[流れ星]
平成１２年１０月２９日
[流れ星]
第６２回数学的な応募問題
＜解答募集期間：10月29日～11月12日＞
［約数と互いに素な数］
太郎さんは、学校で、ある自然数の約数の問題を扱っています。
（ここでは、約数は正の自然数としておきます。）
例えば、８＝２３ と素因数分解できますから、正の約数は、１，２，４，８です。
だから、８の約数の個数は ３＋１＝４ （個）
また、８と互いの素な数は、１，３，５，７の４個です。
これは大変興味深い結果です。正の約数の個数と互いに素な数の個数が一致しています。
勿論、自然数Ｎについて、Ｎ＝ａｐ×ｂｑ×ｃｒ×・・・と素因数分解できたとき、
Ｎの約数の個数は、 (ｐ＋１)(ｑ＋１)(ｒ＋１)・・・ で求まります。
Ｎ以下で、Ｎと互いに素の数の個数は、オイラー関数φ（Ｎ）で表すと、
φ（Ｎ）＝Ｎ(1－１/ａ)(1－１/ｂ)(1－１/ｃ) ・・・で書けます。
ここで、問題です。自明な１は除いてもいいでしょう。
「自然数Ｎについて、Ｎの正の約数の個数と、Ｎ以下でＮと互いに素な数の個数とが一致するような自然数Ｎは
一体どんな数でしょう。」
皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
