平成１１年６月３日

　＜解答募集期間：６月３日〜６月１９日＞

６人制バレーボールでは、毎回の勝負はサーブ権を持ったチームのサーブで始まり、

ここで勝った方が次回のサーブ権を得る。またこのとき勝った方がサーブ権を持っていた

ならば１点を得点するが、サーブ権を持っていなかったらば、単にサーブ権を獲得するだけで

得点はしない。

　第１試合、両チーム間の各回の勝率は、サーブ側であるか否かに関係なくＡが４割、Ｂは６割で

あるとする。Ａのサーブで試合が開始されたとして、次の問に答えよ。

問題１．先に１点を得点するのがＡである確率を求めよ。

問題２．先に２点を得点するのがＡである確率を求めよ。

　第２試合、両チーム間の各回の勝率は、サーブ側であるか否かに関係なくＡが５割、Ｂは５割で

あるとする。Ａのサーブで試合が開始されたとして、次の問に答えよ。

問題３．先に１点を得点するのがＡである確率を求めよ。

問題４．先に２点を得点するのがＡである確率を求めよ。

　　メールで送ってください。待っています。

　第１７回数学的な応募問題　バレーボールの得点解答

　Ａが勝つ確率をｐ（０≦ｐ≦１）とする．最初にＡが点を取る確率を求める．

　１回目にＡが勝つ場合の確率は，

　　ｐ

　１回目にＢが勝ち，２，３回目にＡが連勝する場合の確率は，

　　(１−ｐ)ｐｐ＝(１−ｐ)ｐ・ｐ

　１回目にＢが勝ち，２回目にＡが勝ち，３回目にＢが勝ち，４，５回目にＡが連勝する場合の確率は，

　　(１−ｐ)ｐ(１−ｐ)ｐｐ＝{(１−ｐ)ｐ}^2・ｐ

　・・・

　故に最初にＡが点を取る確率は，

　　ｐ・[１＋(１−ｐ)ｐ＋{(１−ｐ)ｐ}^2＋・・・}

　＝ｐ・１／{１−(１−ｐ)ｐ}（∵０≦(１−ｐ)ｐ＜１）………(1)

　次にＢにサーブ権があるときＡが点を取る確率を求める．

　１，２回目にＡが連勝する場合の確率は，

　　ｐｐ＝ｐ^2

　１回目にＡが勝ち，２回目にＢが勝ち，３，４回目にＡが連勝する場合の確率は，

　　ｐ(１−ｐ)ｐｐ＝ｐ(１−ｐ)・ｐ^2

　１回目にＡが勝ち，２回目にＢが勝ち，３回目にＡが勝ち，４回目にＢが勝ち，５，６回目にＡが連勝する場合の確率は，

　　ｐ(１−ｐ)ｐ(１−ｐ)ｐｐ＝{ｐ(１−ｐ)}^2・ｐ^2

　・・・

　故にこの確率は，

　　ｐ^2・[１＋ｐ(１−ｐ)＋{ｐ(１−ｐ)}^2＋・・・}

　＝ｐ^2・１／{１−ｐ(１−ｐ)}（∵０≦ｐ(１−ｐ)＜１）………(2)

　問題１の解答は，(1)においてｎ＝２／５の場合であるので，

　　２／５・１／(１−３／５・２／５)＝１０／１９………(問題１の解答)

　また問題３の解答は，(1)においてｎ＝１／２の場合であるので，

　　１／２・１／(１−１／２・１／２)＝２／３………(問題３の解答)

　次に最初にＡが２点を取る確率を求める．ｐ＝２／５のとき，Ａにサーブ権があるときＡが点を取る確率は１０／１９であり，Ｂが点を取る確率は９／１９である．またＢにサーブ権があるときＡが点を取る確率は，(2)においてｎ＝２／５のときであるので，

　　４／２５・１／(１−２／５・３／５)＝４／１９

　最初にＡが２点を取る場合は，

　�@Ａが連続２点を取る場合（ＡＡで表す）

　�A最初Ａが点を取り，次にＢが点を取り，次にＡが点を取る場合（ＡＢＡで表す）

　�B最初Ｂが点を取り，次にＡが連続２点を取る場合（ＢＡＡで表す）

の３通りある．

　�@の確率は，(１０／１９)^2

　�Aの確率は，１０／１９・９／１９・４／１９

　�Bの確率は，９／１９・４／１９・１０／１９

　故に求める確率は，

　　(１０／１９)^2＋１０／１９・９／１９・４／１９・２

　＝２６２０／６８５９………(問題２の解答)

　次にｐ＝１／２のとき，最初にＡが２点を取る確率を求める．Ａにサーブ権があるときＡが点を取る確率は２／３であり，Ｂが点を取る確率は１／３である．またＢにサーブ権があるときＡが点を取る確率も同様に１／３である．

　�@の確率は，(２／３)^2

　�Aの確率は，２／３・１／３・１／３

　�Bの確率は，１／３・１／３・２／３

　故にこの確率は，

　　(２／３)^2＋２／３・１／３・１／３・２

　＝１６／２７………(問題４の解答)

　最後にｐ＝１／２のとき，最初にＡが３点を取る確率を求める．この場合は，上記と同様に表示すると，

　�CＡＡＡ

　�DＡＡＢＡ

　�EＡＢＡＡ

　�FＢＡＡＡ

　�GＡＡＢＢＡ

　�HＡＢＡＢＡ

　�IＡＢＢＡＡ

　�JＢＡＡＢＡ

　�KＢＡＢＡＡ

　�LＢＢＡＡＡ

の１０通りある．それぞれ確率は，

　�C２／３・２／３・２／３

　�D２／３・２／３・１／３・１／３

　�E２／３・１／３・１／３・２／３

　�F１／３・１／３・２／３・２／３

　�G２／３・２／３・１／３・２／３・１／３

　�H２／３・１／３・１／３・１／３・１／３

　�I２／３・１／３・２／３・１／３・２／３

　�J１／３・１／３・２／３・１／３・１／３

　�K１／３・１／３・１／３・１／３・２／３

　�L１／３・２／３・１／３・２／３・２／３

であるので，求める確率は，

　　(２／３)^3＋(２／３)^2(１／３)^2・３＋(２／３)^3(１／３)^2・３＋２／３・(１／３)^4・３

　＝４６／８１………(問題５の解答)

　例のごとく，この問題の解法プログラムを作ってみました．今回はワープロソフトのＷＯＲＤのマクロですので，ご自分で実際に確かめてみる事が出来るのではないでしょうか．試行回数も１０００００回（max）と抑えていますので，終わるまで何分もかからないと思います．

　このプログラムによると答は，

　問題 1 52603/ 100000= .52603（実際は１０／１９≒０.５２６３２）

　問題 2 38206/ 100000= .38206（実際は２６２０／６８５９≒０.３８１９８）

　問題 3 66551/ 100000= .66551（実際は２／３≒０.６６６６７）

　問題 4 59260/ 100000= .5926 （実際は１６／２７≒０.５９２５９）

　問題 5 56677/ 100000= .56677（実際は４６／８１≒０.５６７９０）

となりました．実際と比べてみても，そんなに変わらないと思います．

Sub mondai17()

Randomize

Dim kakuritsu(1) As Double

Dim ten(1), kaisuu(1, 2), nantenme(3), max, shikoukaisuu, serve, kachi, j1, j2, j3 As Integer

kakuritsu(0) = 0.4: kakuritsu(1) = 0.5: max = 100000

For j1 = 0 To 1: For j2 = 0 To -(j1 = 0) - 2 * (j1 = 1)

kaisuu(j1, j2) = 0

Next: Next

Selection.TypeParagraph

Selection.TypeText Text:=Str$(max) + "回試行で計算中"

Selection.TypeParagraph

For shikoukaisuu = 1 To max

For j1 = 0 To 1: serve = 0

For j2 = 1 To -2 * (j1 = 0) - 3 * (j1 = 1): nantenme(j2) = 1: Next

For j2 = 0 To 1: ten(j2) = 0: Next

While (j1 = 0 And nantenme(2) = 1) Or (j1 = 1 And nantenme(3) = 1)

kachi = -(Rnd >= kakuritsu(j1))

If serve = kachi Then

ten(serve) = ten(serve) + 1

For j2 = 1 To -2 * (j1 = 0) - 3 * (j1 = 1)

If nantenme(j2) = 1 And (ten(0) = j2 Or ten(1) = j2) Then

kaisuu(j1, j2 - 1) = kaisuu(j1, j2 - 1) - (serve = 0)

nantenme(j2) = 0

End If

Next

End If

serve = kachi

Wend

Next

Next: j3 = 0

For j1 = 0 To 1: For j2 = 0 To -(j1 = 0) - 2 * (j1 = 1): j3 = j3 + 1

Selection.TypeText Text:="問題" + Str$(j3) + " " + Str$(kaisuu(j1, j2)) + "/" + Str$(max) + "=" + Str$(kaisuu(j1, j2) / max)

Selection.TypeParagraph

Next: Next

End Sub

＜水の流れ：コメント＞６月１２日

　第２試合の互角の条件で

問題６　先に４点Ａチームが得点する確率？

・・・・

最後に、先に１５点Ａチームが得点する確率を求めたいのですが、

場合分けが大変ですし、何か漸化式みたいなものから、求められないかと

いつも、考えています。よろしければ、教えてはもらえませんか。