平成１０年１１月４日
第１回
数学的な応募問題＜解答募集期間：１０月５日〜１０月１８日＞
［
自動車と競争］【１】太郎さんと次郎さんが、ある２地点を往復しました。
太郎さんは、行きはジョギングして出発し、帰りは一般
道路を自動車で帰りました。
一方、次郎さんは、行きも帰りも自転車に乗りました。
時速６０ｋｍの自動車で帰りました。次郎さんは時速１２
ｋｍの自転車に乗りました。
さて、２人が同時に同時点を出発したとき、どちらが、
先に往復して戻ってくるでしょうか？
速を１０ｋｍに落としてもらいました。そこで、太郎さん
は行きに時速６ｋｍでジョギングし、自動車で帰ったとこ
ろ、同時に同時点を出発したにもかかわらず、同じ時間に
もどってきました。果たして、帰り太郎さんは時速何ｋｍ
の自動車でもどってきたでしょうか？
＜
太郎さんが時速６０ｋｍの自動車で帰るから、早く着くだろうと思っている生徒や、平均の時速（？）が
（６＋６０）÷２＝３３ｋｍ／ｈ
となることから、当然次郎さんより早いと考えます。
しかし、実際はそうならなく、次郎さんが早く戻って来ます。
問２．太郎さんがあることに気がついたと言っています。次郎さんは太郎さんの２倍の速さでぐんぐん進んで行きます。次郎さんは、太郎さんより先に往路を終えて折り返すのだから、その後太郎さんがようやく往路を終えたとき、次郎さんはどこにいるでしょうか？
次郎さんは太郎さんの２倍の距離を進んでいるはずだから…何と、次郎さんは既に出発点に戻っているのです。だから、太郎さんは、いくら早い乗り物に乗って帰っても、次郎さんを決して追い越しことは出来ないのです。
つまり、平均時速を求めるのには、いわゆる普通の「平均（これを数学的に［相加平均］という）」を使ってはいけません。その代わり［調和平均］と言われる平均を求めてください。これは、ａ，ｂの２個の正の実数に対して、２÷（
1/a＋1/b）で表され数式です。実際に計算してみると、２÷（
1/6＋1/60）＝120/11≒10．9となります。したがって、平均時速でみると、太郎さんが次郎さんより遅いことがわかります。
次ぎに、問２ですが、求める自動車の時速をｘｋｍとすると、今度は同時に着くのだから、平均時速が同じと考えて、
２÷（
1/6＋1/ｘ）＝１０ から、ｘ＝３０（ｋｍ/ｈ）…（答）
参考：他に平均には相乗平均があります。そこで、まとめてみます。
２つの正の整数ａ，ｂに対して、
２÷（ａ＋ｂ）………［相加平均］
√
ab ………［相乗平均］２÷（
1/a＋1/b）………［調和平均］と言って、次の不等式が一般に成り立ちます。
［相加平均］≧［相乗平均］≧［調和平均］
＜参考文献＞「算数はアタマのよくなるパズルだ」から改題
みくに出版：ピーター・フランクル著
