[流れ星]

　　　　第１５回数学的な応募問題

　　　　［ダーツの確率］

　太郎さんのお子さんは中学生です。次のような問題をもらって来ました。

1. 三角形ＡＢＣにおいて、点Ａから辺ＢＣに垂線ＡＨを引きます。

このとき、三角形ＡＢＣの外接円の半径を、２辺の長さＡＢ，ＡＣと

垂線の長さＡＨで表しなさい。（図１参照）

　

2. ある円において、点Ｐで直角に交わっている図２のような２本の弦ＡＣ、

ＢＤがあります。このとき、ＡＰ＝２，ＢＰ＝４，ＣＰ＝３でした。

この円の半径を求めなさい。（図２参照）

3. ある円において、点Ｐで直角に交わっている図３のような２本の弦ＡＣ、

ＢＤがあります。このとき、ＡＰ＝ａ，ＢＰ＝ｂ，ＣＰ＝ｃ，ＤＰ＝ｄ

でした。この円の半径を ａ，ｂ，ｃ，ｄを用いて表しなさい。

　（図３参照）

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太郎さんは、先日のゴールデンウイークにある電気店の大売り出しに

　行って来ました。ここで、問題です。

4. この電気店では、当たりとはずれの場所が図４のような丸い的でダーツ

　問題４を十進ＢＡＳＩＣのプログラムmondai15.10bを作成し求めました．内容は次の通りです．

　的を原点中心，半径１の円とします．乱数を使って，４本の弦の交点(xc,yc)を求め，ｘ軸とのなす角をt+π/4*j（j=1,2,3,4,0≦t＜π/2）とします．４直線の方程式は，

　　f(j)=(x-xc)*sin(t+π/4*j)-(y-yc)*cos(t+π/4*j))=0

　ダーツが当たった場所を(x,y)とし，f(1)*f(2)*f(3)*f(4)の符号が正のとき当たり，負のときはずれとします．当たりを赤の点，はずれを黒の点で表示します．

　この試行を１００００００（max）回繰り返し，確率を求めます．

　　 499652 / 1000000 = .499652

!mondai15.10b

set window -1.1,1.1,-1.1,1.1

randomize

dim lx(4,2),ly(4,2)

let max=1000000

let count=0

let xc=1

let yc=1

do while sqr(xc*xc+yc*yc)>1

let xc=2*rnd-1

let yc=2*rnd-1

loop

let t=pi*.5*rnd

for j=0 to 3

if cos(t+pi*.25*j)<>0 then

let a=1+tan(t+pi*.25*j)*tan(t+pi*.25*j)

let b=2*(yc-xc*tan(t+pi*.25*j))*tan(t+pi*.25*j)

let c=(yc-xc*tan(t+pi*.25*j))*(yc-xc*tan(t+pi*.25*j))-1

let d=b*b-4*a*c

for jj=1 to 2

let lx(j+1,jj)=(-b+(3-2*jj)*sqr(d))*.5/a

let ly(j+1,jj)=(lx(j+1,jj)-xc)*tan(t+pi*.25*j)+yc

next jj

else

for jj=1 to 2

let lx(j+1,jj)=xc

let ly(j+1,jj)=(3-2*jj)*sqr(1-xc*xc)

next jj

end if

next j

set line color "green"

for tt=0 to 2*pi step pi/360

plot lines:cos(tt),sin(tt);

next tt

plot lines

for j=1 to 4

plot lines:lx(j,1),ly(j,1);lx(j,2),ly(j,2)

next j

for kaisuu=1 to max

let x=1

let y=1

do while sqr(x*x+y*y)>1

let x=2*rnd-1

let y=2*rnd-1

loop

let fugou=1

for j=0 to 3

let fugou=fugou*sgn((x-xc)*sin(t+pi*.25*j)-(y-yc)*cos(t+pi*.25*j))

next j

if fugou>=0 then

let count=count+1

set line color "red"

else

set line color "black"

end if

plot lines:x,y

next kaisuu

print count;"/";max;"=";count/max

end