平成１４年１２月３１日
[流れ星]
第１１０回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：１２月１５日〜１２月３１日＞
［条件つき自然数］
＊ 太郎さんは、生徒と一緒に大学入試問題を眺めていたところ、東京大学に出ていた次のような問題をみつけました。
そこで、アレンジして出題しましたから、皆さん、チャレンジください。
ＮＯ１「H7K」さん 12/14: 22時35分 受信 更新12/31
Sの要素のうち，nケタのもののみを集めた集合をT_nとすると，
# T_n=(5Pn *2^n - 4P(n-1) *2^(n-1) )
が成立する．(証明は，言葉で説明できるかたちにまだなっていませんので，後でまた．)
(1) #T_1=5*2-1*1=9 (0を含む場合) 9-1=8 (0を含まない場合)
(2) #T_2=20*4-4*2=72
(3) #T_3=60*8-12*4=480-48=432
(4) #T_4=120*16-24*8=1920-192=1728
(5) #T_5=120*32-24*16=3456
(6) 眠い，たるい，また後日．
＜水の流れ> 実は５桁までしかできません。後は題意に反します。
「H7K」さん 12/15: 10時34分 受信 更新12/31
(0,9)(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)のペアがあってはいけないということですから，
もちろん6ケタ以上はダメですね．
(6) T_4までが9+72+432+1728=75+432+1728=513+1728=2241,
T_3までが9+72+432=513なので，2003番目は4ケタ．
2003-513=1490，1728/9=192, 1344=192*7<1490=1344+146<1536=192*8より
2003番目は8xxxとかけるやつの146番目．
192/8=24, 24*6<146<24*7より，2003番目は87xxとかけるやつの2番目．
このような数は，8704.
ＮＯ２「toru」さん
12/17: 11時34分 受信 更新12/31
（１）題意より１〜９の９個
（２）１０の位は１〜９の９通り、それぞれに対して、１の位は０〜９の１０通りから自身とたして９になるものの２つを除いて８通り。
よって ９X８＝７２個
（３）１００の位は１〜９の９通り、それぞれに対して、１０の位は０〜９の１０通りから自身とたして９になるものの２つを除いて８通り。
更に１の位は、１００位と１０位の数自身と、足して９になるものを除いた６通り。 よって ９X８X６＝４３２個
（４）１０００の位は１〜９の９通り、それぞれに対して、１００の位は０〜９の１０通りから自身とたして９になるものの２つを除いて８通り。
１０の位は、１０００位と１００位の数自身と、足して９になるものを除いた６通り。
更に１の位は１０００位と１００位と１０位の数自身と足して９になるものを除いた４通り。
よって ９X８X６X４＝１７２８個
（５）１００００の位は１〜９の９通り、それぞれに対して、１０００の位は０〜９の１０通りから自身とたして９になるものの２つを除いて８通り。
１００の位は、１００００位と１０００位の数自身と、足して９になるものを除いた６通り。
１０の位は１００００位と１０００位と１００位の数自身と足して９になるものを除いた４通り。
更に１の位は１００００位と１０００位と１００位と１０位の数自身と足して９になるものを除いた２通り。 よって９X８X６X４X２＝３４５６個
（６）２００３＝９＋７２＋４３２＋１４９０ （１）〜（５）と合せて考えると２００３番目は４桁の１４９０番目。
４桁の数の内１０００の位が１〜９のものはそれぞれ８X６X４＝１９２個
１４９０＝１９２X７＋１４６だから１０００の位が８の１４６番目、
この時１００の位０、２〜７、９の８通りにそれぞれ６X４＝２４個、
１４６＝２４X６＋２だから求める数は１０００位が８、１００位が７のものの内、下から２番目の数ということになり、 これは ８７０４
ペンネーム ｔｏｒｕ
ＮＯ３「浜田」さん 12/18: 09時57分 受信 更新12/31
今回はＣで解きました．
(1) 1桁9個
(2) 2桁72個
(3) 3桁432個
(4) 4桁1728個
(5) 5桁3456個
(6) 2003番目8704
ちなみに6桁のものは0個であることも求めるようになっています．
/* 110.c */
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#define KETA 6
static int KOTAE0=0;
static int KOTAE;
static int KOTAE6;
void check(int m,int n,int a[]);
int dame(int n,int a[]);
void main(){
int m,a[KETA+1];
for(m=1;m<=KETA;m++){
KOTAE=0;
check(m,1,a);
printf("%d桁:%d個\n",m,KOTAE);
}
printf("2003番目:%d\n",KOTAE6);
getch();
}
void check(int m,int n,int a[]){
int j;
a[n]=(n==1);
while(a[n]<=9){
if(dame(n,a)==0){
if(m>n){
check(m,n+1,a);
}
else{
KOTAE++;
KOTAE0++;
if(KOTAE0==2003){
KOTAE6=a[1];
for(j=2;j<=m;j++){
KOTAE6=KOTAE6*10+a[j];
}
}
}
}
a[n]++;
}
}
int dame(int n,int a[]){
int damedame=0,j=1;
while(damedame==0&&j<n){
damedame=(a[j]==a[n]||a[j]+a[n]==9);
j++;
}
return damedame;
ＮＯ４「A．O」さん 12/21: 22時09分 受信 更新12/31
[連続応募問題 第110回]
===============================================================================
まず、条件を書き直します。
・ 正の整数である。(0より大きい整数である。)
・ 10進表記したときに、次の数字の組み合わせのうち
同一の組の数字が、2つ以上含まれていてはならない。
(i)
0,9 (ii) 1,8 (iii) 2,7
(iv)
3,6 (v) 4,5
※例えば S の要素である整数のどこかの桁に'7'があるとする、
このとき、他の桁に('2' or '7')があってはならないということ。
[(1)S の要素のうち、10進数表記で1桁で表されるものの総数]
・ 1-9 の数字から1個を選んで最上位の桁とします。(9通り) ……… [a]
S の要素はこの順列の総数になります。
9 [通り]
[(2)S の要素のうち、10進数表記で2桁で表されるものの総数]
[a]に引き続き、
・ 0-9 から以前に選ばれた整数と同じグループ[上記の(i)-(v)]のものを除きます。
1グループが選択から除外されます。
残った数字から 1 個を選んで、上位から二番目の桁とします。(8通り) ……… [b]
S の要素はこの順列の総数になります。
9
*8 = 72 [通り]
[(3)S の要素のうち、10進数表記で3桁で表されるものの総数]
[a],[b]に引き続き
・ 0-9 から以前に選ばれた整数と同じグループのものを除きます。
2グループが選択から除外されます。
残った数字から 1 個を選んで、上位から三番目の桁に並べます。(6通り) ……… [c]
S の要素はこの順列の総数になります。
9 *8 *6
= 432 [通り]
以降同様に考えて、(本音：面倒なため省略)
(4) 9 *8 *6 *4 = 1728 [通り]
(5) 9 *8 *6 *4 *2 = 3456 [通り]
補：S の要素のうち 10 進表記で 6 桁のものはありません。
[(6) Sの要素のうち、小さいほうから数えて2003番目の要素は何か]
・まず、目的の要素の桁数を調べます。
(1+9+72+432) <= 2003 < (1+9+72+432+1728)
これと、これまでの解より、目的の要素は4桁であると分かります。
・４桁の S の要素について、詳しく調べます。
最上位桁のみ固定した場合、これを満たすSの要素数は、
■□□□ …… 8 *6 *4 = 192 (通り)
以下、同様に上位から2桁、3桁と固定されている場合、
■■□□ …… 6 *4 = 24 (通り)
■■■□ …… 4 =
4 (通り)
(もちろん、固定されている部分は、Sの要素であるための条件を満たしているものとする。)
また、S の要素で 4桁であるもののうち最小のものは、"1023"であり、これは、これまでの解から
(1+9+72+432)=514 番目の要素になります。
ここで、2003 を変形します。
2003 = (1+9+72+432) + 7*192 + 6*24 + 0*4 + 1*1
従って、小さいほうから数えて2003番目のSの要素は、
・4桁の整数である。
・千の位は、取りうる値のうち小さい方から (7+1)番目
・百の位は、取りうる値(ただし上位の桁と矛盾しないこと)のうち小さいほうから(6+1)番目
・十の位は、取りうる値(ただし上位の桁と矛盾しないこと)のうち小さいほうから(0+1)番目
・一の位は、取りうる値(ただし上位の桁と矛盾しないこと)のうち小さいほうから(1+1)番目
[決定作業]
千の位 …… * 1 2
3 4 5 6 7 [8] 9
百の位 …… 0 * 2
3 4 5 6 [7] * 9
十の位 …… [0] * * 3
4 5 6 * * 9
一の位 …… * * *
3 [4] 5 6 * * *
(答) "8704"
ＮＯ５「Kashiwagi」さん１回目 12/25: 09時41分 受信 更新12/31
「Kashiwagi」さん２回目 12/28: 12時36分 受信 更新12/31
第110回解答―再送
(1)題意より９個
(2)２桁の和が９となるのは、0-9、1-8、2-7、3-6、4-5の組み合わせであるから、これらの組み合わせを避ければよく、
10の桁は0以外の数、1の桁は残り9個の数より10の桁との和が9とならなければよいので8個、因って9×8＝72が求めるもの。
(3)3桁も2桁と同様に9×8×6＝432
(4)4桁も同様に9×8×6×4＝1728
(5)5桁も同様に9×8×6×4×2＝3456
(6)これまでの議論からSの要素に属する2003番目の数は4桁であることが分かる。
Sに属する3桁までの数の合計は513であるから、2003−513＝1490となり、4桁の1490番目であることが分かる。
ところで1000〜1099までの数でSに属するものは、10の桁が2,3,4,5,6,7で1の桁が各々4個づつある事が分かる。
即ち24個である。これは1200〜1900(1100、1800は題意に適さない)にも当てはまるので24×8＝192となる。
この議論は2000〜9000にも当てはまる。
ところで1490＝192×7＋146であるから、8000台の146番目であることが分かる。
146＝24×6＋2であるから、8700番台の2番目であり、8704が求めるものである。
ＮＯ６「三角定規」さん 12/26: 17時49分 受信 更新12/31
第１１０回解答送ります。
［解答］＜三角定規＞
（１）Ｓの要素で１桁… ９個
（２） 〃 ２桁… ７２個
（３） 〃 ３桁… ４３２個
（４） 〃 ４桁…１,７２８個
（５） 〃 ５桁…３,４５６個
（６）2003番目のＳの要素…８７０４
前回は、不完全ながらもかなり肉薄できたと思うのですが、今
回は、完全に＜白旗＞です。
ですが、できないのはシャクなので、エクセルでシラミつぶし
を敢行し、ねじ伏せました。荒っぽい方法で申し訳ありません
。
ところで、出てきた答えを見ると、
（２）＝（１）×８
（３）＝（２）×６
（４）＝（３）×４
（５）＝（４）×２
となっているのですね。これも、キチンと論理的に考えれば、
裏付けられるのでしょうね。
またまた、解答解説に期待致します。
添付したのは、シラミつぶしに使ったエクセルのマクロです。
本年は、大変お世話になりました。
新年も、よろしくお願い致します。お手やわらかに！
よいお年をお迎えください。
