平成１２年６月６日
第５３回
数学的な応募問題＜解答募集期間：６月６日〜６月１８日＞
［分銅の問題］
太郎さんは、上皿天秤で目方を計るとき、どんな分銅を何種類か用意し、一方に計りたい品物、他方に分銅を載せて、両者のバランスを取る。このとき、分銅の種類はなるべく少なくし、その組み合わせだけでいろいろとの目方を計るのが好ましい。分銅の問題というのは、標準の分銅にどんな目方のものを用意すれば、もっとも能率的かというものです。
一般に、ｎ個の分銅の目方を
１ｇ、２ｇ、４ｇ、８ｇ、・・・、２ｎ―１ ｇ に選ぶとすると、分銅の組み合わせを変えば、目方がかならず変わる。しかも、計れる目方は、０ｇ、１ｇ、２ｇ、３ｇ、・・・、(２ｎ−１) ｇ まで、１ｇおきのすべてが可能です。今、ここには
、一方に計りたい品物、他方に分銅を載せる上皿天秤を考えます。しかも、分銅は
１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇ、８１ｇ、２４３ｇ、７２９ｇ の７種類でいずれも１個用意してあります。このとき、１回だけ使って、計れれる目方は小さい順に、１ｇ、３ｇ、４ｇ、９ｇ、１０ｇ、１２ｇ、１３ｇ、２７ｇ、・・・
となり、１ｇおきにすべてを計ることができません。ここで、問題です。
問題１：１００ｇの重さまでで、計れる目方は１ｇから考えて何通りの目方が計れますか。
問題２：小さい順に１ｇから目方を計っていく場合、５３番目の可能な計り方の目方は何ｇですか。
また、このときの１個づつの分銅の種類を言ってください。
問題３：１０００ｇの重さは計ることができますが、１００１ｇの重さを測ることはできません。
これはどうしてでしょうか。数学的に考えてください。
さて、一方に計りたい品物、他方に分銅を載せる上皿天秤でなく、両方に分銅を載せてもよい上皿天秤を使います。
さらに、ｎ個の分銅の目方を
１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇ、・・・、３ｎ―１ ｇ に選ぶとすると、分銅の組み合わせを変えば、計れる目方は、
０ｇ、１ｇ、２ｇ、３ｇ、・・・、(３ｎ−１)／２ ｇ まで、１ｇおきのすべてが可能です。問題４：１ｇ、２ｇ、３ｇ、・・・、(３ｎ−１)／２ ｇ まで、１ｇおきのすべてが計れることを証明ください。
解けた問題だけでも良いから、皆さん、答えがわかったら、その答えになる考え方とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。
＜自宅＞
mizuryu@aqua.ocn.ne.jp
