　　　　　　　　　　　　　　　　　　平成１０年１０月５日

　　　　　　　　　　　　　　　　　平成１０年１１月４日

[流れ星]

第３回数学的な応募問題

＜解答募集期間：１１月４日～１１月１５日＞

［外国での買い物］

今、太郎さんはある外国に来ています。この国には、

　　７セントと８セントの硬貨しかありません。

問１．太郎さんは、この国のあるファーストフード店で、５３

　　セントの買い物をしました。レジでどんなふうにお金を支

　　払えば、よいでしょうか？（おつりを考えないで）

問２．次に、太郎さんはうっかりして、１９セントの品物を買

　　い忘れて、再びレジに来ました。今度はどのようにして支

　　払えばよいでしょうか？（おつりを出すことを考えて）

問３．この国では、どうしてもおつりをもらわなければならな　　　

　　い値段があります。それはどんな値段でしょうか？

皆さん、答えがわかったら、その答えになる考え方とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。

＜参考文献＞「算数オリンピック」の中から改題

　　　　　　講談社：東大算数研究会・編集

　　＜学校＞　mizuno@kaizukita-hs.hirata.gifu.jp

　　<自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

Ｂａｃｋ

解　答　編

                         ☆☆☆ジュンさんからの解答です！！☆☆☆
 
１．について
 
　　　７セントが３枚で２１セント、それに８セントが４枚で３２セント、 
　　合計５３セントです。
　　　５３セントの支払い方法はこれしかないと思います。
 
　　５３から７を引き、それが８で割れるかどうか確認します。 だめなら
　　また、７を引きます。 ８で割れものがみつかればしめたもの！
 
２．３．について
 
　　ａ＝８ｍ＋７ｎ（ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数）を次のように変形
　　します。
 
　　　ａ＝８ｍ＋７ｎ
　　　＝７(ｍ＋ｎ)＋ｍ
　　　ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数
 
　　　整数ａを７の剰余類で分けます。
 
　　　1. ａ＝７ｋのとき、
      　　ｍ＝０とする。
     　　 ａ＝７ｎとなるので、ｎに適当な数を与えることで、すべてＯＫ。
 
　　　２．ａ＝７ｋ＋１のとき、
   　　   ｍ＝１とする。
 　
   　　   ａ＝７(１＋ｎ)＋１
    　　　＝７ｎ＋８
 
 　　     となるので、ｎに適当な数を与えることで、８以上の数については
　　　　　ＯＫ。
 
　　　３. ａ＝７ｋ＋２のとき、
      　　ｍ＝２とする。
 
　　      ａ＝７(２＋ｎ)＋２
    　  　＝７ｎ＋１６
 
      となるので、ｎに適当な数を与えることで、１６以上の数については
　　　ＯＫ。
 
　　　４. ａ＝７ｋ＋３のとき、
      　　ｍ＝３とする。
 
　　      ａ＝７(３＋ｎ)＋３
  　　  　＝７ｎ＋２４
 　
   　   となるので、ｎに適当な数を与えることで、２４以上の数については
　　　　ＯＫ。
 
　　　５. ａ＝７ｋ＋４のとき、
  　    　ｍ＝４とする。
 
 　　     ａ＝７(４＋ｎ)＋４
     　 　＝７ｎ＋３２
 
      となるので、ｎに適当な数を与えることで、３２以上の数については
　　　ＯＫ。
 
　　　６. ａ＝７ｋ＋５のとき、
      　　ｍ＝５とする。
 
 　　     ａ＝７(５＋ｎ)＋５
     　　　＝７ｎ＋４０
 
      となるので、ｎに適当な数を与えることで、４０以上の数については
　　　ＯＫ。
 
　　　７. ａ＝７ｋ＋６のとき、
 　　     ｍ＝６とする。
 
 　　     ａ＝７(６＋ｎ)＋６
     　 　＝７ｎ＋４８
 
      となるので、ｎに適当な数を与えることで、４８以上の数については
　　　ＯＫ。
 
　ｍの値はそれぞれ５の剰余に合わせた最低の数を設定しています。 
ですから、条件より小さい数については、 ｍとｎをどうとっても不可能である
ということがいえます。
 以上のことから、表を作ってみました。

                     １  ２ ３ ４  ５ ６ ７
 
                     ８  ９ １ １  １ １ １
　　　　　　　　　　　　　　０ １  ２ ３ ４
                     １  １ １ １  １ ２ ２
                     ５  ６ ７ ８  ９ ０ １
                     ２  ２ ２ ２  ２ ２ ２
                     ２  ３ ４ ５  ６ ７ ８
                     ２  ３ ３ ３  ３ ３ ３
                     ９  ０ １ ２  ３ ４ ５
                     ３  ３ ３ ３  ４ ４ ４
                     ６  ７ ８ ９  ０ １ ２
                     ４  ４ ４ ４  ４ ４ ４
                     ３  ４ ５ ６  ７ ８ ９
 
                     ・
                     ・・
 
 赤になっているのが、 ａ＝８ｍ＋７ｎ（ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数）
 と 表すことできる整数です。
 
 ２．について、１９セントを７セントコインと８セントコインで 支払うのは
 不可能ということになります。
 
 ３．については、上の表で明らかです。 黒いままのものが、不可能な値段で
 す。三角形に残ります。











                         ☆☆☆ｋｉｙｏさんからの解答です！！☆☆☆
問１．
 　　　　５３÷７＝７．．．４
 　　　　　７－４＝３
 　　　　　７×３＝２１
 　　　　５３－２１＝３２
 　　　　３２÷８＝４　　　　　　答え　８セント４枚、７セント３枚出す。
 
問２．
 　　　　１９÷８＝２．．．３
 　　　　　７×３＝２１
 　　　　２１＋１９＝４０
 　　　　４０÷８＝５
 　　　　　　　　　　　　　　　　答え　８セント５枚出し、７セント３枚おつり。
問３．
 　　　１，２，３，４，５，６
 　　　９，１０，１１，１２，１３
 　　　１７，１８，１９，２０
 　　　２５，２６，２７
 　　　３３，３４
 　　　４１
 　　　以上です。







                         ☆☆☆海津北生徒２年４組からの解答です！！☆☆☆
 
問１．５３＝７ﾗ３＋８ﾗ４　より
　　　７セント硬貨を３枚、８セント硬貨を４枚払う

問２．１９＝７ﾗ５－８ﾗ２　より
　　　７セント硬貨を５枚払い、８セント硬貨２枚をもらえばよい

　　　　＜自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

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解 答 編

解　答　編