answer : 3.85

　解法 :

%%%texで書きます．%%%

\begin{document}

k点獲得する確率は，

\[

\frac{(11-k)^2\pi -(10-k)^2\pi }{10^2\pi} = \frac{2k+1}{100}

\]

であるから，求める期待値は，

\[

\sum_{k=1}^{10}k\times \frac{2k+1}{100} = \frac{385}{100} = 3.85

\]

\end{document}

%%%以上です．%%%

第１６回数学的な応募問題

解答 ３．８５点

解法 一番小さい円の面積を１とする。

最高点を ｎ とする。

得点が ｎ−ｋ＋１ である確率は （２ｋ−１）／ｎ＾２ である。

（ｋ＝１，２，・・・，ｎ）

得点と確率の積和をとれば、得点の期待値が

（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６ｎ

と求まる。ｎ＝１０ を代入すれば、３．８５になる。

＜浜田　明巳＞さんからの解答６月１日受信

　ＱＢＡＳＩＣのプログラムoubo.qbを作成し求めました．内容は次の通りです．

　的を原点中心，半径１０の円とします．乱数を使って円内の点(ｘ,ｙ)を求め，原点からの距離ｄを計算します．０≦ｄ≦１のとき１０点，１＜ｄ≦２のとき９点，２＜ｄ≦３のとき８点，………，９＜ｄ≦１０のとき１点とします．この試行を１００００００（ｍａｘ）回繰り返し，期待値を求めます．

　このプログラムにより，答は，

　　3847429/1000000=0.3847429

つまり，０.３８５となります．

　これは半径ｎ（ｎは自然数）のときの期待値

　　Σ(k=1〜n){ｎ−(ｋ−１)}{πｋ^2−π(ｋ−１)^2}／(πｎ^2)

　＝(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／(６ｎ)（＝Σ(k=1〜n)ｋ^2／ｎ^2）

にｎ＝１０を代入した結果の０.３８５と一致します．

　ちなみに，各点の出た回数は次の通りです．

　　　１点　１８９７６０回

　　　２点　１７０４８２回

　　　３点　１５０９０７回

　　　４点　１２９４９４回

　　　５点　１０９６８７回

　　　６点　　８９９９１回

　　　７点　　６９７５３回

　　　８点　　４９８９０回

　　　９点　　３０１２４回

　　１０点　　　９９１２回

　計算時間は，私のノートパソコンで７時間かかりました．

　　　　　　　　　　　　　　浜田　明巳

'oubo.qb

SCREEN 12: CLS : RANDOMIZE TIMER

yoko = 640: tate = 400: xcenter = yoko * .5: ycenter = tate * .5: hankei = 10

kakudai = tate / (hankei * 2) * .8: iro0 = 7

max = 1000000!: kaisuu = 0: goukei = 0

DIM ten(hankei): FOR j = 1 TO hankei: ten(j) = 0: NEXT

DEF fnx (x) = xcenter + kakudai * x: DEF fny (y) = ycenter - kakudai * y

FOR j = 1 TO hankei: CIRCLE (fnx(0), fny(0)), kakudai * j, iro0: NEXT

WHILE kaisuu < max AND INKEY$ = "": kaisuu = kaisuu + 1

DO

x = (RND * 2 - 1) * hankei: y = (RND * 2 - 1) * hankei

d = SQR(x * x + y * y)

LOOP WHILE d > hankei

IF d = 0 THEN ten = 10 ELSE ten = 11 + INT(-d)

goukei = goukei + ten: ten(ten) = ten(ten) + 1

PSET (fnx(x), fny(y)), ten

LOCATE 1, 1: PRINT USING "###ten"; ten

PRINT USING "########/#######=###.######"; goukei; kaisuu; goukei / kaisuu

PRINT

FOR j = 1 TO hankei: COLOR j: PRINT USING "###ten:#######kai"; j; ten(j)

NEXT: COLOR iro0

WEND: WHILE INKEY$ <> "": WEND: END

ＰＳ．添付ファイルはＶＩＳＵＡＬ　ＢＡＳＩＣで作っており，よけいなことをはぶき，

１０００００回の施行で終わりますので，１，２分で終わるはずです．　

＜コメント：水の流れ＞　ＶＩＳＵＡＬ　ＢＡＳＩＣをホームページに載せる技量をまだ、

身についていませんので、しばらく、お待ちください。