平成１１年８月６日

関する問題が出ていました。

問題１　２つの弦ＡＢ，ＣＤが４５゜で交わっている図のような円があります。

　　　　弧ＡＢ、弧ＣＤの長さがそれぞれ２π、３πであるとき、この円の面積を求めよ。

問題２　図のような円があって、∠ＣＰＤ＝４８゜，弧ＡＢと弧ＣＤの長さの比が１：３のとき、　

　　　　∠ＡＤＢの角度を求めよ。

問題３　図のような円があって、∠ＣＡＥ＝４０゜，∠ＡＰＤ＝３０゜で、弧ＡＢの長さと弧ＣＥの長さの

　　　　和が半円周の長さであるとき、∠ＣＢＤの角度を求めよ。

一般に、同一円周上において、円弧の長さとその弦のうえの円周角は当然、比例して、

さらに、中心角にも比例します。ただし、中心角は円周角の２倍です。

さて、これらのことを知っていて、参考図１を見て下さい。

∠ＢＰＤ＝（弧ＡＣの円周角）＋（弧ＢＤの円周角）

　　　　＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＤ　　…　（三角形ＢＣＰにおいて、１つの外角は他の２つの内角の和に等しい）

よって、ｐ゜＝ａ゜＋ｂ゜　　＜証明終わり＞

次に、参考図２を見て下さい。

∠ＢＰＤ＝（弧ＡＣの円周角）−（弧ＢＤの円周角）

　　　　＝∠ＡＢＣ−∠ＢＣＤ…　（三角形ＢＣＰにおいて、１つの外角は他の２つの内角の和に等しい）

　よって、ｐ゜＝ａ゜−ｂ゜　　＜証明終わり＞

以上、これが「アルハゼンの定理」です。このような問題があったら、思い出してください。

次回の第２６回応募問題は、この応用問題を考えています。