
30 |
50 |
|
|
|
||||||||||
|
1.666 |
27 |
45 |
75 |
|
|
|
||||||||||
|
1.666 |
36 |
60 |
100 |
|
|
|
||||||||||
|
2.333 |
9 |
21 |
49 |
|
|
|
||||||||||
|
2.333 |
18 |
42 |
98 |
|
|
|
||||||||||
|
2.666 |
9 |
24 |
64 |
|
|
|
||||||||||
|
3.333 |
9 |
30 |
100 |
|
|
|
||||||||||
|
1.25 |
16 |
20 |
25 |
|
|
|
||||||||||
|
1.25 |
32 |
40 |
50 |
|
|
|
||||||||||
|
1.25 |
48 |
60 |
75 |
|
|
|
||||||||||
|
1.25 |
64 |
80 |
100 |
|
|
|
||||||||||
|
1.75 |
16 |
28 |
49 |
|
|
|
||||||||||
|
1.75 |
32 |
56 |
98 |
|
|
|
||||||||||
|
2.25 |
16 |
36 |
81 |
|
|
|
||||||||||
|
1.2 |
25 |
30 |
36 |
|
|
|
||||||||||
|
1.2 |
50 |
60 |
72 |
|
|
|
||||||||||
|
1.4 |
25 |
35 |
49 |
|
|
|
||||||||||
|
1.4 |
50 |
70 |
98 |
|
|
|
||||||||||
|
1.6 |
25 |
40 |
64 |
|
|
|
||||||||||
|
1.8 |
25 |
45 |
81 |
|
|
|
||||||||||
|
1.166 |
36 |
42 |
49 |
|
|
|
||||||||||
|
1.166 |
72 |
84 |
98 |
|
|
|
||||||||||
|
1.1428 |
49 |
56 |
64 |
|
|
|
||||||||||
|
1.2857 |
49 |
63 |
81 |
|
|
|
||||||||||
|
1.4285 |
49 |
70 |
100 |
|
|
|
||||||||||
|
1.125 |
64 |
72 |
81 |
|
|
|
||||||||||
|
1.111 |
81 |
90 |
100 |
|
|
|
||||||||||
|
合計 |
|
|
5２ |
4 |
1 |
|
||||||||||
