第３３回解答を投稿します。

「問題２」は１つに決まる事を示すのが結構大変でした。

変な数列はどっかでみたような気がするのですが・・・。うーーん。考え中。

【問題１】

５つの輪の和の合計は　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋２（Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＋Ｈ）＝１４×５

また，Ａ〜Ｈの和は５５であるから，Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＋Ｈ＝７０−５５＝１５

したがって，Ｆ〜Ｈは１〜５，Ａ〜Ｅは６〜１０とわかる。

条件　Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ＜Ｅ　から　Ａ＝６，Ｂ＝７，Ｃ＝８，Ｄ＝９，Ｅ＝１０が決定。

Ａ＋Ｆ＋Ｇ＝１４　より　Ｆ＋Ｇ＝８，

Ｅ＋Ｆ＋Ｊ＝１４　より　Ｆ＋Ｊ＝４となり　Ｇ−Ｊ＝４

したがって，Ｇ＝５，Ｊ＝１が決まり，順次，Ｆ＝３，Ｈ＝２，Ｉ＝４が決定。

答　　Ａ＝６，Ｂ＝７，Ｃ＝８，Ｄ＝９，Ｅ＝１０　Ｆ＝３，Ｇ＝５，Ｈ＝２，Ｉ＝４，Ｊ＝１

【問題２】

１つの正方形の和をｋとすると，大，中の正方形に注目して

　（Ａ＋Ｇ＋Ｉ＋Ｃ）＋（Ｂ＋Ｄ＋Ｈ＋Ｆ）＋Ｅ＝４５であるから

　　２ｋ＋Ｅ＝４５・・・�@

また，小さな４つの正方形の和の合計を考えると

　（Ａ＋Ｇ＋Ｉ＋Ｃ）＋２（Ｂ＋Ｄ＋Ｈ＋Ｆ）＋４Ｅ＝４ｋとなるから

　　４Ｅ＝ｋ・・・�A

　　�@，�Aから　Ｅ＝５，ｋ＝２０

次に対角の位置にある小さな２つの正方形の和を考えると

　（Ａ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｂ）＋（Ｅ＋Ｈ＋Ｉ＋Ｆ）＝４０より

　　Ａ＋Ｂ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｈ＋Ｉ＋Ｆ＝３５　となり　

　　Ｃ＋Ｇ＝１０　また対称性から　Ａ＋Ｉ＝１０・・・�B

左上の正方形で　Ｅ＝５であるから，

　　Ａ＋Ｂ＋Ｄ＝１５　となり，Ａ，Ｂ，Ｄのうち奇数は１個または３個

　しかし，１，３，７，９のうち３個の和で１５は作れないから，奇数は１個

　Ｂが奇数であるとすると，Ａ，Ｄは偶数，したがって，Ｃ，Ｆも偶数

　　　�Bから，Ｇ，Ｉも偶数でなければならなくなるので，不可能。

　Ｄが奇数の場合も同様に不可能で，　Ａが奇数，Ｂ，Ｄが偶数。

対称性から，Ａ，Ｇ，Ｉ，Ｃが奇数となり，条件　Ａ＜Ｃ＜Ｇ，Ａ＜Ｉと�Bから

　Ａ＝１，Ｃ＝３，Ｇ＝７，Ｉ＝９　が決定

再び左上の正方形で　Ａ＝１，Ｅ＝５であるから　Ｂ＋Ｄ＝１４　

また左下の正方形で　Ｇ＝７，Ｅ＝５であるから　Ｄ＋Ｈ＝８　　よって　Ｂ−Ｈ＝６

　　したがって，Ｂ＝８，Ｈ＝２が決まり，順次Ｄ＝６，Ｆ＝４が決定。

答　　Ａ＝１，Ｂ＝８，Ｃ＝３　Ｄ＝６，Ｅ＝５，Ｆ＝４　Ｇ＝７，Ｈ＝２，Ｉ＝９

＜ch3cooh＞さんからの解答：受信１日の午前１０時２２分

問１　A=6, B=7, C=8, D=9, E=10　F=3, G=5, H=2, I=4, J=1

これは、手で解きました（当てずっぽう）

手順としては、

(1)合計の数が14なので、内周の値(FGHIJ)は小さな値と予想

(2)順番に値を入れるとあまり都合が良く無さそう

(3)とりあえず、星型を書く要領で1,2,3,4,5を代入

(4)14にするための値を計算

(5)何と正解！！

と一発で解けました。（運が良すぎる）

他の答えは多分無いような気がします。（プログラムで試すべきか？）

問２

正方形がABED, BCFE, DEHG, EFIH, BFHD, ABCFIHGDとすると、

明らかにBFHD<ABCFIHGDであるため、答えはない。

但し、ABCFIHGDについて、隅の値のみを用いるとすると･･･

1,8,3,6,5,4,7,2,9　(これも手で解きました。)

　手順は秘密(魔法陣の類似方法で原案作成、あとは手で調整)　　　　以上　

＜ヨッシー＞さんからの解答：受信１日の午後３時５４分

第３３回数学的な応募問題の答えです。

問題１

　円上の３つの数をすべて足すと　１４×５＝７０　

　このとき、Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊは２回ずつ足されていて、その分

　１＋２＋３＋・・・＋１０＝５５

　より大きい。つまり、Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＋Ｊ＝１５

　よって、Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊは１，２，３，４，５のいずれかで、

　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅは６，７，８，９，１０のいずれかであり、

　しかもＡ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ＜Ｅより、

　Ａ＝６，Ｂ＝７，Ｃ＝８，Ｄ＝９，Ｅ＝１０　である。

　一方、１を含む円は合計１４にするためには

　１＋５＋８、１＋４＋９，１＋３＋１０　の組み合わせしかなく、

　１は、ＩかＪに入る。

　１がＩに入ると、Ｊ＝４となり、ＥとＪですでに１４になってしまう。

　従って、１はＪに入り、順々に調べると、

　Ｆ＝３，Ｇ＝５，Ｈ＝２，Ｉ＝４，Ｊ＝１　である。

問題２

　「正方形の周上の数字」は「正方形の角の数字」と解釈します。

　ＡＣＧＩの合計とＢＤＦＨの合計が等しくＥだけが取り残されることから、

　１＋２＋・・・９＝４５　から、Ｅを引いて２で割った数が正方形の周上の数字の和になる。従って、Ｅは奇数である。

　一方、小さい４つの正方形ＡＢＥＤ，ＢＣＦＥ，ＤＥＨＧ，ＥＦＩＨ　の合計をそれぞれ足すと

　正方形の周上の数字の和の４倍の数ができ、これは、

　１＋２＋・・・９＝４５　に比べて、ＢＤＨＦが１回、Ｅが３回余計に足されている。そこで、以下のような表を作る。

　Ｅ　周上の和　和の４倍　和の４倍−Ｅの３倍−４５

　１　　２２　　　８８　　　　　４０

　３　　２１　　　８４　　　　　３０

　５　　２０　　　８０　　　　　２０

　７　　１９　　　７６　　　　　１０

　９　　１８　　　７２　　　　　　０

　ここで、和の４倍−Ｅの３倍−４５　は、ＢＤＨＦと一致するので、周上

　の和と一致しなければならない。そして、そのようになるＥの値は５である。

　５を除く８つの数を、（ＡＣＧＩ）と（ＢＤＦＨ）に合計が２０ずつになるように分けることを考える。

　８つの数を小さい数（１，２，３，４）と大きい数（６，７，８，９）に分ける。

　小さい数から３つ選ぶと多くても（２＋３＋４＝）９にしかならず、合計を２０に

　するにはさらに１１を足さなければならないので、小さい数からは高々２つしか選べない。

　大きい数から３つ選ぶと少なくても（６＋７＋８＝）２１になり、合計２０を超えてしまう。

よって、大きい数からは高々２つしか選べない。

　以上より、小さい数、大きい数から２つずつ選ぶ。

　　（ＡＣＧＩ）（ＢＤＦＨ）の選び方は、

　１（１２８９）（３４６７）

　２（１３７９）（２４６８）

　３（１４６９）（２３７８）

　４（２３６９）（１４７８）

　５（３４６７）（１２８９）

　６（２４６８）（１３７９）

　７（２３７８）（１４６９）

　８（１４７８）（２３６９）

　の８通りある（順不同）。

　例えば、１の組み合わせで、９をひとつの角に入れたとすると、（ＢＤＦＨ）の中から２数を選び、

　合計を（２０−５＝）１５にしなければならないが、そういう選び方はない。

　そのような選び方が出来るのは、２だけである。

　Ａ＜Ｃ＜Ｇ，Ａ＜Ｉ　を考慮して、数字を入れると、

　Ａ＝１，Ｂ＝８，Ｃ＝３，Ｄ＝６，Ｅ＝５，Ｆ＝４，Ｇ＝７，Ｈ＝２，Ｉ＝９　　　　　　　　

＜水の流れ：コメント＞　１日記入　　　

こんなに早く解答のメールが寄せられていて、皆さんに感謝します。

次回も１から９までの数字を入れる問題を考えていますし、グレゴリオ暦の問題も出す計画で、美しい話の第１０話に載せておいたのです。また、歴史上の未解決も考えています。これからのチャレンジしてください。よろしくね。

＜浜田明巳＞さんからの解答：受信１１月２日の午後５時１０分、３日更新

　第３３回数学的な応募問題［五輪の輪］

　もう既に解答が寄せられたとの事．皆さんの手際の良さには感心させられます．私はいつものようにパソコンの解答プログラムを組もうと，躍起になってバグ取りをして，ようやくついさっき完成させました．

今回も十進ｂａｓｉｃで作ってみました．

問題１：ＡからＪまで順に

6 7 8 9 10 3 5 2 4 1

問題２：ＡからＩまで順に

1 8 3 6 5 4 7 2 9　　で，和は20です．

ちなみに，問題２において，「６つの正方形の周上の」は，「６つの正方形の頂点上の」にすべきではないでしょうか？　そうでないと答が出ないと思います．周上という場合，正方形ＡＣＩＧにおいて，点Ｂ，Ｆ，Ｈ，Ｄの数字も加える事になります．

!五輪の輪

for a=1 to 10-4

for g=1 to 10

let f=14-a-g

if f>=1 and f<=10 and f<>a and f<>g then

for b=a+1 to 10-3

if b<>g and b<>f then

let h=14-b-g

if h>=1 and h<=10 and h<>a and h<>g and h<>f and h<>b then

for c=b+1 to 10-2

if c<>a and c<>g and c<>f and c<>h then

let i=14-c-h

if i>=1 and i<=10 and i<>a and i<>g and i<>f and i<>b and i<>h and i<>c then

for d=c+1 to 10-1

if d<>a and d<>g and d<>f and d<>b and d<>h and d<>i then

let j=14-d-i

if j>=1 and j<=10 and j<>a and j<>g and j<>f and j<>b and j<>h and j<>c and j<>i and j<>d then

let e=14-f-j

if e>=5 and e<=10 and e>a and e<>g and e<>f and e>b and e<>h and e>c and e<>i and e>d and e<>j then

print a;b;c;d;e;f;g;h;i;j

end if

end if

end if

next d

end if

end if

next c

end if

end if

next b

end if

next g

next a

end

!五輪の輪2

for a=1 to 9-2

for b=1 to 9

if b<>a then

for e=1 to 9

if e<>a and e<>b then

for d=1 to 9

if d<>a and d<>b and d<>e then

let wa=a+b+e+d

for h=1 to 9

if h<>a and h<>b and h<>e and h<>d then

let g=wa-d-e-h

if g>a+1 and g<=9 and g<>b and g<>e and g<>d and g<>h then

let f=wa-b-d-h

if f>=1 and f<=9 and f<>a and f<>b and f<>e and f<>d and f<>h and f<>g then

let c=wa-b-e-f

if c>a and c<g and c<>b and c<>e and c<>d and c<>h and c<>f then

let i=wa-e-f-h

if i>a and i<=9 and i<>b and i<>e and i<>d and i<>h and i<>g and i<>f and i<>c and wa=a+c+i+g then

!if i>a and i<=9 and i<>b and i<>e and i<>d and i<>h and i<>g and i<>f and i<>c and wa=a+b+c+f+i+h+g+d then

print a;b;c;d;e;f;g;h;i;wa

end if

end if

end if

end if

end if

next h

end if

next d

end if

next e

end if

next b

next a

end

＜水の流れ：コメント＞２日記入