平成１２年５月１４日

［ピタゴラス数］

太郎さんは、有名なピタゴラスの定理（三平方の定理）ｘ^２＋ｙ^２＝ｚ^２の自然数解が次のように表されることを

本を読んで知っています。ｘ＝２ｍｎ、ｙ＝ｍ^２−ｎ^２、ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２　（ただし、ｍ、ｎは互いに素で、ｍ＞ｎとする）

　そこで、ピタゴラスの定理を満たす３つの自然数の組をピタゴラス数と言います。ちなみに、

（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，４．５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），（８，１５，１７），

　　　　　　　（９，４０，４１），（１１，６０，６１），（１２，３５，３７），（１３，８４，８５），

　　　　　　　（１６，６３，６５），（２０，２１，２９），（２０，９９，１０１），（２８，４５，５３），

　　　　　　　（３３，５６，６５），（３６，７７，８５），（３９，８０，８９），（４８，５５，７３），

　　　　　　　（６０，９１，１０９），（６５，７２，９７），・・・・・・　、ここで、問題です。

問題１：ｘ^２＋ｙ^２＝ｚ^２の自然数解　ｘ＝２ｍｎ、ｙ＝ｍ^２−ｎ^２、ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２　をどのようにして導いてあるのか。

　　（ただし、ｍ、ｎは互いに素で、ｍ＞ｎとする）

問題２：ｘ^２＋ｙ^２＝ｚ^２の自然数解の表現は上記以外、他にもあるのか。

問題３：ピタゴラス数の３つの自然数の積が６０の倍数であること示してください。

質問：ピタゴラス数の３つの自然数に関して、何か共通して言えていることがあれば、教えてください。

＜清川（kiyo）＞さんからの問題文に対してのメールです。５月４日１２時０４分受信

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝１ という条件がないのであれば、

ｍ，ｎは互いに素という条件は不要ではないでしょうか？。

４＾２＋３＾２＝５＾２ （ｍ＝２，ｎ＝１）

１６＾２＋１２＾２＝２０＾２ （ｍ＝４，ｎ＝２）

今後とも宜しくお願いします。

＜水の流れ：コメント＞　５月４日夜記入

感じていました。特に、問題３の証明のときに、必要ではないかと思っていましたので。

問題作成には、細心の注意が必要ですね。有り難うございます。　

Ｎｏ１＜清川（kiyo）＞さんからの解答です。５月５日１１時５７分受信　

Ｎｏ２＜清川（kiyo）＞さんからの一部訂正解答です。５月６日２３時２９分受信　５月１４日更新

解答

問題１

Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２ ．．．．．．．．（１）

（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝ｄ＞１ ならば ｄ＾２で割ればいいので、

便宜上ｄ＝１として考える。

（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝１とする。

またＸ，Ｙ，Ｚのどれか２つに１以外の公約数があれば残りの１つもこれを

約数とするから、どの２つも互いに素となる。

したがってＸ，Ｙ，Ｚのなかに偶数は２つあることはない。

ここで、もしＸ，Ｙが奇数とすると、

Ｘ＝＝１ (mod 2)

Ｙ＝＝１ (mod 2)

であるから、

Ｘ＾２＝＝１ (mod 4)

Ｙ＾２＝＝１ (mod 4)

となる。（１）より

Ｚ＾２＝Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝＝２ (mod 4)

となる。 平方数の剰余は２となりえないからこれは矛盾である。

したがってＸ，Ｙの１つは奇数、他は偶数でなければならない。

どちらにしても同じであるが証明のゴールから、

ここでは、Ｘを偶数、Ｙを奇数として考える。Ｚは奇数となる。

（１）から

Ｘ＾２＝（Ｚ＋Ｙ）（Ｚ−Ｙ）．．．．．．．．．（２）

Ｘが偶数であれば、（Ｚ＋Ｙ）は偶数（奇数＋奇数は偶数）

（Ｚ−Ｙ）は偶数（奇数−奇数は偶数）

となる。

ｑ，ｒを正の整数としたとき

Ｚ＋Ｙ＝２ｑ，Ｚ−Ｙ＝２ｒ．．．．．．．．．（３）

とおけば ｑ＞ｒで

Ｙ＝ｑ−ｒ、Ｚ＝ｑ＋ｒ ．．．．．．．．．． （４）

（Ｙ，Ｚ）＝１であるから（ｑ，ｒ）＝１となる。

（３）を（２）に代入する。

Ｘ＾２＝４ｑｒ ．．．．．．．．．．．．．．．．（５）

Ｘは偶数であるから、Ｘ＝２Ｘ’とおけばＸ’＾２＝ｑｒ

（ｑ，ｒ）＝１であるから、ｑ，ｒはそれぞれが完全平方数で

なければならない。

ｑ＝a^2、ｒ＝b^2 とおけばa、bの１つは奇数、他の１つは偶数となる。

a>b、（a，ｂ）＝１で（２）、（４）、（５）から、(****)

Ｘ＝２ab、Ｙ＝a^2-b^2、Ｚ＝a^2+b^2．．．（６）

でなければならない。

（１）の一般解はｄを任意の正の整数とすれば、

Ｘ＝２ｄab， Ｙ＝d(a^2-b^2)， Ｚ＝d(a^2+b^2) となる。

証明の過程でa、bの１つは奇数、他の１つは偶数の

要請があったが、一般解が導かれた後では、この条件は不要となる。

（２ｍｎ）＾２＋（ｍ＾−ｎ＾２）＾２＝（ｍ＾２＋ｎ＾２） は恒常式であ

るから、

任意の正の整数 ｍ、ｎで,

Ｘ＝２ｍｎ ，Ｙ＝｜ｍ＾２−ｎ＾２｜，Ｚ＝ｍ＾２＋ｎ＾２．．．．＊＊

または、

Ｘ＝｜ｍ＾２−ｎ＾２｜，Ｙ＝２ｍｎ， Ｚ＝ｍ＾２＋ｎ＾２．．．．＊＊

と表現される。

問題２

問題１の証明の過程からすると、他の表現はないと思うのですが。

問題３

平方数を３の剰余で考える。

(3n-2)^2=9n^2-12n+4=3(3n^2-4n+1)+1==1 (mod 3)

(3n-1)^2=9n^2-6n+1=3(3n^2-3n)+1==1 (mod 3)

剰余は１である。

X，Yが同時に３の倍数でないとすると、

X＾２==１ Y＾２==１ (mod 3)

Z^2=X^2+Y^2==2 (mod 3)

これは矛盾である。 （平方数の３の剰余は１である。）

したがって、X，Yの少なくとも一つは３の倍数となる。 (*)

同様に平方数を４の剰余で考える。

(4n-3)^2=16n^2-24n+9=4(4n^2-6n+2)+1==1 (mod 4)

(4n-2)^2=16n^2-16n+4=4(4n^2-4n+1)==0 (mod 4)

(4n-1)^2=16n^2-8n+1=4(4n^2-2n)+1==1 (mod 4)

剰余は 0 または 1 である。

X,Yに４の倍数が一つもないと仮定すると、

Z^2=X^2+Y^2==2 (mod 4)

Zは矛盾する。

X，Y のうち少なくとも一つは 4 の倍数となる。 (**)

同様に平方数を５の剰余で考える。

（５n-4)^2=25n^2-40+16=5(5n^2-8n+3)+1==1 (mod 5)

(5n-3)^2=25n^2-30+9=5(5n^2-6n+1)+4==4 (mod 5)

(5n-2)^2=25n^2-20n+4=5(5n^2-4n)+4==4 (mod 5)

(5n-1)^2=25n^2-10n+1=5(5n^2-2n)+1==1 (mod 5)

剰余は １ か ４である。

X,Y,Zに５の倍数が一つもないと仮定すると、

Z^2=X^2+Y^2==2 or 3 (mod 5)

Zは矛盾する。

したがって、X,Y,Zの少なくとも一つは５の倍数となる。 (***)

(*),(**),(***)から

X×Y×Zは６０の倍数となる。

Ｎｏ３＜浜田明巳＞さんからの解答です。５月１１日８時０６分受信　５月１４日更新

文字はすべて自然数とする．

　　　　　　（ｍ＞ｎ，

　　　　　　　ｍ，ｎの最大公約数は１，

　　　　　　　ｍ，ｎが共に奇数となることはない）

であることを証明する．

　ｘを奇数とし，ｘ＝２ａ−１とすると，

　つまり整数の平方を４で割った余りは０または１である．

　つまりｘ，ｙが同時に奇数となることはない．

　ｘを偶数とする．このときｙも偶数とすると，ｚも偶数となり，ｘ，ｙ，ｚの最大公約数が１であることに反する．故にｙは奇数となり，ｚも奇数である．

であり，ｚ＋ｙ，ｚ−ｙは偶数であるから，

　　ｘ＝２ａ，ｚ＋ｙ＝２ｂ，ｚ−ｙ＝２ｃ，ｂ＞ｃ

とすると，

　ｂ，ｃの最大公約数をｇとし，

とすると，

とすると，

　また

から，

　ｘ，ｙ，ｚの最大公約数は１なので，

　　ｇ＝１

　ここで，

であるから，

とすることができる．

　またｍ，ｎが共に奇数のとき，ｘ，ｙ，ｚはすべて偶数となり，矛盾するので，ｍ，ｎが共に奇数となることはない．

（参考）自然数ｍ，ｎを適当にとれば，

とすることはできるが，

とすることはできない．

ことを証明する．

　前問の証明から，

としてよい．

　ｍまたはｎは偶数なので，ｘは４の倍数であり，ｘｙｚも４の倍数である．

　以上のことから，ｘｙｚは６０の倍数である．

＜水の流れ＞　５月１４日記入

問題３：ピタゴラス数の３つの自然数の積が６０の倍数であること示してください。

こんな性質があるとは、太郎さんは最近まで、知りませんでした。

解答者の皆さんに感謝します。