平成１２年２月１２日

　　　　　　　［野球の貯金］

　太郎さんは、大の巨人ファンであることはもう皆さん！ご存じでしょう。

昨年セ・リーグを制した中日ドラゴンズはシーズン135試合を通して、常に、勝ち星が負け星を上まわっていました。

いわゆる貯金があったのです。さて、今年ジャイアンツが（ａ＋ｂ）試合戦って、勝ち数がａで、負け数がｂであったとします。

そして、この（ａ＋ｂ）試合中、常に貯金の状態（勝ち星が負け星を上まわっていて、勝ち負けが同数は除く）で勝敗の推移の仕方の確率を求めたくなりました。すなわち、ａ＞ｂである。ここで、問題です。

問題１：ａ＝３，ｂ＝２で終わる確率を求めてください。

問題２：ａ＝４，ｂ＝２で終わる確率を求めてください。

問題３：常に貯金の状態、勝ち数がａで、負け数がｂで終わる確率を求めてください。

問題４：一般の場合から、今年ジャイアンツが、ａ＝７７，ｂ＝５８で終わる確率を求めてください。

　太郎さんは、早速、問題１，問題２で、実際に勝ち負けを書いてみてようと思っています。

Ｎｏ１＜清川（kiyo）＞さんからの解答　2/10　21：13受信　　2/12更新　　　

数学的ではないのですが、小さい数で規則性を見つけて一般式を推理しました。

解答：パスカルの三角形が関係していると思います。

n=a-b　とする。

a>b=1 n 通り

a>b=2 n(n+3)/2　通り

a>b=3 n(n+5)(n+4)/6　通り

a>b=4 n(n+7)(n+6)(n+5)/24 通り

以上のことから、以下のことが推理されます。

(a-b)/b×C(a+b-1,b-1)

全体の場合の数を2^(a+b)=2^135とすると求める確率は、

a=77,b=58　　約　０．００２５４７４８３５　となると思います。

ヒントを見て、(a-b)/bの意味が理解出来ました。

＜水の流れ＞　2/10　22：49　発信

　☆☆　清川　育男 様　☆☆　いつもご応募くださいまして、ありがとうございます。

　私の考えとちょっとずれがあるようです。

座標平面上の点（ｂ、ａ）原点（０，０）との最短経路の道順を考えてください。

ただし、直線ｙ＝ｘの上側（境界線含まず）の経路が常に、貯金のある勝敗経路です。

この点カタラン数とよく似ています。

　実際に、この適した経路は

ａ＝３，ｂ＝２　のとき、

（０，０）→（０，１）→（０，２）→（０，３）→（１，３）→（２，３）

（０，０）→（０，１）→（０，２）→（１，２）→（１，３）→（２，３）

　の２通り。

ａ＝４，ｂ＝２　のとき

（０，０）→（０，１）→（０，２）→（０，３）→（０，４）→（１，４）→（２，４）

（０，０）→（０，１）→（０，２）→（０，３）→（１，３）→（１，４）→（２，４）

（０，０）→（０，１）→（０，２）→（０，３）→（１，３）→（２，３）→（２，４）

（０，０）→（０，１）→（０，２）→（１，２）→（１，３）→（１，４）→（２，４）

（０，０）→（０，１）→（０，２）→（１，２）→（１，３）→（２，３）→（２，４）

以上の５通り　あります。当然、点（ｂ、ａ）原点（０，０）との最短経路の道順は、C(a+ｂ、b)　ですが。　

Ｎｏ２＜清川（kiyo）＞さんからの解答　2/11　19：45受信　　2/12更新　

前回送りました推定式は間違っているのでしょうか。

　　　　　　　　Pascal semi-triangle

右斜め下方につながって場合の数が現れると思います。

左端はカタラン数が現れます。　

　＜水の流れ＞　2/11　21：39分　発信　2/12　更新

いつも、こちらこそ　お世話になっています。

　わあー！　凄い！お見事です。私が浅はかでした。あっています。

お気を悪くなさらないでください。ごめんなさい。

Pascal semi-triangle

の中の数字を見ながら、理解しています。有り難うございます。早速、「私の一日」2/11の文を修正します。

ネーミングも素晴らしいです。お借りします。　

尚、左端のカタラン数とは、１，２，５，１４，４２，１３２，４２９，１４３０，・・・のことです。

　座標平面上の点（ｂ、ａ）原点（０，０）との最短経路の道順を考えて、直線ｙ＝ｘの上側（境界線含まず）の経路が常に、貯金のある勝敗経路です。この経路の総数をＫ（ａ，ｂ）とくと、次のような漸化式が成り立ちます。

Ｋ（ａ，ｂ）＝Ｋ（ａ―１，ｂ）＋Ｋ（ａ，ｂ―１）で、

境界については、Ｋ（０，０）＝１、Ｋ（ａ，ａ）＝１　ａ＞０　にします。

Ｋ（ａ，ｂ）＝（ａ−ｂ）／（ａ＋ｂ）×Ｃ（ａ＋ｂ、ｂ）　で「清川（ｋｉｙｏ）」さんと同じになります。

問題３：常に貯金の状態、勝ち数がａで、負け数がｂで終わる確率を求めてください。

　この確率は勝敗の起こり方の中で、常に貯金の状態である経路を考えますので、（ａ−ｂ）／（ａ＋ｂ）になりますが・・・

問題４：一般の場合から、今年ジャイアンツが、ａ＝７７，ｂ＝５８で終わる確率を求めてください。

　　したがって、（７７−５８）／１３５＝０．１４０７４・・・

「清川（ｋｉｙｏ）」さんの頭脳にはいつも驚かされています。尊敬し、賞讃します。今後とも、よろしく　ご指導ください。　　　　　　

Ｎｏ３＜sambaGREEN＞さんからの質問　2/13　1：40受信　　2/13更新　

「野球の貯金」の問３，問４の「水の流れ」さんの解答と「kiyo」さんの解答が違うように思えるのですが，

どうなんでしょう？私も「kiyo」さんと同じように考えていましたが・・（ただ，私には一般式が出せなかった，爆）

設問の捉え方がちがうのでしょうか？

また，設問で思いだしましたが，「勝ち負けの確率は１/２とする」というような一文が必要だったのではと思います。

＜水の流れ＞「sambaGREEN」さんからの質問の回答　2/13　記入　2/13　更新

問３は、最初、「kiyo」の式を浅学のあまり、理解できなかったのですが、Pascal semi-triangle　の表を見ていたら、同じ数列になっていましたので、納得しましたが・・・、問４は、例えば、５試合行って、常に預金を保ちつつ、３勝２敗にで終わる確率を求めとします。このとき、○○○××、○○×○×の２通りの起こり方があります。で、３勝２敗で終わる場合は、Ｃ（５，３）＝１０通りあって、常に預金を保っている場合の確率は、２／１０＝０．２のつもりで作問しました。だから、全事象を２＾５＝３２とならないように、勝ち負けの確率を１/２とするただし書きを書きませんでした。

この違いです。出題してからも、この考え方になる恐れは心配していました。シーズンが７７勝５８敗で終わったとき、常に預金を保っている勝敗の起こり方の確率を求めよ。としたほうがよかったかもしれません。この点は出題者の難しい問題作りになってきます。いずれにしても、考え方に混乱をさせたことをお許しください。