平成１１年４月１２日
第１３回
数学的な応募問題＜解答募集期間：４月１２日～４月２４日＞
［折り曲げた頂点の範囲］
ここに、１辺が２ｃｍの正方形の折り紙ＡＢＣＤがあります。
下の図のように、辺ＡＢ、ＡＤ上の点Ｐ、Ｑを折り目として、
３角形ＡＰＱを折ったとき、頂点Ａの来る位置をＫとします。
Ｐ、Ｑがそれぞれ辺ＡＢ、ＡＤ上を自由に動くとき、点Ｋの
動く範囲の面積を求めなさい。
太郎さんも童心にかえって、いろいろと折り曲げて考えることにしました。
皆さんも、考えてください。
＜参考文献：パズルより面白い中学入試の算数）講談社＞
メールで送ってください。待っています。
<自宅＞
mizuryu@aqua.ocn.ne.jp＜Ａｓａｍｉ＞ さんの解答４月１３日
ＱをＤにて固定してＰを動かすと、ＫはＤを中心,半径ＤＫ,
中心角90度の扇形の弧を描きます。……①
逆にＰをＢにて固定したときＫはＢを中心,半径ＢＫ,
中心角90度の扇形の弧を描きます。……②
Ｑを任意に(ＡＤ上で)固定してＰを動かしたときＫはＡからスタート
して半径ＱＫの円周(の一部)を描きますが、(ＰがＢに来たときは
半径ＢＫとみなせるので)②の周上でストップします。……③
固定点ＱをＤからＡへ連続的に動かすと、③のような円弧は連続的に
縮まって行くので、結局①,②によって囲まれた図形の内部をくまなく
動くことになります。従って、面積は２π－４となります。
参考に図を見てください
第１３回数学的な応募問題解答
十進ＢＡＳＩＣのプログラムを作成し求めました．内容は次の通りです．
まずＡ(－１,１)，Ｂ(－１,－１)，Ｃ(１,－１)，Ｄ(１,１)，Ｐ(－１,１－ＡＰ)，Ｑ(－１＋ＡＱ,１)，Ｋ(Ｘ,Ｙ)と
座標を導入します．するとＫは直線ＰＱに対して，Ａと対称です．
ＡＫ⊥ＰＱから，(Ｙ－１)／(Ｘ＋１)・ＡＰ／ＡＱ＝－１
∴ＡＱ・Ｘ＋ＡＰ・Ｙ＝ＡＰ－ＡＱ……①
直線ＰＱの方程式は，ｙ－１＝ＡＰ／ＡＱ・{ｘ－(－１＋ＡＱ)}
ＡＫの中点((Ｘ－１)／２,(Ｙ＋１)／２)を通るので，
ＡＰ・Ｘ－ＡＱ・Ｙ＝２・ＡＰ・ＡＱ－ＡＰ－ＡＱ……②
①，②をＸ，Ｙの連立方程式として解き，点をプロットして，この図形を求めればよい．
すると図形は，正方形内部にあり，Ｂ，Ｄを中心とし，半径２の円周によって囲まれたものと分かります
（図参照）．
したがって求める面積は，
(π・２^2／４－２^2／２)・２＝２π－４（平方センチ）
です．
本当は，面積も自動的に求められるプログラムにしたかったのですが，時間の関係で無理でした．残念です．
のんびりしていたら，期限を過ぎてしまったようです．申し訳ありませんでした．
!ORIMAGE.10B
SET WINDOW -2,2,-2,2
LET KIZAMI=.01
LET TEN_HANKEI=.01
SET LINE COLOR "BLACK"
PLOT LINES:-1,1;-1,-1;
PLOT LINES:1,-1;1,1;
PLOT LINES:-1,1
SET LINE COLOR "RED"
FOR AQ=0+KIZAMI TO 2-KIZAMI STEP KIZAMI
FOR AP=0+KIZAMI TO 2-KIZAMI STEP KIZAMI
LET A=AQ
LET B=AP
LET C=AP
LET D=-AQ
LET P=AP-AQ
LET Q=2*AP*AQ-AP-AQ
LET BUMBO=A*D-B*C
LET X=(D*P-B*Q)/BUMBO
LET Y=(A*Q-C*P)/BUMBO
FOR T=0 TO 2*PI STEP PI/9
PLOT LINES:X+TEN_HANKEI*COS(T),Y+TEN_HANKEI*SIN(T);
NEXT T
NEXT AP
NEXT AQ
END
<自宅＞
mizuryu@aqua.ocn.ne.jp
