平成１１年１２月１８日
第３９回
数学的な応募問題＜解答募集期間：１２月１６日〜１２月２５日＞
［サンタの贈り物］
太郎さんは、先日サンタさんから素敵な贈り物を頂きました。その伝票には、１０桁の番号が書いてあります。
よくみると、偶然にも幸運な数字です。
それは、０から９までの数字が１回ずつ使ってあって、上から２桁の数は２の倍数で、３桁の数は３の倍数で、
・・・・・・、ｎ桁の数はｎで（ｎ＝２，３，４，・・・，１０）割り切れていました。
太郎さんは、この幸運な１０桁の数字が他にもあるのか、知りたくなりました。
＜参考資料：
「WeekendMathematics」の今月の問題５．「カードの問題」の答と解説＞＜ヨッシー＞さんからの解答 １６日９時３２分受信
＜水の流れ＞一部間違いがありましたので、再提出を載せます。
＜ヨッシー＞さんからの解答 １６日２３時３２分受信 １８日更新
第３９回数学的な応募問題の答えです。
答え：3816547290
１０桁の数をＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ とします。
条件より、Ｊ＝０，Ｅ＝５ と、Ｂ，Ｄ，Ｆ，Ｈ，Ｊが偶数、Ａ，Ｃ，Ｅ，Ｇ，Ｉが奇数であることはすぐわかります。
また、ＡＢＣ，ＤＥＦは３の倍数であり、ＧＨＩは９の倍数です。
また、ＣＤは４の倍数ですが、Ｃは奇数なので、Ｄに入る数は２か６です。
ここで、ＤＥＦが３の倍数であるように、ＤＥＦを決めると、ＤＥＦは２５８か６５４となります。
ＦＧＨは８の倍数ですが、Ｆは４か８なので、ＧＨが８の倍数となります。
このとき、ＧＨの候補は、１６，３２，７２，９６です。
さらに、ＧＨＩが９の倍数であることより、ＧＨＩは７２９か９６３となります。
この時点での候補は、Ａ８Ｃ６５４７２９０ 残り１，３ Ａ４Ｃ２５８９６３０ 残り１，７
上７桁が７の倍数になるのは、3816547290 だけです
。＜浜田＞さんからの解答 １６日１４時４１分受信 １８日更新
第３９回数学的な応募問題の解答
いつものようにプログラムで解きました．今回は十進Basicで解きました．
５桁目は５，１０桁目は０と確定し，偶数桁目は偶数となります．その他はカードの問題のまとめ通りに倍数チェックしています． このプログラムにより，答は3816547290となります．
!santa.bas
for j1=1 to 9
if j1<>5 then
for j2=2 to 8 step 2
if j1<>j2 then
for j3=1 to 9
if j1<>j3 and j2<>j3 and j2<>5 and mod(j1+j2+j3,3)=0 then
for j4=2 to 8 step 2
if j1<>j4 and j2<>j4 and j3<>j4 and mod(10*j3+j4,4)=0 then
let j5=5
for j6=2 to 8 step 2
if j1<>j6 and j2<>j6 and j3<>j6 and j4<>j6 and mod(j1+j2+j3+j4+j5+j6,3)=0 then
for j7=1 to 9
if j1<>j7 and j2<>j7 and j3<>j7 and j4<>j7 and j5<>j7 and j6<>j7 and mod(j1-(100*j2+10*j3+j4)+(100*j5+10*j6+j7),7)=0 then
for j8=2 to 8 step 2
if j1<>j8 and j2<>j8 and j3<>j8 and j4<>j8 and j6<>j8 and j7<>j8 and mod(100*j6+10*j7+j8,8)=0 then
let j9=1+2+3+4+5+6+7+8+9-j1-j2-j3-j4-j5-j6-j7-j8
if j1<>j9 and j2<>j9 and j3<>j9 and j4<>j9 and j5<>j9 and j6<>j9 and j7<>j9 and j8<>j9 and mod(j1+j2+j3+j4+j5+j6+j7+j8+j9,9)=0 then
let j10=0
print j1;j2;j3;j4;j5;j6;j7;j8;j9;j10
end if
end if
next j8
end if
next j7
end if
next j6
end if
next j4
end if
next j3
end if
next j2
end if
next j1
end
＜sambaGREEN＞さんからの解答 １６日１４時４１分受信 １８日更新
こんにちは。sambaGREENです。
最後の方の絞り込みが，やや不満ですが，「第39回連続応募問題」の解答を送らせていただきます。
最後の数が０になることは，ほぼ自明ですので９桁の数「abcdefghi」で考えます。
上から，2,4,6,8桁が2,4,6,8の倍数になることから，b,d,f,hは偶数で，a,c,e,g,iは奇数。
上からｎ桁がｎの倍数になっていることを，［条件ｎ］と書くことにします。
１〜９までの和は45なので数字の順に関係なく［条件９］を満たしています。
［条件３］，［条件６］から，ａ＋ｂ＋ｃ，ｄ＋ｅ＋ｆ（，ｇ＋ｈ＋ｉ）はそれぞれ３の倍数。
また，［条件５］から，ｅ＝５ となり
ｄ＋５＋ｆ（d,fは偶数）が３の倍数になるのは，(d,ｆ)＝(4,6)，(6,4)
［条件４］から２桁の数「cd」は４の倍数。ｃが奇数であることからｄ＝６。よって ｆ＝４。
ここまでで，abc654ghiとなります。
［条件８］から３桁の数「4gh」は８の倍数。400は８の倍数なので，２桁の数「gh」が８の倍数。
ｇが奇数，ｈが２または８であることを考えると，２桁の数「gh」は３２，または７２。
よって，ｂ＝８となり，［条件２］満足。
g＋h＋ｉが３の倍数であることを考えると，３桁の数「ghi」は321，327，723，729。
したがって，９桁の数は
789654321，987654321
189654327，981654327
189654723，981654723
183654729，381654729
この中で［条件７］を満たすのは，381654729
したがって，求める10桁の数は 「３８１６５４７２９０」
【コメント】
この手の問題で，いつも感じますが，７の倍数の判定は出来ても，絞り込みにうまく使えない。
何かいい方法はないのでしょうか？
＜水の流れ：コメント＞ １８日記入
これで、答は１通りですね。また、最後は、７の倍数であるか、どうかをチェックした次第です。
現在、私の知りません
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