太郎さんの学校では、２４日から定期考査が始まります。数学の試験において、２０点満点の

問題を５題出題しました。各問題とも０点、５点、１０点、１５点、２０点のいずれかで全部を

採点するつもりです。次の問に答えよ。

問題１．可能な採点方法は何通りあるか。

問題２．少なくとも３問が正解で、あとは部分点の場合の採点方法は何通りあるか。

問題３．総得点が８０点以上である採点方法は何通りあるか。

　太郎さんは、採点を始める前に考えておきたいと思っています。

皆さん、答えがわかったら、その答えになる考え方とペンネームを添えて、

　　メールで送ってください。待っています。

＜浜田　明巳＞さんからの解答９月２５日受信 、10月1日更新

今回はＣを使って解いてみました．

　ten1からten5（ten[1]からten[5]）で各問題の点数を表し，問題１では，しらみつぶしで場合の数（kotae[1]）を数えます．問題２では，３問以上２０点となる（kaisuu）場合の数（kotae[2]）を数えます．問題３では，合計（goukei）が８０点以上となる場合の数（kotae[3]）を数えます．

　このプログラムにより，

　　問題１　３１２５通り

　　問題２　１８１通り

　　問題３　１２６通り

となる事が分かりました．

　/*mondai29.c*/#include<stdio.h>

void main(){int kotae[4],ten[6],ten1,ten2,ten3,ten4,ten5,j,kaisuu,goukei;

for(j=1;j<=3;j++){ kotae[j]=0;}

for(ten1=0;ten1<=20;ten1+=5){ten[1]=ten1;

for(ten2=0;ten2<=20;ten2+=5){ten[2]=ten2;

for(ten3=0;ten3<=20;ten3+=5){ten[3]=ten3;

for(ten4=0;ten4<=20;ten4+=5){ten[4]=ten4;

for(ten5=0;ten5<=20;ten5+=5){ten[5]=ten5;

kotae[1]++;

kaisuu=0;

goukei=0;

for(j=1;j<=5;j++){kaisuu+=(ten[j]==20);goukei+=ten[j];}

kotae[2]+=(kaisuu>=3);

kotae[3]+=(goukei>=80);

for(j=1;j<=5;j++){printf("%2d ",ten[j]);}

for(j=1;j<=3;j++){printf("%5d ",kotae[j]);}

printf("\n");}　　　　　　　　

M系列(Reed-solomon符号)の生成多項式の判定です。

(次数 n が大きくなると結構計算時間が必要になる)

さて、以下に回答例を示します。

問題１．可能な採点方法は何通りあるか。

　一問あたり、{0,5,10,15,20}の5種類の回答点を持ち、

合計5問なので、5^5= exp(log(5)*5)=3125 <= 関数電卓での計算

＜水の流れ：コメント＞　佐藤さんから以下の問題をもらいました。　

逆に問題を出します。{0,1,3,5,10,20}が部分点の付け方の場合、

合計点の組み合わせは何種類あるでしょうか？

(まともに、計算することは難しそう。

コンピュータで自動計算させるのに適した問題ですね？)

問題２．少なくとも３問が正解で、あとは部分点の場合の採点方法は何通りあるか。

正解数は{5,4,3}で、各々のケースの和なので

各ケースで、正解･ミスありの各々の数は、{20},{15,10,5,0}で1種類、4種類

正解の箇所については、ケース分けする必要無しであるので、

各正解数に対して「ミスの位置の組み合わせ」と「ミスの仕方」を掛けることで

回答が得られる。

5問正解の場合 : 1 種類

4問正解の場合 : 5*4 = 20 種類

3問正解の場合 : (5*4/2)*(4*4) = 160 種類

組み合わせは n C m = n!/m! だったかな？

　　答え： 181種類

問題３．総得点が８０点以上である採点方法は何通りあるか。

点の損失は20点以下、各々の損失の組み合わせとして

損失 20 : {20},{15,5},{10,10},{10,5,5},{5,5,5,5}

{20} : 5　　{15,5} : 20　　{10,10} : 10　　{10,5,5} : 5*6=30 　　{5,5,5,5} : 5

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　local-sum : 52

損失 15 : {15},{10,5},{5,5,5}

{15} : 5　　{10,5} : 20　　{5,5,5} : 10　　　　　　　　　　　　　　　　local-sum : 35

損失 10 : 　{10},{5,5}　　{10} : 5　{5,5} : 10　　　　　　　　　　　　local-sum : 15

損失 5 : {5}　　{5} : 5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　local-sum : 5

損失 0 : {0}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　local-sum : 1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　total : 126

　今回の課題についての、「教育課題(指針)」の予想

組み合わせに関する問題　　　　　　　　　　　　　　　重複ケースの削減方法の考察

効率の良い場合分け方法の考え方　　　　　　　　　　　比較的、手で計算しやすい出題

＜浜田　明巳＞さんからの採点の問題補題解答１０月７日受信 、10月８日更新

今回は一太郎マクロで解答プログラムを作ってみました．

　プログラムの内容は以下の通りです．しらみつぶしで，部分点の合計点数（%点数）を計算し，その点数が存在するとき，%合計(%点数)の値を１とします．その%点数がない場合は%合計(%点数)の値を０とします．最後に，%点数が０から１００までの間で，%合計(%点数)の値が１の%点数を数え上げ，表示します．

　このプログラムにより，答は９１通りになることが分かります．

　補題　：{０,１,３,５,１０,２０}が部分点の付け方の場合，合計点の組み合わせは何種類あるでしょうか？

2) 補題

答えとしては「間違い」です。その理由としては、100点が満点で、１問20点MAXなので合計5問、その場合、最大点のすぐ下は１問が正解の次点で10点、ゆえに、90点(95点の組み合わせは存在しない)というだけでは、あまりにも不親切なので、C言語でプログラムを組みました。その回答を示します。正解：76通り

No1 : 0 ten 、 No.2 : 1ten 、 No.3 ：2 ten 、 No.4 : 3 ten　、No.5 : 4 ten 、 No. 6 : 5 ten

No. 7 : 6 ten No. 8 : 7 ten No. 9 : 8 ten No. 10 : 9 ten No. 11 : 10 ten

No. 12 : 11 ten No. 13 : 12 ten No. 14 : 13 ten No. 15 : 14 ten No. 16 : 15 ten

No. 17 : 16 ten No. 18 : 17 ten No. 19 : 18 ten No. 20 : 19 ten No. 21 : 20 ten

No. 22 : 21 ten No. 23 : 22 ten No. 24 : 23 ten No. 25 : 24 ten No. 26 : 25 ten

No. 27 : 26 ten No. 28 : 27 ten No. 29 : 28 ten No. 30 : 29 ten No. 31 : 30 ten

No. 32 : 31 ten No. 33 : 32 ten No. 34 : 33 ten No. 35 : 34 ten No. 36 : 35 ten

No. 37 : 36 ten No. 38 : 37 ten No. 39 : 38 ten No. 40 : 39 ten No. 41 : 40 ten

No. 42 : 41 ten No. 43 : 42 ten No. 44 : 43 ten No. 45 : 44 ten No. 46 : 45 ten

No. 47 : 46 ten No. 48 : 47 ten No. 49 : 48 ten No. 50 : 49 ten No. 51 : 50 ten

No. 52 : 51 ten No. 53 : 52 ten No. 54 : 53 ten No. 55 : 54 ten No. 56 : 55 ten

No. 57 : 56 ten No. 58 : 58 ten No. 59 : 60 ten No. 60 : 61 ten No. 61 : 62 ten

No. 62 : 63 ten No. 63 : 64 ten No. 64 : 65 ten No. 65 : 66 ten No. 66 : 68 ten

No. 67 : 70 ten No. 68 : 71 ten No. 73 : 83 ten No. 74 : 85 ten No. 75 : 90 ten

No. 76 : 100 ten

以下はプログラム　簡単な説明としては、全ての点のケースのテーブル(フラグ)を用意し、組み合わせとしてありうるフラグをすべて立てた上で、それをチェックするというものです。はっきり言って、何も考えていません。組合わせの数が、300通り程度なのでこの手法でOKです。もっと膨大な組み合わせがある場合は、計算量を削減するように工夫しなくてはなりません。その例としては、(過去にC Magagineという雑誌で出た問題です。)

<start>　ある10桁の数字がある。各々の桁の数字を10乗した値を加算し、その答えが、元の値の10桁を並べ直した組み合わせであるものを答えとする。<end>というようなものです。

#include <stdio.h>

#define TEN_X 6

#define MONDAISUU 5

#define TEN_MAX 101 // 0 to 100 need table 101

int　ten_x[TEN_X]= {0,1,3,5,10,20} ;

int　main( void )

{int i, j, x ;　int ten_p[MONDAISUU] ;

char flg[TEN_MAX] ;// clear flg

for( i= 0 ; i< TEN_MAX ; i++ )

flg[i]= 0 ;// counter clear

for( i= 0 ; i< MONDAISUU ; i++ )

ten_p[i]= 0 ;　// start count

do {x= 0 ;　for( i= 0 ; i< MONDAISUU ; i++ )

{x+= ten_x[ten_p[i]] ;}

flg[x]= 1 ; i= 0 ; x= 1 ;

do { ten_p[i]++ ;if ( ten_p[i]< TEN_X ) break ;

ten_p[i]= 0 ;i++ ;

if ( i== MONDAISUU )

{x= 0 ;break ;}

} while( 1 ) ;} while ( x ) ;　// count result

j= 0 ;

for( i= 0 ; i< TEN_MAX ; i++ )

{if ( flg[i]== 0 ) continue ; printf( "No. %2d : %3d ten ", ++j, i ) ;}

return 0 ;}

＜水の流れ：コメント＞　１０月８日記入

しまった。補題の問題を読み間違えた。{0,1,3,5,10,20}が部分点の付け方の場合でしたね。こちらは、{0,1,3,5,10,15,20}が部分点の付け方の場合として、解法しました。ごめんなさい。

では、Expand[(1+x+x^3+x^5+x^10+x^20)^5]の展開式の中にすべてがあります。

＜浜田　明巳＞さんからの採点の問題補題解答訂正編１０月１２日受信 、10月１３日更新

採点の問題補題解答訂正編

　先日は大変失礼しました。あの間違いは完璧に私の不手際です。申し訳有りませんでした。改めて，訂正したプログラムとデータを同封します。このプログラムにより，答は７６通りになることが分かります．

一太郎マクロ　errorbreakmode(0,0,0)

%点(0)=0　%点(1)=1　%点(2)=3　%点(3)=5　%点(4)=10　%点(5)=20

for %j=0 to 100　%合計(%j)=0

next　for %j1=0 to 5　%jj(1)=%j1

for %j2=0 to 5　 %jj(2)=%j2

for %j3=0 to 5　%jj(3)=%j3

for %j4=0 to 5　%jj(4)=%j4

for %j5=0 to 5　 %jj(5)=%j5

%点数=0

for %j=1 to 5　 %点数=%点数+%点(%jj(%j))

next　 %合計(%点数)=1　next　next　 next　next　next

%組合せ=0　for %j=0 to 100

if %合計(%j)=1 then

%組合せ=%組合せ+1　 insert(%組合せ&"番目　"&%j&"点",1)

end if　next　end

1番目　0点　2番目　1点　3番目　2点　4番目　3点　5番目　4点　6番目　5点　7番目　6点　8番目　7点　

9番目　8点　　10番目　9点　　11番目　10点　12番目　11点　13番目　12点　14番目　13点　15番目　14点

16番目　15点　17番目　16点　18番目　17点　19番目　18点　20番目　19点　21番目　20点　22番目　21点

23番目　22点　24番目　23点　25番目　24点　26番目　25点　27番目　26点　28番目　27点　29番目　28点

30番目　29点　31番目　30点　32番目　31点　33番目　32点　34番目　33点　35番目　34点　36番目　35点

37番目　36点　38番目　37点　39番目　38点　40番目　39点　41番目　40点　42番目　41点　43番目　42点

44番目　43点　45番目　44点　46番目　45点　47番目　46点　48番目　47点　49番目　48点　50番目　49点

51番目　50点　52番目　51点　53番目　52点　54番目　53点　55番目　54点　56番目　55点　57番目　56点

58番目　58点　59番目　60点　60番目　61点　61番目　62点　62番目　63点　63番目　64点　64番目　65点

65番目　66点　66番目　68点　67番目　70点　68番目　71点　69番目　73点　70番目　75点　71番目　80点

72番目　81点　73番目　83点　74番目　85点　75番目　90点　76番目　100点

Ｃ言語

/*hodai2*/

#include<stdio.h>

void main(){

int ten[7],goukei[102],tensuu,kumiawase,j,j1,j2,j3,j4,j5,jj[6];

ten[0]=0;

ten[1]=1;

ten[2]=3;

ten[3]=5;

ten[4]=10;

ten[5]=20;

for(j=0;j<=100;j++){goukei[j]=0;}

for(j1=0;j1<=5;j1++){jj[1]=j1;

for(j2=0;j2<=5;j2++){jj[2]=j2;

for(j3=0;j3<=5;j3++){jj[3]=j3;

for(j4=0;j4<=5;j4++){jj[4]=j4;

for(j5=0;j5<=5;j5++){jj[5]=j5;

tensuu=0;

for(j=1;j<=5;j++){tensuu+=ten[jj[j]];}

goukei[tensuu]=1;}}}}}

kumiawase=0;

for(j=0;j<=100;j++){if(goukei[j]==1){kumiawase++;printf("%d ",j);}}

printf("\n");printf("答=%d\n",kumiawase);}

＜水の流れ：コメント＞　１０月１２日記入

これで、同じ答になりました。これからもよろしくお願いします。