平成１２年１月２２日

［野球］

ＮＯ１＜「ｊｕｎ」＞さん一般1／23：22時57分受信,更新1/26　

野球の問題について考えています。

１．ａ（１）＝？　定義できない？、ａ（２）＝１／４、ａ（３）＝３／８、ａ（４）＝８／１６、ａ（５）＝１９／３２

から推測すると、

２．２＾ｎ・ａ（ｎ）＝２・２＾（ｎ−１）・ａ（ｎ−１）＋ｎ−２　かな？

＜水の流れ＞　２６日記入

問題１の答は正解ですが、問題２の漸化式が私の思いと違います。

ＮＯ２＜「清川kiyo」＞さん一般1／23:23時11分受信,更新1/26

こんばんは。いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

解答：数学的ではないのですが。

　　ｎ＝１　○

　　　　　　×　　　条件を満たすもの　０個　　満たさないもの　２個

　　ｎ＝２　○○

　　　　　　○×

　　　　　　×○

　　　　　　×○　　　　　　　　　　　　　１個　　　　　　　　　　　　　３個

　　ｎ＝３　○○○

　　　　　　○○×

　　　　　　○×○

　　　　　　○××

　　　　　　×○○

　　　　　　×○×

　　　　　　××○

　　　　　　××○　　　　　　　　　　　　３個　　　　　　　　　　　　　５個

　　ｎ＝４　○○○○，○○○×，○○×○，○○××，○×○○，○×○×，○××○，○×××

　　　　　　×○○○，×○○×，×○×○，×○××，××○○，××○×，×××○，××××

　　　　　　　　　　　　８個　　　　　　　　　　　　　８個

　　　　　上記のように条件を満たさないものは、２，３，５，８，　とフィボナッチ数列が予想されます。

　　　　　Ｆ（ｎ）をフィボナッチ数列とすると、条件を満たすものは　２＾ｎ−Ｆ（ｎ＋２）

　　　　　が予想されます。したがって、

　　　　　A(n)=(2^n-F(n+2))/(2^n)=1-F(n+2)/(2^n)　が予想されます。

ＮＯ３＜「こぼりすと」＞さん学生1／24:0時13分受信,更新1/26

こぼりすとです。おひさしぶりです。確率の問題は好きなので解いてみました（テスト前なのに・・・）

漸化式までは出たんですが一般の確率までは出てません。いろいろ考えてみましたがまだ解けてません

どうやって解けばいいのかな・・・

問題１：ｎ＝１、２，３のとき、２連勝以上している確率ａ(ｎ)を求めよ。

単純に数え上げればできる。答えだけ書くと

ａ（１）＝０，ａ（２）＝１／４，ａ（３）＝３／８

問題２：漸化式を考えて、一般の場合の確率ａ(ｎ)を求めよ。

ｎ試合行って２連勝する場合は次の２通りに分けられる。

Ａ．ｎ−１試合目までにすでに２連勝している場合

Ｂ．ｎ−３試合目まででは２連勝していなくて、ｎ−２試合目が負け、

ｎ−１およびｎ試合目が勝ちの場合

ここでそれぞれの確率は　

ｐ（Ａ）＝ａ（ｎ−１）

ｐ（Ｂ）＝（ｎ−３試合目までで２連勝していない確率）＊

（ｎ−２、ｎ−１、ｎ試合目が負け勝ち勝ちとなる確率）

＝（１−ａ（ｎ−３））＊（１／８）

ゆえに求める漸化式は

ａ（ｎ）＝ｐ（Ａ）＋ｐ（Ｂ）

＝ａ（ｎ−１）＋（１／８）＊（１−ａ（ｎ−３））　　ただし　ｎ＞３

ＮＯ４＜「浜田」＞さん一般1／24:11時06分受信,更新1/26

＜「浜田」＞さん一般1／29:8時10分受信,本人の申し出により、削除しました。ご承知ください。

ＮＯ５＜「ch3cooh」さん一般1/24:13時11分受信, 更新1/26

こんにちは、ch3coohです。（現時点で）一般式に展開できませんでした。ただし、漸化式としては解きました。

gw, glは、次のような関数になります。

gw(1)= 0.5, gl(1)= 0.5

gl(n)= (gw(n-1)+gl(n-2))*0.5

gw(n)= gl(n-1) * 0.5

です。

gw'(n)= (gw(n-1)+gl(n-2))*0.5 となりますが、

その前の試合が勝ちで終わっている場合、今回の課題の条件を満たすので

順次除外していく訳です。

これで計算すると･･･

(手計算なので間違っているかもしれません)

1 1/2 1/2 0

2 1/2 1/4 1/4

3 3/8 1/4 3/8

4 5/16 3/16 1/2

5 1/4 5/32 19/32

6 13/64 1/8 43/64

となります。

フィボナッチ数列の一般解を求める時間は今日はないので、明日以降に再度連絡します。

gw'(n)= gw(n)*(2^n)

gl'(n)= gl(n)*(2^n)

とすると、

gw'(1)= 1, gl'(n)= 1

gl'(n)= gw'(n-1)+gl'(n-1)

gw'(n)= gl'(n-1)

=>

gl'(n)= gl'(n-1)+gl'(n-2), gl'(1)= 1, gl'(2)= 2

この式から、gl(n),gw(n)を求めて、f(n)が求められるはずです。

ＮＯ６＜「ch3cooh」さん一般1/26:10時39分受信,更新1/26

計算の手抜きのために…

gl'(n)= gl'(n-1)+gl'(n-2), gl'(1)= 1, gl'(2)= 2

gl'(0)= 1

一番最初の式を、２次方程式としてとくと…

(1±√5)/2

gl'(n)= (a+b*√5)*((1+√5)/2)^n+(c+d*√5)*((1-√5)/2)^n

但し、a,b,c,dは有理数

ここで、gl'(0)= 1, gl'(1)=1を代入すると、変数が４の連立方程式となる。

gl'(0)= 1

= (a+b*√5)*((1+√5)/2)^0+(c+d*√5)*((1-√5)/2)^0

= (a+b*√5)*1+(c+d*√5)*1

= (a+c)+(b+d)*√5

=>

a+c= 1, b+d= 0

gl'(0)= 2

= (a+b*√5)*((1+√5)/2)^1+(c+d*√5)*((1-√5)/2)^1

= (a+b*√5)*((1+√5)/2)+(c+d*√5)*((1-√5)/2)

= (1/2)*( (a+b*√5)*1+(c+d*√5)*1+(a+b*√5)*√5-(c+d*√5)*√5 )

= (1/2)*( (a+c+5*b-5*d)+(a+b-c+d)*√5 )

=>

a+5*b+c-5*d= 2

a+b-c+d= 0

(行列に変換します)

/ 1 0 1 0 \ / a \ / 1 \

| 0 1 0 1 | | b | = | 0 |

| 1 5 1 -5 | | c | | 2 |

\ 1 1 -1 1 / \ d / \ 0 /

=>

a= 1/2, b= 1/10, c= 1/2, d= -1/10

gl'(n)= (1/10)*( (5+√5)*( (1+√5)/2 )^n + (5-√5)*( (1-√5)/2 )^n )

gl(n)= gl'(n)*((1/2)^n)

= (1/10)*( (5+√5)*( (1+√5)/4 )^n + (5-√5)*( (1-√5)/4 )^n )

gw(n)= gl(n-1)/2

= (1/5)*( √5*( (1+√5)/4 )^n - √5*( (1-√5)/4 )^n )

f(n)= 1-(gl(n)+gw(n))

= 1-(1/10)*( (5+3*√5)*( (1+√5)/4 )^n + (5-3*√5)*( (1-√5)/4 )^n)

が答えとなります。

＜水の流れ＞２６日記入

フィボナッチ数列の一般項はもう少し、簡単な式になっているはずですが・・・・

ＮＯ６＜「sambaGREEN」＞さん一般1/27:4時40分受信,更新1/27

こんばんは。sambaGREENです。

最初の挫折の原因判明。計算ミスで特性方程式が実数解を持たなかったのです。

（情けない・・・）

なんとか，漸化式解けました（ほんとかなぁ）ので投稿します。

　　　　　　　　　**********解答*****************

【問題１】

最初の試合で負けたとき，１からやり直しですから条件付き確率　ａ(n-1)。

○○のとき，あとは関係ありません。条件付き確率　１

○×のとき，１からやり直しですから条件付き確率　ａ(n-2)

よって，ａ(n)＝1/2*ａ(n-1)＋1/4*ａ(n-2)＋1/4　が成立。

ａ(1)＝0，ａ(2)＝1/4　はあきらか。

漸化式より，ａ(3)＝1/2*1/4＋1/4＝3/8，ａ(4)＝1/2*3/8＋1/4＋1/4＝1/2

　　　　　　ａ(5)＝1/2*1/2＋1/4*3/8＋1/4＝19/32

【問題２】

ａ(n)−ｋ＝1/2*(ａ(n-1)−ｋ)＋1/4*(ａ(n-2)−ｋ)とすると

ａ(n)＝1/2*ａ(n-1)＋1/4*ａ(n-2)＋1/4ｋとなり，ｋ＝１

よって，ａ(n)−１＝1/2*(ａ(n-1)−１)＋1/4*(ａ(n-2)−１)

ｂ(n)＝ａ(n)−１とおくと，

ｂ(n+2)＝1/2*ｂ(n+1)＋1/4*ｂ(n)，

ｂ(1)＝ａ(1)−１＝−１，ｂ(2)＝ａ(2)−１＝−3/4　を解けばよい。

ｂ(n+2)−αｂ(n+1)＝β（ｂ(n+1)−αｂ(n)）とすると，

ｂ(n+2)＝(α＋β)*ｂ(n+1)−αβ*ｂ(n)となり，α＋β＝1/2，αβ＝−1/4

α，βは特性方程式　ｘ^2−1/2*ｘ−1/4＝0の解，(1±√5)/4

α＝(1＋√5)/4，β＝(1−√5)/4とするとき，

ｃ(n)＝ｂ(n+1)−αｂ(n)とおくと，ｃ(1)＝ｂ(2)−αｂ(1)＝(-2＋√5)/4＝ｐとする

ｃ(n)＝ｂ(n+1)−αｂ(n)＝(β^n)*ｐ　・・・式(1)

同様にして，ｂ(n+1)−βｂ(n)＝(α^n)*ｑ，・・・式(2)　但しｑ＝(-2-√5)/4　　　　　　　　　　

式(2)−式(1)から　　(α−β)ｂ(n)＝（(α^n)*ｑ−(β^n)*ｐ）

よって，ｂ(n)＝1/(α−β)*((α^n)*ｑ−(β^n)*ｐ）

したがって，ａ(n)＝１−2/√5*((α^n)*ｑ＋(β^n)*ｐ）

　　　　　　ただし，α＝(1＋√5)/4，β＝(1−√5)/4，ｐ＝(√5−2)/4，ｑ＝(√5＋2)/4

「追伸」　ｎ＝1，2は確認しましたが，それ以下は確認する体力がありませんでした。

　　　　　もうすぐ，朝です。お休みなさい。検証はお願いします。

　　　　　実は，ｎ試合したときに２連勝以上する場合の数ｄ(n)についての漸化式もたてていました

　　　　　d(n)＝d(n-1)＋d(n-2)＋２^(n-2)　です。

　　　　　d(n)がもとまれば，a(n)＝ｄ(n)/２^n　でa(n)が求まるはずですが，

　　　　　上記のものより綺麗な表記になるのでしょうか？

＜水の流れ＞　２７日記入

計算ご苦労様でした。解法を教えていますが、いざ、自分で計算となると、よく間違います。

d(n)＝d(n-1)＋d(n-2)＋２^(n-2)　から、d(n)がもとまれば，a(n)＝ｄ(n)/２^n　でa(n)が求まるはずですね。

＜水の流れ＞　2月６日日記入

　この問題は、「みず」の流れ先にある「大相撲本場所」や「大相撲の星取表」にある2連敗以上しない事象が余事象になっています。

　だから、Ｔ(ｎ)をｎ試合戦って、2連勝しない確率とすると、明らかに、Ｔ(１)＝１、Ｔ(２)＝３／４である。

　ここで、ｎ＞２のときを次の２つの場合で考えることにする。

　【１】最初負けたときは、あとの(ｎ−１)試合を2連勝しない確率Ｔ(ｎ―１)　　と

　【２】 最初勝った場合は、連続して勝てないので、２回戦は負けでなくてはならない。そして、残りの(ｎ−２)試合で2連勝しない確率Ｔ(ｎ―２)とを考られる。

　したがって、Ｔ(ｎ)＝(１/２) Ｔ(ｎ―１)＋(１/４) Ｔ(ｎ―２) 　　　（ｎ＞２のとき）

　この漸化式の両辺に、２^ｎ　をかけてみると、２^ｎＴ(ｎ)＝２^(ｎ−１)Ｔ(ｎ―１)＋２^(ｎ−２)Ｔ(ｎ―２)

　ここで、Ｓ(ｎ)＝２^ｎＴ(ｎ)とすると、Ｓ(ｎ)＝Ｓ(ｎ−１)＋Ｓ(ｎ−２)　となる。

　これは、フィボナッチ数列の漸化式であるから、フィボナッチ数列｛１，１，２，３，５，８，１３，・・・，｝をＦ(ｎ)とおいて、Ｓ(ｎ)＝Ｆ(ｎ＋２)とおくと、Ｓ(ｎ)＝｛２，３，５，８，１３，・・・，｝となり、

　求める確率ａ(ｎ)は、ａ(ｎ)＝１−Ｔ(ｎ)＝１−Ｆ(ｎ＋２) /２ｎ　　となる。（答）

　また、この漸化式から、一般項を出すのは、後で、授業編で「母関数」から導きます。お楽しみに！