[流れ星]平成１０年１１月４日
[流れ星]
第３回数学的な応募問題
＜解答募集期間：１１月４日～１１月１５日＞
［外国での買い物］
７セントと８セントの硬貨しかありません。
問１．太郎さんは、この国のあるファーストフード店で、５３
セントの買い物をしました。レジでどんなふうにお金を支
払えば、よいでしょうか？（おつりを考えないで）
問２．次に、太郎さんはうっかりして、１９セントの品物を買
い忘れて、再びレジに来ました。今度はどのようにして支
払えばよいでしょうか？（おつりを出すことを考えて）
問３．この国では、どうしてもおつりをもらわなければならな
い値段があります。それはどんな値段でしょうか？
＜参考文献＞「算数オリンピック」の中から改題
講談社：東大算数研究会・編集
＜学校＞ mizuno@kaizukita-hs.hirata.gifu.jp
解 答 編 |
☆☆☆ジュンさんからの解答です！！☆☆☆
１．について
７セントが３枚で２１セント、それに８セントが４枚で３２セント、
合計５３セントです。
５３セントの支払い方法はこれしかないと思います。
５３から７を引き、それが８で割れるかどうか確認します。 だめなら
また、７を引きます。 ８で割れものがみつかればしめたもの！
２．３．について
ａ＝８ｍ＋７ｎ（ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数）を次のように変形
します。
ａ＝８ｍ＋７ｎ
＝７(ｍ＋ｎ)＋ｍ
ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数
整数ａを７の剰余類で分けます。
1. ａ＝７ｋのとき、
ｍ＝０とする。
ａ＝７ｎとなるので、ｎに適当な数を与えることで、すべてＯＫ。
２．ａ＝７ｋ＋１のとき、
ｍ＝１とする。
ａ＝７(１＋ｎ)＋１
＝７ｎ＋８
となるので、ｎに適当な数を与えることで、８以上の数については
ＯＫ。
３. ａ＝７ｋ＋２のとき、
ｍ＝２とする。
ａ＝７(２＋ｎ)＋２
＝７ｎ＋１６
となるので、ｎに適当な数を与えることで、１６以上の数については
ＯＫ。
４. ａ＝７ｋ＋３のとき、
ｍ＝３とする。
ａ＝７(３＋ｎ)＋３
＝７ｎ＋２４
となるので、ｎに適当な数を与えることで、２４以上の数については
ＯＫ。
５. ａ＝７ｋ＋４のとき、
ｍ＝４とする。
ａ＝７(４＋ｎ)＋４
＝７ｎ＋３２
となるので、ｎに適当な数を与えることで、３２以上の数については
ＯＫ。
６. ａ＝７ｋ＋５のとき、
ｍ＝５とする。
ａ＝７(５＋ｎ)＋５
＝７ｎ＋４０
となるので、ｎに適当な数を与えることで、４０以上の数については
ＯＫ。
７. ａ＝７ｋ＋６のとき、
ｍ＝６とする。
ａ＝７(６＋ｎ)＋６
＝７ｎ＋４８
となるので、ｎに適当な数を与えることで、４８以上の数については
ＯＫ。
ｍの値はそれぞれ５の剰余に合わせた最低の数を設定しています。
ですから、条件より小さい数については、 ｍとｎをどうとっても不可能である
ということがいえます。
以上のことから、表を作ってみました。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
８ ９ １ １ １ １ １
０ １ ２ ３ ４
１ １ １ １ １ ２ ２
５ ６ ７ ８ ９ ０ １
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
２ ３ ３ ３ ３ ３ ３
９ ０ １ ２ ３ ４ ５
３ ３ ３ ３ ４ ４ ４
６ ７ ８ ９ ０ １ ２
４ ４ ４ ４ ４ ４ ４
３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
・
・・
赤になっているのが、 ａ＝８ｍ＋７ｎ（ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数）
と 表すことできる整数です。
２．について、１９セントを７セントコインと８セントコインで 支払うのは
不可能ということになります。
３．については、上の表で明らかです。 黒いままのものが、不可能な値段で
す。三角形に残ります。
☆☆☆ｋｉｙｏさんからの解答です！！☆☆☆
問１．
５３÷７＝７．．．４
７－４＝３
７×３＝２１
５３－２１＝３２
３２÷８＝４ 答え ８セント４枚、７セント３枚出す。
問２．
１９÷８＝２．．．３
７×３＝２１
２１＋１９＝４０
４０÷８＝５
答え ８セント５枚出し、７セント３枚おつり。
問３．
１，２，３，４，５，６
９，１０，１１，１２，１３
１７，１８，１９，２０
２５，２６，２７
３３，３４
４１
以上です。
☆☆☆海津北生徒２年４組からの解答です！！☆☆☆
問１．５３＝７ﾗ３＋８ﾗ４ より
７セント硬貨を３枚、８セント硬貨を４枚払う
問２．１９＝７ﾗ５－８ﾗ２ より
７セント硬貨を５枚払い、８セント硬貨２枚をもらえばよい
