平成１０年１１月４日

＜解答募集期間：１１月４日〜１１月１５日＞

［外国での買い物］

　　　８セントの硬貨しかありません。

1. 太郎さんは、この国のあるファーストフード店で、５３セントの買い物をしました。レジでどんなふうにお金を支払えば、よいでしょうか？

　　　　　　（おつりを考えないで）

2. 次に、太郎さんはうっかりして、１９セントの品物を買い忘れて、

　　再びレジに来ました。今度はどのようにして支払えばよいでしょうか？

　　　　　　（おつりを出すことを考えて）

3. この国では、どうしてもおつりをもらわなければならない値段があります。それはどんな値段でしょうか？

• 皆さん、答えがわかったら、その答えになる考え方とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。

＜参考文献＞「算数オリンピック」の中から改題

　　　　　　講談社：東大算数研究会・編集

1. ５３＝７×０＋５３（払えない）

５３＝７×１＋４６（払えない）

５３＝７×２＋３９（払えない）　

５３＝７×３＋８×４　より　

５３＝７×４＋２５（払えない）

５３＝７×５＋１８（払えない）

５３＝７×６＋１１（払えない）

５３＝７×７＋４　（払えない）

　したがって、答え　７セント硬貨３枚と８セント硬貨４枚で払う

2. １セントの品物は８セント硬貨を出して、７セントのお釣りを

　　もらうことになります。

　　　１＝８−７　より　１９をかけて

　　１９＝８×１９―７×１９　これでは、硬貨が多すぎます。

　そこで、５６＝８×７　より　５６づつ減らします。

　　１９＝８×１２−７×１１

　　１９＝８×５―７×３　　これでいいわけです。

　したがって、答え　８セント硬貨５枚払って、７セント硬貨３枚のお釣りを

　もらうことになります。　　　　

問３　自然数をｎとして、ｎ＝７×ｓ＋８×ｔ（ｓ、ｔは負でない整数とする）

　すなわち、７と８の倍数の和として、表せない数字を考えます。

　７と８の最小公倍数の５６までの表を作ります。

　上の、黒の数字の２１種類です。その中で、一番大きな値段は４１セント

　の品物を買うときです。　

＜発展＞　次のようなことが成り立ちます。

＜証明＞

　この証明：

となり、ｔで割った余りが０で、形からみるとｓでも割り切れる。

　これは、ｓとｔの最小公倍数がｓｔに反する。

だから、ｔで割ったときの余りが１であるようなａｓ（１≦ａ≦ｔ）が

存在する。

　したがって、ａｓをｔで割った商をｂで表すと、ａｓ＝ｂｔ＋１で、

さて、任意の自然数ｎに対して、

　ｎ＝ｎ（ａｓ−ｂｔ）＝ｎａ×ｓ−ｎｂ×ｔ　　が成り立つ。

　ここで、−ｎｂが負の整数なのでｓの係数をｔだけ減らすと同時に、ｔの係数ををｓだ　け増やしていく（ｓｔ−ｔｓ＝０だから良いわけです）。

ｓの係数がマイナスになる前にｔの係数が０以上になれば、

ｎがｓとｔの和として表される。

　次ぎに、ｎ＝（ｕ−ｔ）ｓ＋（ｓ−ｖ）ｔ

　　　　　ただし、１≦ｕ≦ｔ−１，ｖ≧１である。

　故に、ｎ＝ｕｓ−ｖｔ≦（ｔ−１）ｓ−１×ｔ＝ｓｔ−ｓ−ｔ

　となるから、ｓとｔとの和で表すことのできない最大の自然数は

　ｓｔ−ｓ−ｔである。