平成１２年５月２２日

［ルース＝アーロン・ペア］

太郎さんは、今日の朝日新聞の読書欄を読んでいて、興味ある数学本の紹介がありました。ここの記事からの問題です。

　皆さんは、1974年、ハンク・アーロンは７１５本のホームランを飛ばし、35年にベーブ・ルースが作った通産７１４本の

記録を破った。この７１４と７１５という数字には不思議な性質がある。７１４の素因数の和は７１５の素因数の和に等しい。

　このように、連続する整数で、双方の素因数の和が等しい数のペアを「ルース＝アーロン・ペア」と呼ぶ。

ここで、太郎さんは、他にもこのようなペアがあるように思えてきました。ここで、問題です。

問題１：７１４の素因数の和は７１５の素因数の和に等しいことを示してください。

問題２：「ルース＝アーロン・ペア」を小さい自然数順に、数個発見してください。

問題３：「ルース＝アーロン・ペア」に何か規則性があるか、ないか調べてください。

問題４：「ルース＝アーロン・ペア」は無数にあると、ポール・エルデシュは本に書いています。

　　　　　無数に存在する証明はできるのでしょうか。

　＜出典：５月２１日朝日新聞の記事にある「放浪の天才数学者エルデシュ」（草思社）から＞

ＮＯ１＜清川（kiyo）＞さんからの解答　５月21日20時36分受信　更新２２日

問題１　 714 = 2 * 3 * 7 * 17

715 = 5 * 11 * 13

和 29

問題２

５−１００００ まで

5 = 5

6 = 2 * 3

5

8 = 2 * 2 * 2

9 = 3 * 3

6

15 = 3 * 5

16 = 2 * 2 * 2 * 2

8

77 = 7 * 11

78 = 2 * 3 * 13

18

125 = 5 * 5 * 5

126 = 2 * 3 * 3 * 7

15

714 = 2 * 3 * 7 * 17

715 = 5 * 11 * 13

29

948 = 2 * 2 * 3 * 79

949 = 13 * 73

86

1330 = 2 * 5 * 7 * 19

1331 = 11 * 11 * 11

33

1520 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 19

1521 = 3 * 3 * 13 * 13

32

1862 = 2 * 7 * 7 * 19

1863 = 3 * 3 * 3 * 3 * 23

35

2491 = 47 * 53

2492 = 2 * 2 * 7 * 89

100

3248 = 2 * 2 * 2 * 2 * 7 * 29

3249 = 3 * 3 * 19 * 19

44

4185 = 3 * 3 * 3 * 5 * 31

4186 = 2 * 7 * 13 * 23

45

4191 = 3 * 11 * 127

4192 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 131

141

5405 = 5 * 23 * 47

5406 = 2 * 3 * 17 * 53

75

5560 = 2 * 2 * 2 * 5 * 139

5561 = 67 * 83

150

5959 = 59 * 101

5960 = 2 * 2 * 2 * 5 * 149

160

6867 = 3 * 3 * 7 * 109

6868 = 2 * 2 * 17 * 101

122

8280 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 23

8281 = 7 * 7 * 13 * 13

40

8463 = 3 * 7 * 13 * 31

8464 = 2 * 2 * 2 * 2 * 23 * 23

54

１００００−１０００００まで

連続した３つの数で成り立つもの

417162 = 2 * 3 * 251 * 277

417163 = 17 * 53 * 463

417164 = 2 * 2 * 11 * 19 * 499

和 ５５３

10647 10648 39

12351 12352 205

14587 14588 532

16932 16933 107

17080 17081 79

18490 18491 93

20450 20451 421

24895 24896 401

26642 26643 193

26649 26650 66

28448 28449 144

28809 28810 117

33019 33020 149

37828 37829 211

37881 37882 93

41261 41262 64

42624 42625 57

43215 43216 118

44831 44832 480

44891 44892 82

47544 47545 299

49240 49241 1242

52554 52555 485

53192 53193 176

57075 57076 774

63344 63345 152

63426 63427 78

68264 68265 89

68949 68950 216

70356 70357 72

72500 72501 53

81175 81176 218

89979 89980 429

95709 95710 587

98119 98120 245

98644 98645 295

99163 99164 1924

１０００００−１００００００

106799 106800 110

110607 110608 262

113283 113284 354

128774 128775 131

141488 141489 284

154842 154843 333

155708 155709 161

172773 172774 100

173162 173163 493

174096 174097 61

183446 183447 143

204258 204259 641

204610 204611 130

208581 208582 531

216293 216294 124

224256 224257 96

230124 230125 285

244035 244036 68

247455 247456 77

248109 248110 627

250995 250996 614

261019 261020 461

261568 261569 140

263327 263328 237

265112 265113 1106

268191 268192 73

278277 278278 172

292454 292455 175

296111 296112 241

304325 304326 101

329988 329989 371

332994 332995 174

346692 346693 347

351075 351076 195

361063 361064 401

380438 380439 1078

381728 381729 240

394855 394856 665

417162 417163 533 ＊＊＊

417163 417164 533 ＊＊＊

436932 436933 292

437715 437716 219

441211 441212 1588

445305 445306 4256

453474 453475 135

457899 457900 274

470119 470120 114

477092 477093 1571

488976 488977 239

493922 493923 194

508563 508564 495

509851 509852 281

525224 525225 209

529194 529195 1085

531990 531991 293

540280 540281 1063

550032 550033 1655

554682 554683 677

572015 572016 729

587264 587265 86

598249 598250 2410

618751 618752 2433

639847 639848 689

643467 643468 99

667628 667629 401

671019 671020 4809

693610 693611 645

732088 732089 799

742508 742509 257

748230 748231 533

767832 767833 152

773312 773313 336

788670 788671 166

801295 801296 890

838935 838936 295

839199 839200 1069

842127 842128 191

851709 851710 1667

859408 859409 295

861399 861400 148

869054 869055 271

878898 878899 186

882926 882927 679

890126 890127 283

917863 917864 437

927774 927775 123

942632 942633 185

956039 956040 302

961572 961573 587

965095 965096 1025

976375 976376 195

977280 977281 531

問題３

規則性は見つかりません。

数列サイトで検索しましたが該当するものはありませんでした。

問題４

存在の頻度から推理すると無限にはないのでは？。

双子素数の頻度よりも小さいようです。

１００万までに５０個程度。

ＮＯ２＜清川（kiyo）＞さんからの検索結果　５月22日21時00分受信　更新２２日

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

１０００万まで検索しましたので報告します。

５−１００万

１４９ペア

100万−１０００万

３７４ペア

５−１０００万

計 ５２３ペア

今後とも宜しくお願いします。

１００万−１０００万の結果

1023640 1023641 331

1025381 1025382 188

1039887 1039888 742

1045950 1045951 401

1065843 1065844 319

1084287 1084288 254

1095315 1095316 199

1100280 1100281 240

1166067 1166068 319

1173504 1173505 216

1187144 1187145 102

1191132 1191133 323

1191451 1191452 341

1199987 1199988 325

1211898 1211899 198

1232746 1232747 429

1236599 1236600 254

1243500 1243501 851

1252509 1252510 660

1261007 1261008 166

1267919 1267920 609

1275546 1275547 258

1275730 1275731 861

1302092 1302093 409

1329129 1329130 342

1330448 1330449 1719

1331469 1331470 864

1354052 1354053 1355

1361070 1361071 158

1379907 1379908 363

1386536 1386537 928

1431212 1431213 257

1496550 1496551 933

1496780 1496781 1193

1497465 1497466 429

1516787 1516788 493

1517450 1517451 143

1524257 1524258 208

1549454 1549455 2010

1550855 1550856 226

1560499 1560500 3140

1568683 1568684 425

1570279 1570280 1109

1600962 1600963 334

1607045 1607046 556

1609736 1609737 964

1618788 1618789 771

1671333 1671334 3891

1672710 1672711 4312

1686750 1686751 206

1686893 1686894 496

1711142 1711143 343

1716628 1716629 471

1777026 1777027 270

1797112 1797113 5526

1799940 1799941 372

1807905 1807906 10976

1809709 1809710 368

1838183 1838184 601

1864056 1864057 879

1915577 1915578 699

1926235 1926236 2213

1939625 1939626 337

1942280 1942281 893

1945048 1945049 799

1967765 1967766 340

2009350 2009351 5760

2022343 2022344 437

2041585 2041586 673

2042950 2042951 481

2045976 2045977 695

2067890 2067891 1738

2101285 2101286 500

2138171 2138172 218

2152454 2152455 415

2162559 2162560 159

2170599 2170600 10869

2179519 2179520 170

2195567 2195568 286

2256845 2256846 256

2305396 2305397 499

2314663 2314664 953

2355885 2355886 304

2373452 2373453 265

2390482 2390483 513

2392064 2392065 103

2437224 2437225 769

2493799 2493800 390

2519343 2519344 1668

2538533 2538534 236

2559672 2559673 572

2586234 2586235 594

2602449 2602450 139

2701656 2701657 408

2701668 2701669 1667

2742395 2742396 1501

2778560 2778561 493

2802297 2802298 2432

2849042 2849043 1985

2854739 2854740 997

2892103 2892104 437

2923920 2923921 181

2931774 2931775 1551

2932344 2932345 444

2978787 2978788 1802

2991417 2991418 413

2992220 2992221 123

3002296 3002297 439

3009412 3009413 4707

3013914 3013915 1781

3016694 3016695 455

3032760 3032761 340

3046742 3046743 503

3056976 3056977 121

3094038 3094039 354

3161664 3161665 528

3164524 3164525 150

3165639 3165640 2769

3198041 3198042 1072

3205915 3205916 1949

3206342 3206343 2574

3230073 3230074 162

3265805 3265806 308

3267441 3267442 8492

3341675 3341676 742

3389463 3389464 164

3400891 3400892 2141

3402311 3402312 326

3438521 3438522 703

3468319 3468320 477

3476964 3476965 276

3481351 3481352 210

3524496 3524497 839

3561940 3561941 891

3567245 3567246 916

3573466 3573467 1005

3580407 3580408 391

3583772 3583773 1948

3594245 3594246 2055

3602832 3602833 1655

3632534 3632535 1007

3665135 3665136 2673

3668587 3668588 342

3672500 3672501 150

3678808 3678809 559

3696379 3696380 869

3702111 3702112 6118

3703588 3703589 739

3713072 3713073 126

3743350 3743351 481

3749428 3749429 21846

3771429 3771430 520

3790955 3790956 1318

3835131 3835132 1186

3865730 3865731 442

3889343 3889344 493

3897529 3897530 4310

3912336 3912337 384

3944505 3944506 2816

3950119 3950120 222

4009397 4009398 268

4055618 4055619 2417

4057122 4057123 7073

4076327 4076328 226

4086226 4086227 657

4091402 4091403 602

4124537 4124538 619

4142744 4142745 263

4150805 4150806 1108

4159168 4159169 5024

4187659 4187660 5705

4190238 4190239 198

4281467 4281468 5917

4285956 4285957 1203

4334143 4334144 534

4376151 4376152 463

4389569 4389570 200

4416039 4416040 1101

4449249 4449250 104

4462338 4462339 1889

4481981 4481982 273

4599876 4599877 228

4614730 4614731 1401

4647220 4647221 1059

4682363 4682364 386

4763626 4763627 286

4799011 4799012 2698

4826835 4826836 284

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6496328 6496329 645

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6890178 6890179 15809

6897592 6897593 2335

6963437 6963438 548

7053452 7053453 175

7073112 7073113 1743

7081061 7081062 388

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7275815 7275816 878

7278754 7278755 307

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7814888 7814889 2276

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8008130 8008131 518

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8198570 8198571 590

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8305577 8305578 488

8335586 8335587 471

8407618 8407619 1761

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8470480 8470481 1063

8471039 8471040 1129

8496014 8496015 212

8541556 8541557 663

8559418 8559419 706

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8596608 8596609 445

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8753810 8753811 287

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8951253 8951254 472

8967013 8967014 1907

9018426 9018427 594

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9997416 9997417 1007

374

＜水の流れ：コメント＞　２２日記入

清川さんには、本当にお世話になっています。

これだけのペアを発見されたことに、驚いています。ありがとうございました。