平成１２年３月２５日

［数学選手権］

太郎さんは、新科目「数学基礎」の指導要領の目標を読んでいると、「数学史的な話題や、数学と人間とのかかわりや、社会生活において数学が果たしている役割について理解させ、数学に対する興味・関心を高めるとともに、数学的な見方や考え方のよさを認識し数学を活用する態度を育てる。」とあります。したがって、いろいろと数学史の本を読んでいたところ、ドイツのフリードリッヒ２世が1225年にピザを訪れたとき、フイボナッチを呼び寄せ、数学御前試合を行っていました。

フイボナッチは出題された次のような問題をたちどころに解いて、王から賞讃を受けたと言われています。

皆さんのフイボナッチに成り代わって、チャレンジください。フリードリッヒ２世杯争奪「数学選手権大会」の問題です。

問題１：ｘ^２＋５、ｘ^２―５がともに平方数となるようにｘを求めよ。

問題２：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｘ^２，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｘ^２＋ｙ^２，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２

　　　　　　　がすべて平方数となるようにｘ，ｙ，ｚを求めよ。

問題３：三次方程式　ｘ^３＋２ｘ^２＋１０ｘ＝２０　を解け。

（太郎さんの注釈：当時３次方程式の解法は偉大なフイボナッチも発見していませんでしたので、有理数解がないことを

示してください。また、こととき、フイボナッチは近似解を見つけています。皆さんのフイボナッチのように、近似解を見つけてください。もちろん、今風に、３次方程式の解法で見つけてよいし、ニュートンの近似法でも構いません）

＜出典：高校生のための図説数学史：田村三郎・コタニマサオ（現代数学社）＞

ＮＯ１＜清川(kiyo)＞さんからの質問　３月２１日８時２０分受信　更新２１日

　問題１

　　　x=41/12 (41/12)^2+5=2401/144=(49/12)^2

(41/12)^2-5=961/144=(31/12)^2

この場合は題意を満たすのでしょうか？。平方数と言うのでしょうか。しかしこのパターンを許さないと解がないような気がします。

実際の解答の中には、自然数の平方数でなくて、「清川(kiyo)」　が見つけられた、ｘ＝41/12 になっています。

ＮＯ２＜清川(kiyo)＞さんからの解答です。　３月２１日８時２０分受信　更新２１日

問題２

　一般解を求めるのが大変そうなので、プログラムを組んで探しました。平方数の問題が残っているのですが。

　　　X=9/5　 Y=18/5 Z=72/5

　　　X=14/ 5 Y=32/5 Z=6

　　　X=10/7 Y=18/7 Z=40/7

　　　X=52/7 Y=88/7 Z=96/7

　　　X=51/8 Y=21/2 Z=9/2

　　　X=3 Y=64/9 Z=28/3

　　　X=5/4 Y= 9/4 Z= 63/16

　　　X=25/16 Y= 21/4 Z=25/4

　　　X= 5/2 Y=45/16 Z=5/2

　　　X=20/17 Y=72/17 Z=56/17

　　　X=41/10 Y=81/20 Z=21/5

　　　X=43/23 Y=54/23 Z=48/23

FOR B=2 TO 100

FOR A=B+1 TO 100

FOR C=B+1 TO 100

FOR D=B+1 TO 100

LET X=A*B+B*C+B*D+A^2

LET X1=SQR(X)

LET X2=INT(X1)

LET X3=X1-X2

IF X3=0 THEN

LET Y=X+C^2

LET Y1=SQR(Y)

LET Y2=INT(Y1)

LET Y3=Y1-Y2

IF Y3=0 THEN

LET Z=Y+D^2

LET Z1=SQR(Z)

LET Z2=INT(Z1)

LET Z3=Z1-Z2

IF Z3=0 THEN

GOSUB 10

IF F=0 THEN

PRINT "X=";A;"/";B;" Y=";C;"/";B;" Z=";D;"/";B

END IF

END IF

END IF

END IF

NEXT D

NEXT C

NEXT A

NEXT B

STOP

10 REM 倍数倍の排除

LET F=0

FOR J=2 TO B

IF MOD( A , J) =0 AND MOD( B , J) =0 AND MOD( C , J) =0 AND MOD( D ,J) =0 THEN

LET F=1

EXIT FOR

END IF

NEXT J

RETURN

END

X= 9 / 5 Y= 18 / 5 Z= 72 / 5

X= 14 / 5 Y= 32 / 5 Z= 30 / 5

X= 10 / 7 Y= 18 / 7 Z= 40 / 7

X= 52 / 7 Y= 88 / 7 Z= 96 / 7

X= 51 / 8 Y= 84 / 8 Z= 36 / 8

X= 27 / 9 Y= 64 / 9 Z= 84 / 9

X= 20 / 16 Y= 36 / 16 Z= 63 / 16

X= 25 / 16 Y= 84 / 16 Z= 100 / 16

X= 40 / 16 Y= 45 / 16 Z= 40 / 16

X= 20 / 17 Y= 72 / 17 Z= 56 / 17

X= 82 / 20 Y= 81 / 20 Z= 84 / 20

X= 43 / 23 Y= 54 / 23 Z= 48 / 23

＜水の流れ：コメント＞なぜか、ここの中には、フィボナッチが発見した、ｘ、ｙ、ｚの値がありません。

検証する必要があります。

ＮＯ３＜清川(kiyo)＞さんからの解答です。　３月２１日１９時３２分受信　更新２１日　

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

問題１

　　(a,b)=1,(c,d)=1,a>b,c>d>0 a,b,c,dは正整数とする。

(a/b)^2+5=(c/d)^2.............................(1)

(a/b)^2-5=(e/f)^2..............................(2)

(1),(2)より

X=a/b=sqrt(c^2-5d^2)/d >>>>>(c/d)^2

>>>>>(sqrt(c^2-10d^2)/d)

i) c^2-5d^2=m^2 mは正整数

ii) c^2-10d^2=n^2 nは正整数

　i),ii)を満たすc,d,m,nを求める問題となる。

　これが１通りの解しかないかはわかりません。

　とりあえず、c=49,d=12,m=41,n=31は満たす。

　X=41/12, (49/12)^2,(31/12)^2　となります。

FOR D=2 TO 2000

FOR C=D+1 TO 10000

LET M=C^2-5*(D^2)

IF M>0 THEN

LET M1=SQR(M)

LET M2=INT(M1)

LET M3=M1-M2

IF M3=0 THEN

LET N=C^2-10*(D^2)

IF N>0 THEN

LET N1=SQR(N)

LET N2=INT(N1)

LET N3=N1-N2

IF N3=0 THEN

GOSUB 10

IF F=0 THEN

PRINT "X=";M1;"/";D;" ";C;"/";D;" ";N1;"/";D

END IF

END IF

END IF

END IF

END IF

NEXT C

NEXT D

STOP

10 REM 倍数倍の排除

LET F=0

FOR J=2 TO D

IF MOD( M1 , J) =0 AND MOD( D , J) =0 AND MOD( C , J) =0 AND MOD( N1 ,J) =0 THEN

LET F=1

EXIT FOR

END IF

NEXT J

RETURN

END

X= 41 / 12 49 / 12 31 / 12

ＮＯ４＜清川(kiyo)＞さんからの解答です。　３月２２日１５時２０分受信　更新２２日　

分母を通分した形で解答するアルゴリズムになっているので、

検索の範囲の関係で見つからなかったのだと思います。

分子を２００まで上げて検索しました。

問題２でフィボナッチのみつけた解は多分以下のものだと思います。

　X=25/2 Y=45/4 Z=45 15^2, (75/4)^2, (195/4)^2

今後とも宜しくお願いします。

X= 50 / 4 Y= 45 / 4 Z= 180 / 4

X= 9 / 5 Y= 18 / 5 Z= 72 / 5

X= 14 / 5 Y= 32 / 5 Z= 30 / 5

X= 16 / 5 Y= 48 / 5 Z= 144 / 5

X= 23 / 5 Y= 56 / 5 Z= 168 / 5

X= 23 / 5 Y= 144 / 5 Z= 80 / 5

X= 38 / 5 Y= 14 / 5 Z= 120 / 5

X= 116 / 5 Y= 168 / 5 Z= 200 / 5

X= 10 / 7 Y= 18 / 7 Z= 40 / 7

X= 29 / 7 Y= 36 / 7 Z= 144 / 7

X= 52 / 7 Y= 88 / 7 Z= 96 / 7

X= 23 / 8 Y= 24 / 8 Z= 140 / 8

X= 51 / 8 Y= 84 / 8 Z= 36 / 8

X= 67 / 8 Y= 108 / 8 Z= 84 / 8

X= 27 / 9 Y= 64 / 9 Z= 84 / 9

X= 75 / 9 Y= 120 / 9 Z= 80 / 9

X= 132 / 9 Y= 192 / 9 Z= 44 / 9

X= 14 / 12 Y= 39 / 12 Z= 156 / 12

X= 15 / 13 Y= 72 / 13 Z= 120 / 13

X= 46 / 13 Y= 30 / 13 Z= 160 / 13

X= 16 / 15 Y= 48 / 15 Z= 192 / 15

X= 20 / 16 Y= 36 / 16 Z= 63 / 16

X= 25 / 16 Y= 84 / 16 Z= 100 / 16

X= 40 / 16 Y= 45 / 16 Z= 40 / 16

X= 72 / 16 Y= 144 / 16 Z= 189 / 16

X= 20 / 17 Y= 72 / 17 Z= 56 / 17

X= 30 / 17 Y= 96 / 17 Z= 126 / 17

X= 62 / 17 Y= 72 / 17 Z= 182 / 17

X= 79 / 17 Y= 144 / 17 Z= 96 / 17

X= 92 / 17 Y= 168 / 17 Z= 176 / 17

X= 23 / 19 Y= 96 / 19 Z= 126 / 19

X= 78 / 20 Y= 45 / 20 Z= 156 / 20

X= 82 / 20 Y= 81 / 20 Z= 84 / 20

X= 43 / 23 Y= 54 / 23 Z= 48 / 23

X= 54 / 25 Y= 72 / 25 Z= 126 / 25

X= 57 / 27 Y= 128 / 27 Z= 36 / 27

X= 87 / 27 Y= 64 / 27 Z= 102 / 27

X= 90 / 28 Y= 99 / 28 Z= 144 / 28

X= 149 / 31 Y= 144 / 31 Z= 180 / 31

X= 59 / 32 Y= 156 / 32 Z= 104 / 32

＜水の流れ：コメント＞

X= 16 / 5 Y= 48 / 5 Z= 144 / 5

これが、フィボナッチのみつけた解です。私自身こんなに解があったとは思っていませんでした。

ありがとうございます。

ＮＯ５＜清川(kiyo)＞さんからの解答です。　３月２５日１９時３３分受信　更新２５日　

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。やっとまとまりました。再々ですみません。

問題３　　x^3+2*x^2+10*x=20....................................................(1)

(a,b)=1 a,bは整数。x=a/bとおき(1)式に代入して整理する。

a^3+2a^2*b+10*a*b^2=20*b^3..................................(2)

ここでa,bの偶奇性を考える。

1) aが偶数、bが偶数　これは、(a,b)=1に反する。

　　2) aが奇数、bが偶数の場合

　　　左辺は奇数。右辺は偶数。これは矛盾である。

3) aが奇数、bが奇数の場合

　　　左辺は奇数。右辺は偶数。これは矛盾である。

　 4) aが偶数、bが奇数の場合

　　　左辺は偶数。右辺は偶数。これは矛盾しない。

　　　a=2m,b=2n+1,(2m,2n+1)=1,x=2m/(2n+1)とおき(2)式に代入して整理する。

2*m^3+2*m^2*(2n+1)+5*m*(2n+1)^2=5*(2n+1)^3......................(4)　

　　ここで再度m,nの偶奇性を考える。　　

イ） mが奇数、nが偶数（または奇数）の場合

　　　左辺は奇数。右辺は奇数。これは矛盾しない。

　　ロ）mが偶数、nが奇数(または偶数）の場合

　　　左辺は偶数。右辺は奇数。これは矛盾である。

　　少なくともmは奇数でなければならない。

　　　a=2*(2m1+1),b=2n+1,(2*(2m1+1),,2n+1)=1,x=(2*(2m1+1))/(2n+1)

とおき(1)式に代入して整理する。

　　　2*(2m1+1)^3+2*(2m1+1)^2*(2n+1)+5*(2m1+1)*(2n+1)^2=5*(2n+1)^3

2*((2m1+1)^2)*(m1+n+1)=5*((2n+1)^2)*(n-m1)..................(5)

(5)式を満たす整数m1,nが存在するためには、

2,5は素数、2n+1は奇数であるから、

　　　n-m1=2........................................................(6)

　　　でなければならない。

n=m1+2

(5)式に代入する。

　　 ((2m1+1)^2)*(2m1+3)=5*(2m1+5)^2

k=2m1+1　とおく。

　　　(k^2)*(k+2)=5*(k+4)^2

k*(k^2-3k-40)=80

k*(k^2-3k-40)=2*2*2*2*5

kは奇数であるから、

k=5

k^2-3k-56=0

5^2-3*5-56=-46

　　　これは矛盾である。したがってｘは有理数の解をもたない。以上です。