ここで、分かり易くするために、最初のトランプを上から順に、１番，２番，３番，・・・，５１番，５２番と番号を付けておきます。さて、

問題１：１回のシャッフルによって、２０番と３５番のカードは、新たに上からそれぞれ何枚目にありますか。

問題２：２回のシャッフルによって、２０番と３５番のカードは、新たに上からそれぞれ何枚目にありますか。

問題３：一般に、ｎ回のシャッフルによって、最初のｋ番のカードは、新たに上から何枚目にありますか。

問題４：何回かのシャッフルによって、すべてのカードが元の順番になりました。この最小のシャッフル回数を求めてください。

Q42:カードのシャフル

インデックスを0〜51とした方が便利なので、

（回答を考える間は）そのようにします。また、番号も同様とします。

0〜51のカードが１回目のシャフルでは次のように並びます。

index: 0 1 2 3 … 48 49 50 51

card : C0 C26 C1 C27 … C24 C50 C25 C51

これは、Cn= n とした場合に、 Cn*2 (mod 51)です。(ただし、C51は例外とする)

そこで、カードの位置は次のようになると考えられます。

Cn= n とした場合にk回のシャフルで、 Cn*(2^k) (mod 51)

一方、51= 3*17と素因数分解可能です。

フェルマーの小定理から、代数体上でのべき乗は素数-１の周期を持ちます。

　3-1= 2, 17-1= 16= 2^4のため、2^kは2の整数倍の周期であるようです。

2^0= 1 ≡ 1 (mod 51)

2^1= 2 ≡ 2 (mod 51)

2^2= 4 ≡ 4 (mod 51)

2^3= 8 ≡ 8 (mod 51)

2^4= 16 ≡ 16 (mod 51)

2^5= 32 ≡ 32 (mod 51)

2^6= 64 ≡ 13 (mod 51)

2^7= 128 ≡ 26 (mod 51)

2^8= 256 ≡ 1 (mod 51)

であるため、このシャフルでは8回の周期で元の配列に戻ります。

回答：

Q1：２０番と３５番のカードは、上記の表記でC19, C34であるので、上記の表記で

index= 38,17であるので　A:39番目と18番目

Q2：同様に　A:26番目と35番目

Q3：((k-1)*(2^n) (mod 51))+1 ただし、52番目のカードは常に52番目

Q4：８回周期で元の配列に戻る

＜水の流れ：コメント＞　１２日記入

51= 3*17と素因数分解可能です。

フェルマーの小定理から、台数体上でのべき乗は素数-１の周期を持ちます。

3-1= 2, 17-1= 16= 2^4のため、2^kは2の整数倍の周期であるようです。

このあたりの考え方はさすがに手慣れたものと思います。「お見事」の一言。

ＮＯ２＜清川（ｋｉｙｏ）＞さんからの解答　１月１１日２２時９分受信　更新　１２日更新

意外と周期が短いのに驚きました。

１）　２０　３９番目　３５　１８番目

２）　２０　２６番目　３５　３５番目

　１と５２は不動。　３５の場合　１８，３５，１８，３５，１８，３５，１８，３５

　　　　　　　　　　２０の場合　３９，２６，５１，５０，４８，４４，３６，２０

　　２０と３５は偶然に選ばれた数ではないです。。ヒントのように思います。

３）　確かに規則性がみられます。プログラムによる出力例を張り付けようとしたのですが汚くなるのでやめました。

保留。

４）　８回。８回で元に戻るようです。

　今後とも宜しくお願いします。　

　エクセルで解いてみました．カードの位置を表す関数として，

　　card(x)=26*((x+1) mod 2)+int((x+1)/2)

を用いて，２０番，３５番の位置を求め，さらに何回目に元通りになるか調べます．このマクロで，

問題１：２０番→３９枚目　　３５番→１８枚目

問題２：２０番→２６枚目　　３５番→３５枚目

問題４：８回目となることが分かります．

Option Explicit

Sub shuffle()

Dim j, onaji, kaisuu As Integer

For j = 1 To 52: Cells(j, 1).Value = j: Next

kaisuu = 1

Do: onaji = 0

For j = 1 To 52

Cells(j, kaisuu + 1).Value = card(Cells(j, kaisuu).Value)

onaji = onaji - (Cells(j, kaisuu + 1).Value = j)

Next

kaisuu = kaisuu - (onaji < 52)

Loop While onaji < 52

End Sub

Private Function card(ByVal x As Integer) As Integer

card = 26 * ((x + 1) Mod 2) + Int((x + 1) / 2)

End Function

ＰＳ．でも何回目かに元通りになるシャッフルって意味がないんじゃないでしょうか？

＜水の流れ：コメント＞１２日記入

ＰＳ．でも何回目かに元通りになるシャッフルって意味がないんじゃないでしょうか？

これに対しては、「シャッフル」そのものに意味があるわけではないのです。背景となる数学的な構造が、大変面白かったからです。

ＮＯ４＜ch3cooh＞さんからの解答　１月１４日１４時０２分受信　更新　１４日更新

こんにちは、ch3coohです。

清川<kiyo>さんの回答を見て、もう少し考えました。

35番目のカード(C34)の位置は、特殊なものであるかという点についてです。

回答で書きましたが、k番目のカードの位置は

k*(2^n) (mod 51)

ここで、k≡k*(2^n) (mod 51) について、

51= 3*17であり、　3-1= 2, 17-1= 2^4です。

上記の式を常に満足する n の回答は (2^8)≡1 (mod 51) です。

一方、k の位置によっては、違う周期を持つ可能性もあります。

これは、一部の全体の周期の整数分の１の周期を持っていたとしても、構わないからです。

さて、ここで、k≡k*(2^n) (mod 51)の式を変更しましょう。

k*((2^n)-1)≡0 (mod 3*17)と変形できます。

こうなると、(2^n)-1　が3,17の一方と等しい場合に特殊な周期が生まれます。

(2^n)-1≡0　(mod 17)を満たす解は存在しないので、(mod 3)の回答で、2回周期となります。

その場合、

k≡0 (mod 17)を満たす51未満の数でなくてはならないので、特殊な周期を持つ

答えは、C17, C34となります。

51= 3*17だと、周期として2のべき乗しか出てきそうになくて、面白くありませんが、

同様のことを花札やマージャンパイでやると…

花札の場合: 枚数は48 48-1= 47で、これは素数のはずなので、47回の周期となってしまいます。

マージャンパイの場合：136-1= 135= 3^3*5で結構面白い周期も発生しそうです

が、個別の牌の判定が難しいので、各牌をひとつづつ持ってくると…

34-1= 33= 3*11 となります。

特に、花札の場合は、シャフルを２の単位以外に３とかの単位で分配しても割り切れるので考えてみると結構面白いかもしれませんね？

以上です。

＜水の流れ＞　１４日記入

トランプで、最初の山を２つでなく、３つ、４つ、・・・、ｎ個の山に分けて、シャッフルの場合を考えても良いなーと思っていたところですが、実際には、まだ、解けていません。

以上