平成１４年１２月１５日

[流れ星]

　　　　　　　　第10９回数学的な応募問題解答

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：１１月２４日〜１２月１４日＞

［自然数の分割］

　　　

＊　太郎さんは、生徒と一緒に大学入試問題を眺めていたところ、慶應義塾大学に出ていた次のような問題をみつけました。

皆さん、チャレンジください。

ＮＯ１　「H7K」さんの解答 　　 11/24:　12時35分　と13時35分　受信　更新12/15

早速，109回の解答です．
(1)
7,1+6,2+5,3+4,1+1+5,1+2+4,1+3+3,2+2+3より，p3(7)=8
また，p4(7)=8+3(1114,1123,1222)=11より，p4(7)-p3(7)=3
(2)
p_2(n)=[n/2]+1

(3)
p_k(n)=p_{k-1}(n)+p_k(n-k)
(4)
p_3(6n)=p_2(6n)+p_2(6n-3)+...+p_2(3)+1
=sum(k=1 to 2n)[3k/2] + 2n+1
=3n(n+1)+1

ＮＯ２　「中川」さんの解答　　　 11/26:　01時50分　受信　更新12/15

(1)3個以下の和で7を表す方法は,
7, 1+6, 2+5, 3+4, 1+1+5, 1+2+4, 1+3+3, 2+2+3 の8通りあるから, p₃(7)=8
p₄(7)-p₃(7) は, ちょうど4個で7を表す方法の個数で, 1+1+1+4, 1+1+2+3, 1+2+2+2 の3通りあるから, p₄(7)-p₃(7)=3

(2)nを表すとき, 1個の和はnの1通り.
2個の和は, (xの整数部分を[x]で表すと)
1+(n-1), 2+(n-2), …, [n/2]+(n-[n/2])
の[n/2]通りある. よって, p₂(n)=1+[n/2]　

(3) p_k(n)-p_k-1(n) は, ちょうどk個の自然数の和でnを表す方法 …(i) の個数だが,
(i)のうちの1通りを, a₁+a₂+…+a_k=n (a_i は自然数) …(ii) とおき,
a_i-1=b_i とおくと, (ii)⇔b₁+b₂+…+b_k=n-k (b_k は負でない整数) であり, b₁〜b_k のうち0のものを除けば,
これは, k個以下の自然数の和でn-kを表す方法 …(iii) の1つに他ならず,
(i)と(iii)は1対1に対応する. よって, p_k(n)-p_k-1(n)=(i)=p_k(n-k) だから, p_k(n)=p_k-1(n)+p_k(n-k)

(4) p₃(6n)=p₂(6n)+p₃(6n-3) (∵ (3))
=1+3n+p₃(6n-3) (∵ (2))
p₃(6n-3)=p₂(6n-3)+p₃(6n-6) =1+[(6n-3)/2]+p₃(6n-6) =1+(3n-2)+p₃(6(n-1)) より,
p₃(6n)=p₃(6(n-1))+6n …(iv)
n≧2のとき, (iv)のnを2, 3, …, nとした式を辺ごと加え,
p₃(6n)=p₃(6)+6(2+3+…+n) p₃(6)=p₂(6)+p₃(3)=(1+3)+3=7 だから,
p₃(6n)=7+6(2+3+…+n)=1+6(1+2+3+…+n)=1+3n(n+1)=3n²+3n+1
　 (n=1のときも成り立つ)まり, 1+n/2 を越えない最大の整数.

ＮＯ３　「toru」さんの解答　　　 11/26: 12時39分 受信　更新12/15

No.109の解答を試みます。
(1) Ｐ3（７）は、7,6+1,5+2,5+1+1,4+3,4+2+1,3+3+1,3+2+2 でアは８、
　　Ｐ4（７）はＰ3（７）に加えて、4+1+1+1,3+2+1+1,2+2+2+1がありイは３

(2) Ｐ2（ｎ）はｎが偶数の時、n,(n-1)+1,-----,n/2 + n/2 で （ｎ＋２）／２
              ｎが奇数の時、n,(n-1)+1,-----,(n+1)/2+(n-1)/2 で（ｎ＋１）／２
　　合せて考えればウは（ｎ＋２）／２

(3) Ｐk（ｎ）-Ｐk-1（ｎ）はｎをｋ個に分割する数で、それぞれは０にはならない
　　ので、まずｋ箇所に１を配ってしまうと考えると、残りのｎ-ｋをｋ個以下に分
　　割する数と等しくなる。よって　エはｎ-ｋ

(4) (2),(3)より　Ｐ3（６ｎ）＝Ｐ2（６ｎ）＋Ｐ3（６ｎ-３）
　　＝3n+1+Ｐ2（６ｎ-３）+Ｐ3（６ｎ-６）＝6n+Ｐ（６（ｎ-１））
　　＝6n+6(n-1)+Ｐ（６（ｎ-２））＝6n+6(n-1)+6(n-2)+Ｐ（６（ｎ-３））＝-----
     ---＝6n+6(n-1)+-----+6x2+Ｐ3（６）＝3(n+2)(n-1)+Ｐ2（６）+Ｐ3（３）
　　＝3(n+2)(n-1)+4+3＝3n^2+3n+1　----オ

大学入試はもう２５年近く昔で、現在は数学とは全く関係ない仕事をしています。い
ろいろ思い出しながら楽しんで解きました。ボケ防止のつもりで、また参加させても
らおうと思っています。今後ともよろしくお願いします。ペンネーム　Toru

ＮＯ４　「Kashiwagi」さんの解答 11/29: 19時47分　受信　更新12/15

第109回解答

(1)題意より7= 7,6+1,5+2,4+3,5+1+1,4+2+1,3+3+1,3+2+1であるのでP₃(７)= 8

全く同様にしてP₄ (７)= 11　因ってP₄ (７)−P₃(７)= 3となる。

(2)ｎに数値を当て嵌め書き出して見ると、以下の様になる。

P2 (1)＝1	P2 (2)＝2
P2 (3)＝2	P2 (4)＝3
P2 (5)＝3	P2 (6)＝4
P2 (n-1)＝n/2	P2 (n)＝(n+2)/2

即ち、ｎが奇数の時：(n+1)/2を越えない

　　　ｎが偶数の時：(n+2)/2を越えない

(3)　更に(1)の思考を最続けると、

P₃ (７)−P₂(７)= 4 = P₃ (4)

P₄ (７)−P₃(７)= 3 = P₄ (3)

P₅ (７)−P₄(７)= 2 = P₅ (2) であるから、

　　P_ｋ (n)−P_ｋ−１(n)= P_k (n−k)　となる。

(4)　(3)の結果とP₃ (3)＝3を使い、以下の計算を行うと、

　　P₃ (12)−P₃(6)= 12

P₃ (18)−P₃(12)= 18

P₃ (24)−P₃(18)= 24

・ ・・・・・・・

・・・・・・・

・・・・・・・

　　P₃ (6n)−P₃(6n-6)= 6n

これらの総和をとると、

　P₃ (6n)−P₃(6)=6(n+ n-1+・・・・・＋2)

　　　　　　　　＝3(n²+n−2)

因って、P₃ (6n)＝3n²+3n+1である。

ＮＯ５　「三角定規」さんの解答　 12/08: 16時49分 受信　更新12/15　

《感想》私は，(3)を，表の中の数値をいじくっていて偶然見つけました。おそらくあっていると思います。これを証明しようといろいろやってみたのですが，うまくいきませんでした。入試では，きちんと証明しなければいけないのですよね。これ，ちゃんとできた受験生ってどれほどいるのだろう。<解答解説>に期待します。　

＜水の流れ＞皆さんの解答と同じところがあります。また、自然数の分割方法はまだ、一般に表されていない未解決問題です。

　

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