＜ch3coohさん＞解答受信１０月６日、更新１３日

全体について　 時計の長針･短針の動き方により、正確な120°が表現できるか否かが決定される。前に見たことのある時計では、長針の移動タイミングとして、20sec, 30sec, 15sec, 60sec等がある。(60という数字は、結構約数が多く、2,3,4,5,6までの全ての値で割り切ることが出来る。これは、細かい時間の設定を行いやすく、昔の人の知恵と合理性に敬意を表したいと考えられる。)また、短針は長針に合わせて動く方式(1分単位など)や、長針と同様にある程度の大きさの刻み幅がある物に分類できる。 厳密に120°とすると、時計の特性の問題となるため、課題の題意から外れるものとし、大体120°(180°)になることがあると読み替えて回答する。

問題１　答え　2:54　　4:43　　8:23　　10:11

AM,PMがあるので、合計 8回　全ての数字の和はn(n+1)/2= 78　72/3= 26

120°に含まれる数字の組み合わせとして、順列の場合と12->1時の段差を含む組み合わせが考えられる。

(含まれる数字の数は4のみ)

順列の組み合わせの場合、n+n+1+n+2+n+3= 4n+6であり、4n+6=26を満たす整数は5、つまり5,6,7,8の組み合わせ

段差を含む場合は11,12,1,2以外は10以下又は30以上になる。

組み合わせとして{5,6,7,8},{11,12,1,2}の各組に対し、短針の位置を決定した後に長針をもっともらしい値に調整する。

問題２　答え

3:48, 9:17

組み合わせとして、{4,5,6,7,8,9}と{10,11,12,1,2,3}になるが、

これはお互いの排他集合、ゆえに、数字の組み合わせは１ケースのみ。　以上

＜水の流れ：コメント＞１０月１２日記入

時計では、長針の移動タイミングとして、20sec, 30sec, 15sec, 60sec等がある。ということは知りませんでした。

私の思いは、２針ともスムーズに連続的に動いているとして考えました。

＜ヨッシーさん＞解答受信１０月１２日、更新１３日

第３０回数学的な応募問題の答えです。

文字盤上の数の和は、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12＝78 です。

１分間に長針は６°、短針は0.5°動きます。

問題１

２針が１２０°をなすとき、その間には４つの数字があります。

※４時、８時の場合は、いずれも問題の条件を満たしません。

４つの連続した数で２６を作るには、問題に示されている（11,12,1,2)の他に(5,6,7,8) があります。

(11,12,1,2) をはさむ場合１＝１０時台で針が１２０°

１０時の時点で２針は６０°をなしており、１分につき5.5°角度が広がるので、

　（１２０−６０）÷5.5＝120/11＝10と10/11

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　１０時１０と10/11分

(11,12,1,2) をはさむ場合２＝２時前で針が１２０°

　２時の時点で２針は６０°をなしており、１分戻すごとに5.5°角度が広がるので、

　（１２０−６０）÷5.5＝120/11

　６０−120/11＝540/11＝49と1/11

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　１時４９と1/11分

(5,6,7,8) をはさむ場合１＝８時台で針が１２０°

８時の時点で２針は２４０°をなしており、１分につき5.5°角度が狭まるので、

　（２４０−１２０）÷5.5＝240/11＝21と9/11

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　８時２１と9/11分

(5,6,7,8) をはさむ場合２＝５時前で針が１２０°

　５時の時点で２針は２１０°をなしており、１分戻すごとに5.5°角度が狭まるので、

　（２１０−１２０）÷5.5＝180/11

　６０−180/11＝480/11＝43と7/11

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　４時４３と7/11分

問題２

２針が１直線に並んでいるとき、文字盤の数字は６つずつに分けられます。

※６時の場合は、問題の条件を満たしません

６つの連続した数で、３９を作るには(4,5,6,7,8,9) と (10,11,12,1,2,3) があり、

いずれにせよ、３と４の間、９と１０の間に針がある状態です。

９時台で針が１８０°の場合

　９時の時点で２針は９０°をなしており、１分につき5.5°角度が広がるので、

　（１８０−９０）÷5.5＝180/11＝16と4/11

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　９時１６と4/11分

４時前で針が１８０°の場合

　４時の時点で２針は１２０°をなしており、１分戻すごとに5.5°角度が広がるので、

　（１８０−１２０）÷5.5＝120/11

　６０−120/11＝540/11＝49と1/11

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　３時４９と1/11分

＜水の流れ：コメント＞１０月１２日記入

(11,12,1,2) をはさむ場合２＝２時前で針が１２０°

　２時の時点で２針は６０°をなしており、１分戻すごとに5.5°角度が広がるので、

　（１２０−６０）÷5.5＝120/11

　６０−120/11＝540/11＝49と1/11

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　１時４９と1/11分

これは、戻してしまうと、和が３等分していません。角度は１２０度ですが…　

＜ヨッシーさん＞一部訂正解答受信１０月１３日、更新１４日

そうでした。

以上は、以下のように直してください。

(11,12,1,2) をはさむ場合２＝３時前で針が１２０°

　３時の時点で２針は９０°をなしており、１分戻すごとに5.5°角度が広がるので、

　（１２０−９０）÷5.5＝60/11

　６０−60/11＝600/11＝54と6/11

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　２時５４と6/11分　

＜水の流れ：コメント＞１０月１３日記入

今度は正解です。また、時計の長針と短針を入れ替えてしまったとき、つまり、長針のほうが短針の動き方をし、短針のほうが長針の動きをするのです。このような時計を見て、文字盤の上では二つの針が正しい時間を指すことのできるのは、半日（１２時間）のうちで何回あるでしょう。この時計は長針と短針が入れ替わっている以外、まったく正確に動いているものとする。皆さんも考えてみてはどうですか。

＜sambaGREENさん＞上の補題解答受信１０月２０日、更新２３日

＊＊＊＊＊ここから　回答　＊＊＊＊＊

正しい長針と短針の位置関係を整理しておきます。

（位置はすべて，１２時方向からの文字通り時計回りの角度）

ａ時ｂ分の長針，短針の位置をｘ，ｙとすると

ｙ＝30ａ＋ｂ/２　，　ｘ＝6ｂ　から　ｂを消去して　　ｙ＝30ａ＋ｘ/12

したがって，「文字盤の上では二つの針が正しい時間を指す」というのは

長針と短針の位置の間に

ｙ＝30ｎ＋ｘ/12　（０≦ｎ≦11）の関係が成立するとき。

いま正しい時間がａ時ｂ分（０≦ａ≦11，０≦ｂ＜60）のときの

問題の時計の長針，短針の位置をｘ’，ｙ’とすると

ｙ’＝30ａ＋ｂ/２　，　ｘ’＝6ｂ　となり

ｙ＝ｘ’，ｘ＝ｙ’のとき，二つの針が正しい時間を指すから

6ｂ＝30ｎ＋（30ａ＋ｂ/２）/12

これを整理して，ｂ＝60（12ｎ＋ａ）/143　

０≦ｂ＜60　より，　０≦（12ｎ＋ａ）/143＜１

すなわち，　０≦12ｎ＋ａ＜143

また，０≦ｎ≦11，０≦ａ≦11　だから，12ｎ＋ａを１２進数の２桁以下の数と考えると

０〜143（12＾2−１）のすべての整数をとりうるから，

条件をを満たすａ，ｎは143組存在する。

よって，半日では１４３回（１２時間経った時も数えるなら１４４回）

つまり，720/143（＝5.0349・・・）分毎に１回起こる。

【コメント】最初の５分間を除いて，必ず，５分間に一度，

「文字盤の上では二つの針が正しい時間を指す」ときがあるのは，直感的には分かったのですが

その証明が思いつかず，このような解答になりました。

144（or143）×720　の格子に引いた対角線もどき（or対角線）と，横線の交点とを

うまく対応させる説明ができれば，算数になるんですが・・・。

＜水の流れ：コメント＞１０月２３日記入

きれいなエレガントな解法です。正解ですね。感心しました。さらに、１２進法にも着手しています。

まだ、他にも考え方が有りそうです。１２進法での考えだけでも導けるかもね。