平成１２年４月１８日

［積の期待値］

太郎さんは、昔、生徒からこんな大学入試問題の質問を受けました。

「１からｎまでの数字を書いたカードが１枚ずつある。ただし、ｎ≧３とする。

問題１：このｎ枚のカードから無作為に同時に２枚のカードを取り出すとき、書かれた数の積の期待値Ｅ_２（ｎ）をｎで表せ。

問題２：このｎ枚のカードから無作為に同時に３枚のカードを取り出すとき、書かれた数の積の期待値Ｅ_３（ｎ）をｎで表せ。

と、質問を受けました。随分、悩んだ思い出があります。皆さん！考えてください。

＜清川（kiyo）＞さんからの解答、４／１９日１時３８分受信、４／２２日更新

　こんばんは。いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

問題１

n

SUM((k(k-1+1)(k-1)/2)=n(n-1)(3n^2+5n+2)/24

k=2

C(n,2)=n(n-1)/2

E2(n)=(3n^2+5n+2)/12

LIM（E2(N)/N^2)=3/12=1/4

n->

＜水の流れ：コメント＞　４／２２記入　異なる２枚のカードの数字の積の表現に感心しました。参考になります。

このｎ枚のカードから無作為に同時に４枚、５枚・・・のときは、どんな極限になるか興味があります。

＜清川（kiyo）＞さんからの解答、４／２２日２０時２４分受信、４／２３日更新

こんばんは。いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

問題２

問題１の２つの積の和をF2(n)とする。

F2(n)=(1/24)(n-1)n(3n+2)

n n

F3(n)=SUM(k*C(k-1,2)*F(k-1))=SUM((k-2)(k-1)k^2(3k-1)

k=3 k=3

=(1/48)(n-2)(n-1)n^2(n+1)^2

E3(n)=(1/8)n(n+1)^2

LIM(E3(n)/n^3)=1/8