平成１２年３月５日

［無限積］

太郎さんは、数式ソフト「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ｖｅｒｓｉｎ４」をＷＯＬＦＲＡＭ社から、購入しました。

分からないままに、使っていましたところ、次のような無限積を求めてくれません。

しかし、ｎ=10、100、1000、10000、・・・・とすると極限値を求めてくれます。

太郎さんは、この値がある極限値に収束していると思っています。真の値に至るまでの過程を皆さん、教えてください。

問題：　ｌｉｍ（ｎ→∞）（１＋1/n^２）×（１＋2/n^２）×（１＋3/n^２）×・・・×（１＋ｎ/n^２）の極限値を求めたいのですが、

とりあえず、「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ」にやらせてみましたところ、以下のようになりました。

（１＋1/10^２）×（１＋2/10^２）×（１＋3/10^２）×・・・×（１＋10/10^２）＝１．７０１８２・・・

（１＋1/100^２）×（１＋2/100^２）×（１＋3/100^２）×・・・×（１＋100/100^２）＝１．６５４２・・・

（１＋1/1000^２）×（１＋2/1000^２）×（１＋3/1000^２）×・・・×（１＋1000/1000^２）＝１．６４９２７・・・

（１＋1/10000^２）×（１＋2/10000^２）×（１＋3/10000^２）×・・・×（１＋10000/10000^２）＝１．６４８７８・・・

・・・・・・・・

　太郎さんは、早速、過去の大学入試に同じような問題がなかったか調べようと、思ってい

ＮＯ１＜やぎ＞さんからの解答　H12年11月22日受信　23日更新　　　　　　　　　　　

連続応募問題　第４７回　の　解答をおくります

ｆ（ｎ）＝（１＋１／ｎ＾２）(１＋２／ｎ＾２）------（１＋ｎ／ｎ＾２）　とします。

両辺の対数を考えると

　　ｘ＜＜1　のとき　ｌｎ（１＋ｘ）＝ｘなので・・・（一部２３日に訂正しました。）

ｌｎｆ（ｎ）＝（1/ｎ＾２）（1+2+-------+ｎ）＝（ｎ＋１）／（２ｎ）　となる。

∴　ｆ（ｎ）＝ｅｘｐ（（ｎ＋１）／（２ｎ））となる。

ｎ----＞　無限　のときｆ（ｎ）＝ｓｑｒ（ｅ）＝ｓｑｒ（2.718-----）＝1.6487---となる。

＜水の流れ：コメント＞H12年11月23日記入

先週、解答者一覧にアクシデントが発生して、復刻する作業をしていたときに、第４７回の応募問題の

解答が来ていないのに、淋しさを感じていました。本当にありがとうございます。

この連続応募問題は皆さんの解答が寄せられて成り立っています。今後もよろしくお願いします。